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1、平稳随机平稳随机(su j)过程的过程的自相关自相关 矩阵及其性质矩阵及其性质硕研硕研2012-32012-3杨波杨波第一页，共14页。v主要内容主要内容v一、自相关矩阵的定义一、自相关矩阵的定义v二、自相关矩阵的基本二、自相关矩阵的基本(jbn)性质性质v三、自相关矩阵的特征值与特征向量三、自相关矩阵的特征值与特征向量的性质的性质平稳平稳(pngwn)随机过程的自相关矩阵及其性质随机过程的自相关矩阵及其性质第二页，共14页。一、自相关矩阵的定义(dngy)对离散时间平稳(pngwn)随机过程，用M个时刻的随机变量u(n),u(n-1),u(n-M+1)构造随机向量 u(n)=u(n)u(n-
2、1)u(n-M+1)T (1)随机过程u(n)的自相关矩阵定义为 R=Eu(n)uH(n)(2)将式(1)代入(2)，并考虑平稳(pngwn)条件，得其展开形式平稳平稳(pngwn)随机过程的自相关矩阵及其性质随机过程的自相关矩阵及其性质第三页，共14页。其中，r(m)是随机过程u(n)的自相关(xinggun)函数，为r(m)=Eu(n)u*(n-m)。根据相关(xinggun)函数共轭对称性，即r(-m)=r*(m)，上式又可重写为 因此，对于一个平稳(pngwn)随机过程，只需自相关函数r(m)的M个值就可以完全确定相关矩阵R。平稳随机过程的自相关矩阵及其性质平稳随机过程的自相关矩阵及其
3、性质第四页，共14页。二、自相关矩阵的基本二、自相关矩阵的基本(jbn)性质性质性质性质1 平稳离散时间随机过程的相关矩阵平稳离散时间随机过程的相关矩阵(j zhn)是是Hermite 矩阵矩阵(j zhn)，即有，即有 RH=R性质性质2 平稳离散时间随机过程的相关矩阵平稳离散时间随机过程的相关矩阵(j zhn)是是Toeplitz矩阵矩阵(j zhn)。结论：如果离散时间随机过程是广义平稳的，则它的自结论：如果离散时间随机过程是广义平稳的，则它的自相光矩阵相光矩阵(j zhn)R一定是一定是Toeplitz矩阵矩阵(j zhn)；反之，；反之，如果自相关矩阵如果自相关矩阵(j zhn)R为
4、为Toeplitz矩阵矩阵(j zhn)，则该，则该离散时间随机过程一定是广义平稳的。离散时间随机过程一定是广义平稳的。平稳平稳(pngwn)随机过程的自相关矩阵及其性质随机过程的自相关矩阵及其性质第五页，共14页。性质性质3 平稳离散时间随机过程平稳离散时间随机过程(guchng)的相关矩阵的相关矩阵R是非负定的，且几乎总是正定的。是非负定的，且几乎总是正定的。证明：设证明：设aCm1为任意非零向量，由于二次型为任意非零向量，由于二次型平稳随机平稳随机(su j)过程的自相关矩阵及其性质过程的自相关矩阵及其性质第六页，共14页。故相关矩阵R总是非负定的。当且仅当观测向量的每个随机变量间存在线
5、性关系时，等式(dngsh)成立，这种情况仅出现在随机过程u(n)是由K个纯复正弦信号之和组成。平稳平稳(pngwn)随机过程的自相关矩阵及其性质随机过程的自相关矩阵及其性质 实际中，由于不可避免地存在加性噪声，故平稳(pngwn)离散时间随机过程的相关矩阵几乎总是正定的。第七页，共14页。性质性质4 将观测向量将观测向量u(n)元素倒排，定义向量元素倒排，定义向量 uB(n)=u(n-M+1)u(n-M+2)u(n)T 这里，下标这里，下标B表示对向量表示对向量u(n)内各分量做反序排列内各分量做反序排列(pili)，则向量，则向量uB(n)的相关矩阵可以表示为的相关矩阵可以表示为平稳随机平
6、稳随机(su j)过程的自相关矩阵及其性质过程的自相关矩阵及其性质第八页，共14页。平稳平稳(pngwn)随机过程的自相关矩阵及其性质随机过程的自相关矩阵及其性质性质性质5 平稳离散平稳离散(lsn)时间随机过程的自相关矩阵时间随机过程的自相关矩阵R从从M维扩展为维扩展为M+1维，有如下递推关系维，有如下递推关系:或等价(dngji)地,有其中第九页，共14页。三、自相关矩阵的特征值与特征向量的性三、自相关矩阵的特征值与特征向量的性质质 对平稳随机过程的自相关矩阵对平稳随机过程的自相关矩阵R进行进行特征值分解，设向量特征值分解，设向量q1、q2、qM 分别分别(fnbi)是特征值是特征值1、2
7、、M 所对应的特征向量，即所对应的特征向量，即 通过对自相关矩阵R进行特征值分解，可以得到随机过程u(n)的某些统计信息，这便是离散时间随机过程的特征值分析方法，是统计信号处理的基础(jch)。下面介绍自相关矩阵的特征值和特征向量的性质。平稳平稳(pngwn)随机过程的自相关矩阵及其性质随机过程的自相关矩阵及其性质第十页，共14页。v性质性质1 特征值特征值1、2、M都是实数，都是实数，且是非负的。且是非负的。v性质性质2 对任意整数对任意整数k0，矩阵，矩阵(j zhn)Rk的的特征值为特征值为k1、k2、kM。v性质性质3 若特征值若特征值1、2、M各不相同，各不相同，则特征向量则特征向量
8、q1、q2、qM相互正交。相互正交。平稳随机平稳随机(su j)过程的自相关矩阵及其性质过程的自相关矩阵及其性质第十一页，共14页。平稳随机过程平稳随机过程(guchng)的自相关矩阵及其性质的自相关矩阵及其性质v性质性质(xngzh)4 若特征值若特征值1、2、M各不各不相同，是相应的归一化特征向量，即相同，是相应的归一化特征向量，即定义(dngy)矩阵则矩阵是酉矩阵，且相关矩阵可对角化为第十二页，共14页。v性质性质(xngzh)5 特征值之和等于相关矩阵的迹，即特征值之和等于相关矩阵的迹，即v性质性质(xngzh)6 Karhunen-Loeve展开展开第十三页，共14页。平稳平稳(pngwn)随机过程的自相关矩阵及其性质随机过程的自相关矩阵及其性质第十四页，共14页。