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1、6余弦(yxin)函数的图像与性质第一页，共53页。问题问题引航引航1.1.如何得到余弦函数的图像？什么是余弦曲线？如何得到余弦函数的图像？什么是余弦曲线？2.2.余弦函数有哪些性质？如何利用这些性质解题？余弦函数有哪些性质？如何利用这些性质解题？第二页，共53页。1.1.余弦函数余弦函数(hnsh)(hnsh)图像的画法图像的画法(1)(1)平移法：平移法：左左第三页，共53页。(2)(2)五点法：五点法：五个关键点：五个关键点：函数函数(hnsh)y=cos x(hnsh)y=cos x，xx0,20,2的简图：的简图：x x0 022cos xcos x_1 10 0-1-10 01 1
2、第四页，共53页。(3)(3)余弦曲线：余弦曲线：y=cos x(xy=cos x(x0,20,2)的图像向左、向右平行的图像向左、向右平行移动移动(ydng)(ydng)(每次平移每次平移_个单位个单位)得到余弦函数得到余弦函数y=cos x(xR)y=cos x(xR)的图的图像像,此图像叫作余弦曲线此图像叫作余弦曲线.22第五页，共53页。2.2.余弦余弦(yxin)(yxin)函数的性质函数的性质函数函数性质性质 余弦函数余弦函数y=cos x y=cos x 图像图像 定义域定义域 R R 值域值域 -1,1-1,1 第六页，共53页。函数函数性质性质 余弦函数余弦函数y=cos x
3、 y=cos x 最值最值 当当x=2k(kZ)x=2k(kZ)时，时，y ymaxmax=1=1当当x=(2k+1)(kZ)x=(2k+1)(kZ)时，时，y yminmin=-1=-1 周期性周期性 是周期函数，最小正周期为是周期函数，最小正周期为_ _ 奇偶性奇偶性 是偶函数，图像关于是偶函数，图像关于y y轴对称轴对称 单调性单调性 在在(2k-1),2k(2k-1),2k(kZ)(kZ)上是上是_的的在在2k,(2k+1)2k,(2k+1)(kZ)(kZ)上是上是_的的22增加增加(zngji(zngji)减少减少(jinsh(jinsho)o)第七页，共53页。1 1判一判判一判(
4、正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)“”)(1)(1)余弦函数余弦函数y=cos xy=cos x是偶函数，图像关于是偶函数，图像关于(guny)y(guny)y轴对称，对称轴对称，对称轴有无数多条轴有无数多条.().()(2)(2)余弦函数余弦函数y=cos xy=cos x的图像是轴对称图形，也是中心对称图形的图像是轴对称图形，也是中心对称图形.(.()(3)(3)在区间在区间0 0，22上，函数上，函数y=cos xy=cos x仅在仅在x=0 x=0时取得最大值时取得最大值1.(1.()第八页，共53页。2 2做一做做一做(请把正确的答案请把正确的答案(d n)(d n)
5、写在横线上写在横线上)(1)(1)函数函数y=y=cos xcos x的单调增区间是的单调增区间是_，单调减区间是，单调减区间是_，最小正周期是，最小正周期是_._.(2)(2)函数函数y=2cos x-1y=2cos x-1的值域是的值域是_._.(3)(3)函数函数y=f(x)=-cos xy=f(x)=-cos x的奇偶性为的奇偶性为_._.第九页，共53页。【解析】【解析】1.(1)1.(1)正确正确.由余弦由余弦(yxin)(yxin)函数的图像可得，对称轴方函数的图像可得，对称轴方程为程为x=k(kZ),x=k(kZ),所以余弦所以余弦(yxin)(yxin)函数的图像的对称轴有无
6、数条函数的图像的对称轴有无数条.(2)(2)正确正确.由余弦由余弦(yxin)(yxin)函数的图像可得函数关于点函数的图像可得函数关于点 (kZ)(kZ)成中心对称成中心对称.(3)(3)错误错误.在区间在区间0 0，22上，函数上，函数y=cos xy=cos x在在x=0 x=0与与x=2x=2时取得最大值时取得最大值1.1.答案：答案：(1)(2)(3)(1)(2)(3)第十页，共53页。2.(1)y=cos x2.(1)y=cos x的图像在的图像在x x轴上方的不动，将下方部分对称地翻到轴上方的不动，将下方部分对称地翻到x x轴轴上方，即得到上方，即得到(d do)(d do)函数
7、函数y=y=cos xcos x的图像，如图所示，的图像，如图所示，第十一页，共53页。由图像由图像(t xin)(t xin)可知，函数的最小正周期为可知，函数的最小正周期为，又因为在，又因为在 上，上，函数的增区间是函数的增区间是 减区间是减区间是 而函数的周期是而函数的周期是k(kZk(kZ且且k0)k0)，因此函数，因此函数y=y=cos xcos x的增区间是的增区间是 (kZ)(kZ)，减区间是，减区间是 (kZ).(kZ).答案：答案：第十二页，共53页。(2)(2)因为因为y=cos xy=cos x-1,1-1,1，所以，所以2cos x-12cos x-1-3,1-3,1.
8、答案答案(d n)(d n)：-3,1-3,1(3)(3)函数函数y=-cos xy=-cos x的定义域为的定义域为R R，f(-x)=-cos(-x)=-cos xf(-x)=-cos(-x)=-cos x=f(x)=f(x)，所以函数为偶函数，所以函数为偶函数.答案答案(d n)(d n)：偶函数：偶函数第十三页，共53页。【要点探究】【要点探究】知知 识识 点点 余弦余弦(yxin)(yxin)函数的图像与性质函数的图像与性质1.1.余弦余弦(yxin)(yxin)函数性质与图像的关系函数性质与图像的关系(1)(1)余弦余弦(yxin)(yxin)函数性质的研究可以类比正弦函数的研究方
9、法函数性质的研究可以类比正弦函数的研究方法.(2)(2)余弦余弦(yxin)(yxin)函数的性质可以由图像直接观察，但要经过解析函数的性质可以由图像直接观察，但要经过解析式或单位圆推导才能下结论式或单位圆推导才能下结论.第十四页，共53页。2.2.对余弦函数单调性的三点说明对余弦函数单调性的三点说明(1)(1)余弦函数在定义域余弦函数在定义域R R上不是上不是(b shi)(b shi)单调函数，但存在单调区单调函数，但存在单调区间间.(2)(2)求解或判断余弦函数的单调区间求解或判断余弦函数的单调区间(或单调性或单调性)，是求与之相关的，是求与之相关的值域值域(或最值或最值)的关键，通常借
10、助其求值域的关键，通常借助其求值域(或最值或最值).).(3)(3)确定较复杂函数的单调性，要注意使用复合函数单调性的判断确定较复杂函数的单调性，要注意使用复合函数单调性的判断方法方法.第十五页，共53页。3.3.余弦函数的最值余弦函数的最值(1)(1)明确余弦函数的有界性，即明确余弦函数的有界性，即|cos x|1,|cos x|1,解题时常会用到解题时常会用到.(2)(2)对有些函数，其最值不一定对有些函数，其最值不一定(ydng)(ydng)就是就是1 1或或-1-1，要依赖函数的，要依赖函数的定义域来确定定义域来确定.(3)(3)形如形如y=Acos(x+)(Ay=Acos(x+)(A
11、0,0,0)0)的函数求最值时，通常利用的函数求最值时，通常利用“整体代换整体代换”，即令，即令x+=z,x+=z,将函数转化为将函数转化为y=Acos zy=Acos z的形式求最值的形式求最值.第十六页，共53页。【微思考】【微思考】(1)(1)由由y=sin xy=sin x，xRxR的图像得到的图像得到y=cos x,xRy=cos x,xR的图像，平移的图像，平移(pn(pn y)y)的方法唯一吗？的方法唯一吗？提示：可向左平移提示：可向左平移(pn y)(pn y)也可向右平移也可向右平移(pn y)(pn y)，方法不唯一，方法不唯一.(2)(2)形如形如y=Acos(x+)(A
12、y=Acos(x+)(A0,xR)0,xR)的值域还是的值域还是-1,1-1,1吗？吗？提示：不一定是提示：不一定是.值域是值域是-A,A-A,A.第十七页，共53页。【即时【即时(jsh)(jsh)练】练】下列关于函数下列关于函数y=-3cos x-1y=-3cos x-1的说法错误的是的说法错误的是()()A.A.最小值为最小值为-4-4B.B.是偶函数是偶函数C.C.当当x=kx=k，kZkZ时，函数取最大值时，函数取最大值D.D.是周期函数，最小正周期为是周期函数，最小正周期为22【解析】选【解析】选C.C.当当x=k,kZx=k,kZ时，时，y=cos xy=cos x取到最大值取到
13、最大值1 1，而函数，而函数y=-3cos y=-3cos x-1x-1取最小值取最小值.第十八页，共53页。【题型示范】【题型示范】类型一类型一 “五点法五点法”画余弦函数的图像画余弦函数的图像(t xin)(t xin)【典例【典例1 1】(1)(1)利用利用“五点法五点法”作余弦函数的图像作余弦函数的图像(t xin)(t xin)时，第三个关键点时，第三个关键点的坐标为的坐标为()()A.(0A.(0，1)B.1)B.C.(,-1)D.C.(,-1)D.(2)(2)用用“五点法五点法”作出作出y=1+cos x(0 x2)y=1+cos x(0 x2)的简图的简图.第十九页，共53页。
14、【解题探究】【解题探究】1.1.对余弦对余弦(yxin)(yxin)函数而言，五点法作图的五个点的函数而言，五点法作图的五个点的坐坐标分别是什么？标分别是什么？2.2.题题(2)(2)中函数中函数y=1+cos xy=1+cos x的最大值与最小值分别等于什么？的最大值与最小值分别等于什么？【探究提示】【探究提示】1.1.五个点分别为五个点分别为(0(0，1)1)，(，-1)-1)，(2(2，1).1).2.2.因为因为cos xcos x-1-1，1 1，所以，所以1+cos x1+cos x0 0，2 2,即最大即最大值为值为2 2，最小值为，最小值为0.0.第二十页，共53页。【自主解答
15、【自主解答(jid)(jid)】(1)(1)选选C.C.由五个点的坐标知第三个关键点为由五个点的坐标知第三个关键点为(,-1).(,-1).(2)(2)列表如下：列表如下：x x0 022y=cos xy=cos x1 10 0-1-10 01 1y=1+cos xy=1+cos x2 21 10 01 12 2第二十一页，共53页。描点连线描点连线(lin xin)(lin xin)，可得函数，可得函数y=1+cos xy=1+cos x在在0,20,2上的图像如图上的图像如图所示：所示：第二十二页，共53页。【方法技巧】【方法技巧】“五点法五点法”画函数画函数(hnsh)(hnsh)图像的
16、三个步骤图像的三个步骤第二十三页，共53页。【变式训练】作出函数【变式训练】作出函数y=1-cos x(0 x2)y=1-cos x(0 x2)的简图的简图.【解题指南】将【解题指南】将0,20,2这一区间四等这一区间四等(s dn)(s dn)分找到五个关键分找到五个关键点然后描点、连线即可点然后描点、连线即可.【解析】列表：【解析】列表：x x0 022y=cos xy=cos x1 10 0-1-10 01 1y=1-cos xy=1-cos x0 01 12 21 10 0第二十四页，共53页。描点连线描点连线(lin xin)(lin xin)得得y=1-cos xy=1-cos x
17、的图像的图像(如图所示如图所示).).第二十五页，共53页。【补偿训练】【补偿训练】“五点法五点法”画画y=cos y=cos 时，所取的五个点时，所取的五个点为为_._.【解题指南】把【解题指南】把 作为作为(zuwi)(zuwi)一个整体看作是一个整体看作是y=cos xy=cos x中的中的x x可得五点可得五点.第二十六页，共53页。即五个点分别即五个点分别(fnbi)(fnbi)为：为：答案：答案：0 0 22 x x 1 10 0-1-10 01 1【解析【解析(ji x)(ji x)】列表可得：】列表可得：第二十七页，共53页。类型二类型二 余弦余弦(yxin)(yxin)函数的
18、奇偶性及应用函数的奇偶性及应用【典例【典例2 2】(1)(2013(1)(2013佛山高一检测佛山高一检测)函数函数f(x)=sin(x+)(0)f(x)=sin(x+)(0)是是R R上的偶函数，则上的偶函数，则的值为的值为()()A.0 B.C.D.A.0 B.C.D.(2)(2014(2)(2014绵阳高一检测绵阳高一检测)函数函数f(x)=sin(2x+)f(x)=sin(2x+)的奇偶性为的奇偶性为_._.(3)(3)已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，当上的奇函数，当x x0 0时，时，f(x)=f(x)=sin 2x+cos xsin 2x+
19、cos x，求求f(x).f(x).第二十八页，共53页。【解题探究】【解题探究】1.f(x)1.f(x)为为R R上的偶函数应具备什么条件？上的偶函数应具备什么条件？2.2.利用诱导公式化简利用诱导公式化简sin(2x+)sin(2x+)等于什么？等于什么？3.3.题题(3)(3)中已知函数中已知函数f(x)f(x)为奇函数，求为奇函数，求f(x)f(x)的一般原则是什么？的一般原则是什么？【探究提示】【探究提示】1.1.应满足应满足(mnz)f(-x)=f(x).(mnz)f(-x)=f(x).2.2.3.3.先求先求x=0 x=0时的解析式，再求时的解析式，再求x x0 0时的解析式，对
20、定义域内的取值要完时的解析式，对定义域内的取值要完整整.第二十九页，共53页。【自主解答】【自主解答】(1)(1)选选C.C.当当=0=0或或时，时，f(x)f(x)为奇函数，当为奇函数，当=时时,为非奇非偶函数为非奇非偶函数.只有当只有当=时符合时符合(fh)(fh)题意题意,故选故选C.C.(2)(2)因为因为=-sin(2x+)=-cos 2x=-sin(2x+)=-cos 2x，所以，所以f(-x)=-cos(-2x)f(-x)=-cos(-2x)=-cos 2x=f(x),=-cos 2x=f(x),即即f(x)f(x)为偶函数为偶函数.答案：偶函数答案：偶函数第三十页，共53页。(
21、3)(3)因为函数因为函数y=f(x)y=f(x)是定义是定义(dngy)(dngy)在在R R上的奇函数，上的奇函数，所以所以f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),所以所以f(0)=-f(0)f(0)=-f(0)，f(0)=0,f(0)=0,当当x x0 0时，时，-x-x0,0,所以所以f(x)=-f(-x)=-f(x)=-f(-x)=-sin 2(-x)+cos(-x)sin 2(-x)+cos(-x)=sin 2x-cos x=sin 2x-cos x，所以所以第三十一页，共53页。【方法技巧】余弦函数奇偶性常用结论【方法技巧】余弦函数奇偶性常用结论(1)(1)因为余弦函数是
22、偶函数，所以因为余弦函数是偶函数，所以(suy)cos x=cos(suy)cos x=cos x x.(2)y=cos(x+)(2)y=cos(x+)，当，当=k+(kZ)=k+(kZ)时是奇函数；时是奇函数；y=sin(x+)y=sin(x+)，当，当=k+(kZ)=k+(kZ)时是偶函数时是偶函数.(3)(3)余弦函数的对称轴和对称中心余弦函数的对称轴和对称中心对称轴方程为对称轴方程为x=k(kZ).x=k(kZ).对称中心的坐标为对称中心的坐标为(+k,0)(kZ).(+k,0)(kZ).第三十二页，共53页。【变式训练【变式训练(xnlin)(xnlin)】函数】函数f(x)=x2+
23、cos xf(x)=x2+cos x的奇偶性为的奇偶性为_._.【解析】因为【解析】因为xRxR，且，且f(-x)=(-x)2+cos(-x)=x2+cos x=f(x),f(-x)=(-x)2+cos(-x)=x2+cos x=f(x),所所以函数以函数f(x)f(x)是偶函数是偶函数.答案：偶函数答案：偶函数第三十三页，共53页。【补偿训练】函数【补偿训练】函数y=cos(sin x)y=cos(sin x)的奇偶性是的奇偶性是_._.【解析【解析(ji x)(ji x)】函数定义域为】函数定义域为R,R,又又cos cos sin(-x)sin(-x)=cos(-sin =cos(-si
24、n x)x)=cos(sin x)=cos(sin x)，所以函数为偶函数，所以函数为偶函数.答案：偶函数答案：偶函数第三十四页，共53页。类型三类型三 余弦函数的单调性与最值余弦函数的单调性与最值【典例【典例3 3】(1)(1)函数函数y=cos 2xy=cos 2x的一个的一个(y)(y)增区间是增区间是()()(2)(2)求函数求函数y=3cos2x-4cos x+1y=3cos2x-4cos x+1的最大值和最小值的最大值和最小值.第三十五页，共53页。【解题探究【解题探究(tnji)(tnji)】1.1.题题(1)(1)中涉及的函数是哪种？中涉及的函数是哪种？2.2.题题(2)(2)
25、中若将中若将cos xcos x变为变为t t，则函数变为什么？，则函数变为什么？【探究【探究(tnji)(tnji)提示】提示】1.1.涉及的函数是余弦函数涉及的函数是余弦函数.2.2.函数变为函数变为y=3t2-4t+1.y=3t2-4t+1.第三十六页，共53页。【自主解答【自主解答(jid)(jid)】(1)(1)选选D.D.令令2k-2x2k,kZ2k-2x2k,kZ，所以，所以k-xkk-xk，当，当k=1k=1时，时，x ,.x ,.(2)(2)令令t=cos xt=cos x，则，则-1t1,-1t1,问题转化为求函数问题转化为求函数y=3t2-4t+1y=3t2-4t+1(-
26、1t1)(-1t1)的最大值和最小值的最大值和最小值.因为因为所以函数在所以函数在-1,-1,上是减少的，在上是减少的，在 ,1 ,1上是增加的，上是增加的，第三十七页，共53页。当当t=t=时时,y,y有最小值有最小值;当当t=-1t=-1时时,y,y有最大值，有最大值，所以所以(suy)ymax=3+4+1=8.(suy)ymax=3+4+1=8.所以所以(suy)(suy)函数的最大值为函数的最大值为8 8，最小值为，最小值为-.-.第三十八页，共53页。【延伸【延伸(ynshn)(ynshn)探究】若将本题探究】若将本题(2)(2)增加条件增加条件x x 求最大值求最大值和和最小值最小
27、值.【解析】令【解析】令t=cos x,t=cos x,则则y=y=因为因为xx所以所以tt函数在区间函数在区间 上是减少的上是减少的.所以当所以当t=-t=-即即cos x=-cos x=-时时,ymax=,ymax=，此时此时x=.x=.当当t=t=即即x=x=时，时，ymin=-.ymin=-.第三十九页，共53页。【方法技巧】求函数最大值、最小值的方法【方法技巧】求函数最大值、最小值的方法(1)(1)直接直接(zhji)(zhji)法：根据函数值域的定义法：根据函数值域的定义,由自变量的取值范由自变量的取值范围求出函数值的取值范围围求出函数值的取值范围.(2)(2)单调性法：利用函数的
28、单调性单调性法：利用函数的单调性.(3)(3)图像法：利用函数的图像图像法：利用函数的图像,转化为求函数图像上最高点和最转化为求函数图像上最高点和最低点的纵坐标的问题低点的纵坐标的问题.(4)(4)换元法换元法:转化为一次函数、二次函数等函数问题转化为一次函数、二次函数等函数问题.第四十页，共53页。【变式训练】函数【变式训练】函数y y4cos2x4cos2x4cos x4cos x2 2的值域为的值域为()()A.A.-2-2，6 6 B.B.-3-3，6 6C.C.-2-2，4 4 D.D.-3-3，8 8【解题【解题(ji t)(ji t)指南】利用换元法将函数变为二次函数，利用指南】
29、利用换元法将函数变为二次函数，利用二次函数求最值二次函数求最值.第四十一页，共53页。【解析】选【解析】选B.B.设设cos x=tcos x=t，则则y y4cos2x4cos2x4cos x4cos x2 24t2+4t-24t2+4t-2=4(t2+t)-2=4(t+)2-3.=4(t2+t)-2=4(t+)2-3.因为因为(yn wi)(yn wi)1cos x11cos x1，所以，所以-1t1,-1t1,所以所以yminymin3 3，第四十二页，共53页。【补偿训练【补偿训练(xnlin)(xnlin)】求函数】求函数y y2cos(2x2cos(2x )，x x 的最大值的最大
30、值与最小值与最小值.【解析】因为【解析】因为所以所以02x02x所以所以12cos(2x12cos(2x )2 )2，当当cos(2xcos(2x )1 1，即即x x 时，时，ymaxymax2 2，当当cos(2xcos(2x )，即即x x 时，时，yminymin1.1.第四十三页，共53页。【规范解答】余弦函数值域的应用【规范解答】余弦函数值域的应用【典例】【典例】(12(12分分)(2014)(2014榆林高一检测榆林高一检测(jin c)(jin c)已知函数已知函数y=a-bcos xy=a-bcos x的的最大值为最大值为 ，最小值为，最小值为-，求函数，求函数y=-2sin
31、 bxy=-2sin bx的最值及周期的最值及周期.第四十四页，共53页。【审题】抓信息【审题】抓信息(xnx)(xnx)，找思路，找思路第四十五页，共53页。【解题【解题(ji t)(ji t)】明步骤，得高分】明步骤，得高分第四十六页，共53页。【点题】警误区，促提升【点题】警误区，促提升失分点失分点1 1：解题时若忽视对：解题时若忽视对处参数处参数b b的分类讨论，则会导致漏解而的分类讨论，则会导致漏解而失分失分.失分点失分点2 2：解题时若忽视解析式中的符号，则会导致：解题时若忽视解析式中的符号，则会导致处的解析式出处的解析式出错错(ch cu)(ch cu)而失分而失分.失分点失分点
32、3 3：解题时若忽视：解题时若忽视处的总结，则会导致解题不完整而失掉处的总结，则会导致解题不完整而失掉2 2分分.第四十七页，共53页。【悟题】提措施，导方向【悟题】提措施，导方向1.1.分类讨论分类讨论(toln)(toln)的意识的意识在解含有参数的问题时，切记分类讨论在解含有参数的问题时，切记分类讨论(toln)(toln)思想的应用，如思想的应用，如本例中的解析式中含有参数，故需考虑是否需要分类讨论本例中的解析式中含有参数，故需考虑是否需要分类讨论(toln).(toln).2.2.函数性质的应用函数性质的应用对一些常用函数的性质要牢记，如本例中正弦函数的值域、周期对一些常用函数的性质
33、要牢记，如本例中正弦函数的值域、周期等等.第四十八页，共53页。3.3.解题的规范性解题的规范性做解答题时，步骤要合理做解答题时，步骤要合理(hl)(hl)、规范，对于分类讨论的问题最、规范，对于分类讨论的问题最后要有总结，如本例中的后要有总结，如本例中的.第四十九页，共53页。【类题试解】已知函数【类题试解】已知函数y=acos x+by=acos x+b的最大值为的最大值为1 1，最小值为，最小值为-3-3，求函数，求函数y=asin bxy=asin bx的最值的最值.【解析【解析(ji x)(ji x)】当】当a0a0时，时，解得解得a=2a=2，b=-1b=-1，此，此时时y=asin bx=-2sin xy=asin bx=-2sin x，所以，所以ymax=2,ymin=-2.ymax=2,ymin=-2.当当a a0 0时，时，解得解得a=-2a=-2，b=-1,b=-1,此时此时y=asin bxy=asin bx=2sin x=2sin x，所以，所以ymax=2,ymin=-2.ymax=2,ymin=-2.综上所述，所求函数的最大值为综上所述，所求函数的最大值为2 2，最小值为，最小值为-2.-2.第五十页，共53页。第五十一页，共53页。第五十二页，共53页。第五十三页，共53页。