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1、四种命题相互关系 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望反证法：反证法：要要证证明明某某一一结结论论A是是正正确确的的，但但不不直直接接证证明明，而而是是先先去去证证明明A的的反反面面（非非A）是是错错误的，从而断定误的，从而断定A是正确的。是正确的。即即反反证证法法就就是是通通过过否否定定命命题题的的结结论论而而导导出出矛矛盾盾来来达达到到肯肯定定命命题题的的结结论论，完完成成命命题题的的论证的一种数学证明方法。论证的一种数学证明方法。例例 证明：若证明
2、：若p2q22，则，则pq2.将将“若若p2q22，则，则pq2”看成原命题。看成原命题。由于原命题和它的逆否命题具有相同的真由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，要证原命题为真命题，可以证明它假性，要证原命题为真命题，可以证明它的逆否命题为真命题。的逆否命题为真命题。即证明即证明 为真命题为真命题假设原命题结假设原命题结论的反面成立论的反面成立看能否推出原命题看能否推出原命题条件的反面成立条件的反面成立尝试成功尝试成功得证得证例例 证明：若证明：若p2q22，则，则pq2.反证法的步骤：反证法的步骤：1.假假设设命命题题的的结结论论不不成成立立，即即假假设设结结论论的的反面成立。反面成立
3、。2.从从这这个个假假设设出出发发，通通过过推推理理论论证证，得得出出矛盾。矛盾。3.由由矛矛盾盾判判定定假假设设不不正正确确，从从而而肯肯定定命命题题的结论正确。的结论正确。推理过程中一定要用到才行显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).可能出现矛盾四种情况：可能出现矛盾四种情况：l与题设矛盾；与题设矛盾；l与反设矛盾；与反设矛盾；l与公理、定理矛盾；与公理、定理矛盾；l在证明过程中，推出自相矛盾的结论。在证明过程中，推出自相矛盾的结论。练练 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。已知：如图，在已知：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于交于P，且，且AB、
4、CD不是直径不是直径.求证：弦求证：弦AB、CD不被不被P平分平分.证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分，平分，P点一定不是圆心点一定不是圆心O，连接，连接OP，根据垂径定理的推论，根据垂径定理的推论，有有OPAB,OPCD即即 过点过点P有两条直线与有两条直线与OP都垂直，都垂直，这与垂线性质矛盾，这与垂线性质矛盾，弦弦AB、CD不被不被P平分。平分。若a2能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除.证：假设证：假设a不能被不能被2整除，则整除，则a必为奇数，必为奇数，故可令故可令a=2m+1(m为整数为整数),由此得由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1,此结果表明此结果表明a2是奇数，是奇数，这这与与题题中中的的已已知知条条件件（a2能能被被2整整除除）相相矛矛盾盾,a能被能被2整除整除.