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1、中科大量子力学课件中科大量子力学课件-3-3Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism引引言言 经经典典力力学学中中物物质质运运动动的的状状态态总总用用坐坐标标、动动量量、角角动动量量、自自旋旋、动动能能、势势能能、转转动动能能等等力力学学量量以以决决定定论论的的方方式式描描述述。而而量量子子力力学学的的第第一一个个惊惊人人之之举举就就是是引引入入了了波波函函数数 这这样样一一个个基基本本概概念念，以以概概率率的的特特征征全全面面地地描描述述了了微微观观粒粒子子的的运运动动状状态态。但但 并并不不能能作作为为量量子子力力学学中中的的力
2、力学学量量。于于是是，又又引引入入了了一一个个重重要要的的基基本本概概念念算算符符，用用它它表表示示量量子子力力学学中中的的力力学学量量。算算符符与与波波函数作为量子力学的核心概念相辅相成、贯穿始终。函数作为量子力学的核心概念相辅相成、贯穿始终。这这部部分分是是量量子子力力学学的的重重要要基基础础理理论论之之一一，也也是是我我们学习中的重点。们学习中的重点。2Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanismp3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符 operator for dynamical variable p3.2 动量算符与角动量算
3、符动量算符与角动量算符 momentum operator and angular momentum operatorp3.3 电子在库仑场中的运动电子在库仑场中的运动 The motion of electrons in Coulomb fieldp3.4 氢原子氢原子 Hydrogen atomp3.5 厄米算符本征函数的正交性厄米算符本征函数的正交性Orthonormality for eigenfunction of Hermitean operatorsp3.6 力学量算符与力学量的关系力学量算符与力学量的关系Relationship between Operator and dyn
4、amical variablep3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系Operator commute The Heisenberg Uncertainty Principlep3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律守恒律The dynamical variable with respect to time The conservation laws讲讲授授内内容容3Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism学习内容学习内容 1 1坐标算符、动量算
5、符的表示形式及它们间的对易关系；坐标算符、动量算符的表示形式及它们间的对易关系；2 2角动量算符的表示形式及相关的对易关系；角动量算符的表示形式及相关的对易关系；3 3动量算符本征函数的两种归一化：箱归一化和动量算符本征函数的两种归一化：箱归一化和 函数归函数归一一 化化；4 4角动量算符的共同本征函数及所对应的本征值；角动量算符的共同本征函数及所对应的本征值；5 5正点电荷库仓场中电子运动的定态薛定谔方程及其求解的正点电荷库仓场中电子运动的定态薛定谔方程及其求解的 基本步骤；定态波函数的表达形式；束缚态的能级及其简基本步骤；定态波函数的表达形式；束缚态的能级及其简 并度；氢原子的能级、光谱线
6、的规律；电子在核外的概率并度；氢原子的能级、光谱线的规律；电子在核外的概率 分布；电离能和里德伯常数；分布；电离能和里德伯常数；6 6量子力学的力学量与厄米算符量子力学的力学量与厄米算符的关系的关系；厄米算符的本征函；厄米算符的本征函 数组成正交完备集；数组成正交完备集；7 7在什么情况下力学量具有确定值；力学量可能值、概率、在什么情况下力学量具有确定值；力学量可能值、概率、平均值的计算方法，两个力学量同时具有确定值的条件；平均值的计算方法，两个力学量同时具有确定值的条件；8 8不确定关系及其应用；不确定关系及其应用；9 9守恒量的判断方法。守恒量的判断方法。4Chapt.3 The Dyna
7、mical variable in Quantum Mechanism重重点点掌掌握握内内容容一个基本概念：一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；厄米算符（作用及其基本性质）；两个假设：两个假设：力学量用厄米算符表示；力学量用厄米算符表示；状态用厄米算符本征态表示，力学量状态用厄米算符本征态表示，力学量 算符的本征值为力学量的可测值算符的本征值为力学量的可测值三个力学量计算值：三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值；确定值、可能值、平均值；四个力学量算符的本征态及本征值：四个力学量算符的本征态及本征值：坐标算符，动量坐标算符，动量 算符，角动量算符及能量算符（哈密顿算算符，角动量算符及
8、能量算符（哈密顿算 符）及它们的本征值。符）及它们的本征值。一个关系：一个关系：力学量算符间的对易关系（特别是坐标力学量算符间的对易关系（特别是坐标 算符与动量算符的对易关系，角动量算符算符与动量算符的对易关系，角动量算符 对易关系）对易关系）三个定理三个定理:共同本征态定理（包括逆定理）共同本征态定理（包括逆定理）不确定关系不确定关系 力学量守恒定理力学量守恒定理5Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism 由由前前面面的的讨讨论论，我我们们看看到到，当当微微观观粒粒子子处处在在某某一一状状态态时时，一一般般而而言言，其其力力学学量量
9、（如如坐坐标标、动动量量和和能能量量等等）不不一一定定具具有有确确定定的的值值，而而以以一一定定几几率率分分布布取取一一系系列列可可能能值值（当当然然，可可能能在在某某些些特特殊殊的的状状态态，有些力学可取确定值）。有些力学可取确定值）。若知道粒子在动量表象中的波函数若知道粒子在动量表象中的波函数 ，同理，同理可求出粒子动量可求出粒子动量 或或 的平均值。的平均值。3.1 3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符1.1.坐标与动量的平均值及坐标算符与动量算符的引入坐标与动量的平均值及坐标算符与动量算符的引入 若已知粒子在坐标表象中的状态波函数若已知粒子在坐标表象中的状态波函数 ，按照波函统计解
10、释，利用统计平均方法，可求得粒按照波函统计解释，利用统计平均方法，可求得粒子坐标子坐标 或或 的平均值的平均值6Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism（1 1）坐坐 标标 平平 均均 值值设粒子的状态波函数为设粒子的状态波函数为 或或粒子的位置处在：粒子的位置处在：间的几率为间的几率为3.1 表示力学量的算符（续1）坐标平均值坐标平均值7Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism利用利用 计算出坐标计算出坐标 的平均值的平均值称为坐标算符称为坐标算符 Prove：3.1
11、表示力学量的算符（续2）对此作一次分部积分对此作一次分部积分8Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism3.1 表示力学量的算符（续3）9Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism（2 2）动量平均值）动量平均值 粒子的动量值处于粒子的动量值处于 间的几率为间的几率为:利用坐标为变量的波函数利用坐标为变量的波函数 计算动量平均值计算动量平均值 其中其中 坐标算符坐标算符3.1 表示力学量的算符（续4）动量平均值动量平均值10Chapt.3 The Dynamical vari
12、able in Quantum MechanismProve:动量算符动量算符 3.1 表示力学量的算符（续5）11Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism 动量算符动量算符 其中其中3.1 表示力学量的算符（续6）12Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism结结 论论 由波函数计算坐标和动量的平均值时，坐标与动由波函数计算坐标和动量的平均值时，坐标与动量均要用相应的算符代入积分式。量均要用相应的算符代入积分式。利用坐标为变量的波函数利用坐标为变量的波函数 计算坐标平均值
13、计算坐标平均值时，坐标算符时，坐标算符 ，就是坐标本身就是坐标本身；利用动量为变；利用动量为变量的波函数量的波函数 计算坐标平均值时，坐标算符为计算坐标平均值时，坐标算符为 利用坐标为变量的波函数利用坐标为变量的波函数 计算动量平均值计算动量平均值时，动量算符时，动量算符 ；利用动量为变量的波函数利用动量为变量的波函数 计算动量平均值时，动量算符就是动量计算动量平均值时，动量算符就是动量本身本身3.1 表示力学量的算符（续7）13Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism对一函数作用得到另一函数的运算符号对一函数作用得到另一函数的运算
14、符号 Ex.2表示力学量的算符及其表示力学量的算符及其与力学量测量值的关系与力学量测量值的关系（1 1）算符的定义）算符的定义称为算符称为算符(2(2）算符的本征方程）算符的本征方程算符算符 作用在函数作用在函数 上，等于一常数上，等于一常数 乘以乘以 3.1 表示力学量的算符（续8）即即 此称为算符此称为算符 的本征方程的本征方程 14Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism称为其本征值，称为其本征值，为其本征函数。为其本征函数。(3(3）力学量算符）力学量算符 表示力学量的算符必须是对波函数进行有物理意义表示力学量的算符必须是对
15、波函数进行有物理意义运算的符号。运算的符号。哈密顿算符哈密顿算符 动量算符动量算符 坐标算符坐标算符 例如当波函数为例如当波函数为 时时3.1 表示力学量的算符（续9）15Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum MechanismEx.动能算符动能算符 角动量算符角动量算符 将第二章中构造将第二章中构造HarmiltonHarmilton算符算符的方法加以推广，的方法加以推广，便提出一个构造一般便提出一个构造一般力学量算符的基本假设力学量算符的基本假设。若量子力学中的力学量若量子力学中的力学量 在经典力学中有相应的在经典力学中有相应的力学量，则表示该
16、力学量的算符力学量，则表示该力学量的算符 由经典表示由经典表示 中将动量中将动量 换成动量算符换成动量算符 而得出。而得出。3.1 表示力学量的算符（续10）力学量算符规则力学量算符规则即构造力学量算符的规则：即构造力学量算符的规则：16Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism （1 1）以上所述力学量算符规则是对坐标表象而）以上所述力学量算符规则是对坐标表象而言；对于动量表象，表示力学量言；对于动量表象，表示力学量F F 的算符是将经典的算符是将经典表示表示 中的坐标变量中的坐标变量 换成坐标算符换成坐标算符（2 2）对于只在量子
17、理论中才有，而在经典力学）对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。即即 3.1 表示力学量的算符（续11）注注17Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism力学量算符力学量算符坐标表象坐标表象动量表象动量表象坐标算符坐标算符动量算符动量算符力学量算符力学量算符其中其中3.1 表示力学量的算符（续12）18Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism(4(4）力学量算符与力学量测量值的关系）力
18、学量算符与力学量测量值的关系 在第二章讨论哈密顿算符在第二章讨论哈密顿算符 的本征值问题时已的本征值问题时已看到，当体系处在看到，当体系处在 的本征态时，体系有确定的能的本征态时，体系有确定的能量，该能量值就是量，该能量值就是 在此本征态中的本征值。当体在此本征态中的本征值。当体系处在任一态中时，测量体系的能量无确定值，而系处在任一态中时，测量体系的能量无确定值，而有一系列可能值，这些可能值均为有一系列可能值，这些可能值均为 的本征值。这的本征值。这表明表明 的本征值是体系能量的可测值，将该结论推的本征值是体系能量的可测值，将该结论推广到一般力学量算符提出一个广到一般力学量算符提出一个基本假设
19、基本假设.如果算符如果算符 表示力学量表示力学量 ，那么当体系处于那么当体系处于 的本征态中时，力学量的本征态中时，力学量 有确定值，这个值就是有确定值，这个值就是 属于该本征态的本征值。属于该本征态的本征值。该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系 3.1 表示力学量的算符（续13）19Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism（5 5）厄米算符及其性质）厄米算符及其性质 厄米算符的定义厄米算符的定义若对于任意两函数若对于任意两函数 和和 ，算符，算符 满足等式满足等式则称则称 为为厄
20、米算符厄米算符 厄米算符的性质：厄米算符的性质：厄米算符的本征值必为实数厄米算符的本征值必为实数设设 为厄米算符为厄米算符，其本征方程本征方程Prove:（实数）3.1 表示力学量的算符（续14）20Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism力学量算符为线性的厄米算符力学量算符为线性的厄米算符 (6(6）力学量算符的性质）力学量算符的性质Ex.1、证明动量算符的一个分量证明动量算符的一个分量 是厄密算符是厄密算符Prove:设设 为宇称算符为宇称算符 的本征值，则宇称算的本征值，则宇称算符的本征方程为：符的本征方程为：Ex.2、证明宇
21、称算符证明宇称算符 的本征值为的本征值为Prove:3.1 表示力学量的算符（续15）21Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism3.1 表示力学量的算符（续16）量量子子力力学学微微观观粒粒子子的的力力学学量量为为何何要要用用线线性性的的厄厄米米算符表示算符表示 力力学学量量 是是线线性性厄厄米米算算符符,由由此此能能否否得得出出线线性性厄厄米算符都可以表示力学量米算符都可以表示力学量?思考题思考题:22Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism3.2 3.2 动量算符与角
22、动量算符动量算符与角动量算符1 1 动量算符动量算符本征方程：本征方程：按分离变量法按分离变量法,令令归一化归一化常数常数则有则有23Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism本征值本征值 取连续值。取连续值。归一化系数的确定一化系数的确定 1 1）若若粒粒子子处处在在无无限限空空间间中中，则则按按 函函数数的的归归一化方法确定归一化常数一化方法确定归一化常数 ，即即这正是自由粒子的正是自由粒子的 de Broglie 波的空波的空 间部分波函数。部分波函数。3.2 动量算符与角动量算符（续1）24Chapt.3 The Dynami
23、cal variable in Quantum Mechanism 2 2）若粒子处在边长为）若粒子处在边长为 的立方体内运动，则用的立方体内运动，则用所谓箱归一化方法确定常数所谓箱归一化方法确定常数 。当粒子被限制在边长为当粒子被限制在边长为 的立方体内时，本征函数的立方体内时，本征函数 满足周期性边界条件满足周期性边界条件xyzo3.2 动量算符与角动量算符（续2）25Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism本征值本征值 3.2 动量算符与角动量算符（续3）26Chapt.3 The Dynamical variable in
24、Quantum Mechanism由归一化条件由归一化条件这表明动量只能取分立值。换言之，加上周期性边这表明动量只能取分立值。换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱。界条件后，连续谱变成了分立谱。归一化归一化本征函数本征函数 自由粒子波函数自由粒子波函数3.2 动量算符与角动量算符（续4）27Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism（2 2）由）由 可可以看出，相邻两本征值的间隔以看出，相邻两本征值的间隔 与与 成反成反比。当比。当 足够大时，本征值间隔可任意小；当足够大时，本征值间隔可任意小；当 时时 ，即即离散谱离散谱
25、连续谱连续谱讨讨 论论（1 1）从这里可以看出，只有在分立谱情况下，波函数）从这里可以看出，只有在分立谱情况下，波函数才能归一化为一；连续谱情况，归一化为才能归一化为一；连续谱情况，归一化为 函数。函数。（3 3）在自由粒子波函数）在自由粒子波函数 所描写的状态中，所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。个态中的本征值。3.2 动量算符与角动量算符（续5）28Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism2 2 角动量算符角动量算符（1 1）轨道角动量算符的定义）轨
26、道角动量算符的定义 xz球球 坐坐 标r y3.2 动量算符与角动量算符（续6）29Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism利用直角坐标与球坐标之间的变换关系利用直角坐标与球坐标之间的变换关系,求得偏导数求得偏导数3.2 动量算符与角动量算符（续7）30Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism由上面结果得由上面结果得则角动量算符则角动量算符 在球坐标中的表达式为：在球坐标中的表达式为：3.2 动量算符与角动量算符（续8）31Chapt.3 The Dynamical va
27、riable in Quantum Mechanism本征方程本征方程 由于由于 为为 的单值函数，应有周期条件的单值函数，应有周期条件:在球坐标系中在球坐标系中 即即 （2 2）L Lz z 的本征值问题的本征值问题3.2 动量算符与角动量算符（续9）定义角动量平方算符定义角动量平方算符本征值本征值:32Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism 可见，微观系统的角动量在可见，微观系统的角动量在z z方向的分量只能取分方向的分量只能取分离值（零或离值（零或 的整数倍）。由于的整数倍）。由于z z方向是任意取定的，方向是任意取定的，所
28、以所以角动量在空间任意方向的投影是量子化的角动量在空间任意方向的投影是量子化的。称为磁量子数称为磁量子数本征函数本征函数由归一化条件由归一化条件 归一化本征函数归一化本征函数3.2 动量算符与角动量算符（续10）33Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism正交性：正交性：将归一化条件与正交性合记之得正交归一化条件：将归一化条件与正交性合记之得正交归一化条件：本征方程本征方程:在球坐标系中在球坐标系中（3 3）L L2 2 的本征值问题的本征值问题令令 （1）3.2 动量算符与角动量算符（续11）34Chapt.3 The Dynam
29、ical variable in Quantum Mechanism 此为球面方程（球谐函数方程）。其中此为球面方程（球谐函数方程）。其中 是是 属于本征值属于本征值 的本征函数。利用分离变量法及微的本征函数。利用分离变量法及微分方程的幂级数解法，求球面方程在分方程的幂级数解法，求球面方程在 区域内的有限单值函数解区域内的有限单值函数解（其求解方法在数学物理方（其求解方法在数学物理方法中已有详细的讲述）法中已有详细的讲述），可得，可得（2）（3）由（由（1 1）、（）、（2 2）式得出）式得出 的本征值的本征值磁量子数磁量子数角量子数角量子数3.2 动量算符与角动量算符（续12）35Chapt
30、.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism 的本征值的本征值:可见，微观系统的角动量只能取一系列离散值可见，微观系统的角动量只能取一系列离散值球谐函数球谐函数 是是 属于本征值属于本征值 的本征的本征函数函数 ，是缔合勒让德多项式，满足正交是缔合勒让德多项式，满足正交-模方模方条件：条件：是是 属属于于本本征征值值 的的本本征征函函数数，有有正正交交-模方条件模方条件3.2 动量算符与角动量算符（续13）36Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism 由由 的正交归一化条件的正交归一化
31、条件求得归一化因子求得归一化因子:讨讨 论论（1 1）球球谐谐函函数数系系 是是 与与 有有共共同同的的本本征征函数系函数系（2 2）简并情况）简并情况 在求解在求解 本征方程的过程中，出现角量子数本征方程的过程中，出现角量子数 和磁量子数和磁量子数 。3.2 动量算符与角动量算符（续14）37Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum MechanismEx:简并度为简并度为1 简并度为简并度为3 即即 属于本征值属于本征值 的线性独立本征函数的线性独立本征函数 共有共有 个。因此个。因此,的本征值的本征值 是是 度简并的度简并的。的本征值的本征值 仅
32、由角量子数仅由角量子数 确定，而本征确定，而本征函数函数 却由却由 和和 确定。对于一个确定。对于一个 值，值，可取可取 ，这样就有，这样就有 个个 值相同而值相同而 值不同的本征函数与同一个本征值值不同的本征函数与同一个本征值 对应。对应。3.2 动量算符与角动量算符（续15）38Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism简并度为简并度为53.2 动量算符与角动量算符（续16）39Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism确定了角动量的大小确定了角动量的大小 本征值：本征值
33、：确定了角动量的方向确定了角动量的方向 本征值：本征值：3.2 动量算符与角动量算符（续17）角动量的空间取向量子化角动量的空间取向量子化Z0+1m=+2-1-2l=240Chap.3 The Dynamical variable in Quantum MechanismHamiltonian operator 的本征值方程的本征值方程（定态（定态SchrSchrdingerdinger方程方程）中心力场中运动粒子的势能中心力场中运动粒子的势能3.3 3.3 电子在库仑场中的运动电子在库仑场中的运动1.1.有心力场下的有心力场下的 Schrodinger Schrodinger 方程方程（1）
34、在球坐标系中在球坐标系中41Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism设设 （2）式（式（2 2）代入方程（）代入方程（1 1），分离变量得），分离变量得（3）径向径向方程方程（4）球面方程球面方程（5）球球面面方方程程（4 4）与与中中心心力力场场的的势势函函数数无无关关，即即不不管管中中心力场心力场 的形式如何，当的形式如何，当 ，且，且 时时，该该方方程程在在 内内的的单单值值有有限限解解均均为为球谐函数球谐函数3.3 电子在库仑场中的运动（续1）42Chapt.3 The Dynamical variable in Quant
35、um Mechanism方方程程（3 3）是是有有关关径径向向波波函函数数 的的微微分分方方程程，称称为为径径向向方方程程，由由它它求求出出 ，便便可可知知道道 ，但但要求径向方程的解，必须先要知道要求径向方程的解，必须先要知道 的具体形式。的具体形式。2.2.库仑场中库仑场中径向方程的解径向方程的解（氢原子）氢原子）（类氢原子）（类氢原子）电子受核的吸引，其势为电子受核的吸引，其势为库仑势库仑势中心力场的一种形式中心力场的一种形式电子在核的电场中运动，核带正电荷电子在核的电场中运动，核带正电荷 ，为原子序数为原子序数3.3 电子在库仑场中的运动（续2）43Chapt.3 The Dynami
36、cal variable in Quantum Mechanism将库仑势将库仑势 代入径向方程（代入径向方程（3 3）得）得 （6）令令 （7）代入方程（代入方程（6 6），则有），则有（8）当当 ，原原子子中中的的电电子子电电离离脱脱离离原原子子到到无无穷穷远远处，即处，即 ，方程（，方程（8 8）的极限形式）的极限形式3.3 电子在库仑场中的运动（续3）44Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism 满满足足波波函函数数的的连连续续、单单值值和和有有限限条条件件，因因此此对对E E 没没有什么限制，所以有什么限制，所以 的一切值
37、都允许（连续谱）的一切值都允许（连续谱）当当 ，方程（，方程（8 8）写成）写成（9）电子处在束缚态，电子处在束缚态，应具有分离谱应具有分离谱令令（10）（11）（12）3.3 电子在库仑场中的运动（续4）45Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism方程（方程（9 9）变成）变成（13）将（将（1414）代入（）代入（1313），则有），则有 利用幂级数求解微分方程的方法解方程（利用幂级数求解微分方程的方法解方程（1515）令令（14）（15）（16）设设 将（将（1616）代入（）代入（1515）式，求其在）式，求其在 范围内的范
38、围内的有限解，得有限解，得3.3 电子在库仑场中的运动（续5）46Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism 可见，库仑场中的粒子处在束缚态时，其能量为分可见，库仑场中的粒子处在束缚态时，其能量为分立值，即能量是量子化的立值，即能量是量子化的（18）方程（方程（1515）在）在 内的有限解内的有限解 （19）（17）联立（联立（1212）和）和（1717）式，得到类）式，得到类氢原子的能量算符氢原子的能量算符的本征值的本征值 为主量子数为主量子数其中，其中，为一任意常数，为一任意常数，称为缔合拉盖尔多项式称为缔合拉盖尔多项式3.3 电
39、子在库仑场中的运动（续6）47Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism微分形式微分形式拉盖尔多项式拉盖尔多项式（20）角量子数角量子数 将将 的表示式（的表示式（1919）代入（）代入（1414）式，便得到）式，便得到 的表示式，然后代入（的表示式，然后代入（7 7）式，得到径向波函数）式，得到径向波函数3.3 电子在库仑场中的运动（续7）48Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism式中式中 为玻尔半径为玻尔半径 为径向波函数的归一化常数，由归一化条件为径向波函数的归一化
40、常数，由归一化条件求得求得 下面列出了前几个径向波函数下面列出了前几个径向波函数 表达式表达式：3.3 电子在库仑场中的运动（续8）49Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism3.3 电子在库仑场中的运动（续9）50Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism库仑场中运动电子处在束缚态时波函数库仑场中运动电子处在束缚态时波函数 磁量子数磁量子数 角量子数角量子数 主量子数主量子数3 3电子的能量本征值与波函数电子的能量本征值与波函数能量本征值能量本征值下面列出了前几个波函数下
41、面列出了前几个波函数 表达式表达式3.3 电子在库仑场中的运动（续10）51Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism3.3 电子在库仑场中的运动（续11）52Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism讨讨 论论:（1 1）是是 的共同本征函数系的共同本征函数系 可见，可见，是电子三个算符是电子三个算符 的共同的共同本征函数系，当量子数本征函数系，当量子数 给定时，就确定了给定时，就确定了一个状态，力学量一个状态，力学量 可同时测定。当粒子处可同时测定。当粒子处在任一状态时，
42、它可用在任一状态时，它可用 构成的函数系构成的函数系展开，因此，展开，因此，构成一组构成一组力学量完全集。力学量完全集。3.3 电子在库仑场中的运动（续12）53Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism（2 2）电子的第）电子的第n n 个能级个能级 E En n 是是 n n2 2 度简并的度简并的 粒子处在束缚态，对于第粒子处在束缚态，对于第 个能级个能级 ，角量子数取，角量子数取 ，共，共 个值；对于一个个值；对于一个 值，磁量子数值，磁量子数 可取可取 ，共，共 个值。因此，对于第个值。因此，对于第 个能级个能级 ，共有共有
43、个波函数，即个波函数，即 的简并度为的简并度为n n2 2Ex.n n=2=2 时，时，E E2 2 是是4 4度简并的，对应的波函数有度简并的，对应的波函数有 库仑场中电子的能级库仑场中电子的能级 只与只与 有关，与有关，与 无无关，对关，对 简并，这是库仑场所特有的。简并，这是库仑场所特有的。3.3 电子在库仑场中的运动（续13）54Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism（3 3）简并度与力场对称性）简并度与力场对称性 所以，库仑场中电子的能级所以，库仑场中电子的能级 只与只与 有关，与有关，与 无关，对无关，对 简并，这是库
44、仑场所特有的。简并，这是库仑场所特有的。3.3 电子在库仑场中的运动（续14）由上面求解过程可以知道，由于库仑场是球对称由上面求解过程可以知道，由于库仑场是球对称的，所以径向方程与的，所以径向方程与 无关无关,而与而与 有关。因此，对有关。因此，对一般的有心力场，解得的能量一般的有心力场，解得的能量 不仅与径量子数不仅与径量子数有关，而且与有关，而且与 有关，即有关，即 ，简并度就为简并度就为 度。度。但是对于库仑场但是对于库仑场 这种特殊情况，得到的能这种特殊情况，得到的能量只与量只与 有关。所以又出现了对有关。所以又出现了对 的简并的简并度，这种简并称为度，这种简并称为附加简并附加简并。这
45、是由于库仑场具有。这是由于库仑场具有比一般中心力场有更高的对称性的表现。比一般中心力场有更高的对称性的表现。55Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism3.3 电子在库仑场中的运动（续15）如如 Li,Na,K Li,Na,K 等碱金属原子中最外层价电子等碱金属原子中最外层价电子是在由核和内壳层电子所产生的有心力场中运动。是在由核和内壳层电子所产生的有心力场中运动。这个场不再是点电荷的库仑场，因此价电子的能这个场不再是点电荷的库仑场，因此价电子的能级级 仅对仅对 简并。或者说，核的有效电荷发生简并。或者说，核的有效电荷发生了变化。当
46、价电子处在了变化。当价电子处在 和和 两点，有效电荷两点，有效电荷是不一样的，是不一样的，随着随着 不同有效电荷不同有效电荷 在改在改变，此时不再是严格的点库仑场。变，此时不再是严格的点库仑场。因此价电子的能级与因此价电子的能级与 和和 有关，而与有关，而与 无关，无关，即能级仅对即能级仅对 简并，对简并，对 的简并消除了的简并消除了。56Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism（4 4）宇称）宇称作空间反射作空间反射球坐标系中，球坐标系中，反射反射变换变换 +-xyz3.3 电子在库仑场中的运动（续16）57Chapt.3 The
47、 Dynamical variable in Quantum Mechanism即即 具有具有 宇称。宇称。（即（即 具有具有 宇称）宇称）即即 具有具有 宇称。宇称。综合以上两点讨论综合以上两点讨论应该指出，应该指出，是是 的偶函数，但是的偶函数，但是 却却具有奇宇称，这表明函数的奇偶性与波函数的奇偶宇具有奇宇称，这表明函数的奇偶性与波函数的奇偶宇称是完全不同的两个概念，千万不要混淆起来。称是完全不同的两个概念，千万不要混淆起来。3.3 电子在库仑场中的运动（续17）于是波函数在空间反射下于是波函数在空间反射下作如下变换：作如下变换：即即 具有具有 宇称。宇称。58Chap.3 The Dy
48、namical variable in Quantum Mechanism 氢原子与类氢离子都是由一个电子和核所组成氢原子与类氢离子都是由一个电子和核所组成的体系，若不考虑核的运动，则情况与前节完全的体系，若不考虑核的运动，则情况与前节完全一样；当考虑核的运动时，就是一个两体问题。一样；当考虑核的运动时，就是一个两体问题。设电子设电子核核3.4 3.4 氢原子氢原子(一一).).二体问题的处理二体问题的处理 量子力学发展史上最突出的成就之一是对氢原子光量子力学发展史上最突出的成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了满意的解释。氢原子是最谱和化学元素周期律给予了满意的解释。氢原子是最简单的原
49、子，其简单的原子，其SchrodingerSchrodinger方程可以严格求解，氢原方程可以严格求解，氢原子理论也是了解复杂原子及分子结构的基础。子理论也是了解复杂原子及分子结构的基础。通过选用质心坐标系，通过选用质心坐标系，一个二体问题可化成一一个二体问题可化成一个一体问题来研究。个一体问题来研究。o59Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism电电子子相相对对核核的的坐坐标标 质质 心心 坐坐 标标 折折合合质质量量波函数波函数势能势能氢原子的氢原子的 Schrodinger Schrodinger 方程：方程：3.4 氢原子（
50、续1）60Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism同理算出同理算出 于是，可将上述氢原子的于是，可将上述氢原子的 Schrodinger Schrodinger 方程在方程在相对坐标和质心坐标下写成形式相对坐标和质心坐标下写成形式（1）此方程由于没有交叉项，可采用分离变量法求解此方程由于没有交叉项，可采用分离变量法求解3.4 氢原子（续2）61Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism将将（2 2）式代入式代入(1)(1)式式,再两边除以再两边除以 ，可得，可得 （3）质心