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1、机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 高阶线性微分方程(wi fn fn chn)解的结构 第六节二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构(jigu)三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构*四、常数变易法四、常数变易法 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 第十二章 第一页，共26页。一、二阶线性微分方程一、二阶线性微分方程(wi fn fn chn)举例举例 当重力(zhngl)与弹性力抵消时,物体处于 平衡状态,例例1.质量为质量为m的物体自由悬挂在一端的物体自由悬挂在一端(ydun)固定固定的弹簧上的弹簧上,力作用下作往复运动,解解:阻力的大小与运动
2、速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻 t 物位移为 x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二页，共26页。据牛顿(ni dn)第二定律得则得有阻尼(zn)自由振动方程:阻力(zl)(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三页，共26页。求电容器两极(lingj)板间电压 例例2.联组成(z chn)的电路,其中R,L,C 为常数,所满足(mnz)
3、的微分方程.提示提示:设电路中电流为 i(t),上的电量为 q(t),自感电动势为由电学知根据回路电压定律:设有一个电阻 R,自感L,电容 C 和电源 E 串极板机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0第四页，共26页。串联电路的振荡(zhndng)方程:如果电容器充电后撤(hu ch)去电源(E=0),则得机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 化为关于的方程:故有 第五页，共26页。n 阶线性微分方程的一般阶线性微分方程的一般(ybn)形式为形式为方程(fngchng)的共性 为二阶线性微分方程(wi fn fn chn).例例1例例2 可归结为同一形式
4、:时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.复习复习:一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六页，共26页。证毕二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构(jigu)是二阶线性齐次方程(fngchng)的两个(lin)解,也是该方程的解.证证:代入方程左边,得(叠加原理)定理定理1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七页，共26页。说明说明(shumng):不一定是所给二阶方程(fngchng)的通解.例如(lr),是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.机动 目录
5、 上页 下页 返回 结束 第八页，共26页。定义定义(dngy):是定义(dngy)在区间 I 上的 n 个函数(hnsh),使得则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关,否则称为线性无关线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;又如，若在某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为 0,可见在任何区间 I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九页，共26页。两个(lin)函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在(cnzi)不全为 0 的使(无妨设线性无关(wgun)常数思
6、考思考:中有一个恒为 0,则必线性相关相关(证明略)线性无关机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十页，共26页。定理定理(dngl)2.是二阶线性齐次方程(fngchng)的两个线性无关(wgun)特解,则数)是该方程的通解.例如例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)推论推论.是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解,则方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一页，共26页。三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构(jigu)是二阶非齐次方程(fngchng)的一个(y)特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理定理 3.则是非齐次方程的通解.证证:将代入方程左
7、端,得复习 目录 上页 下页 返回 结束 第十二页，共26页。是非(shfi)齐次方程的解,又Y 中含有(hn yu)两个(lin)独立任意常数,例如例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十三页，共26页。定理定理(dngl)4.分别(fnbi)是方程的特解,是方程(fngchng)的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十四页，共26页。定理定理(dngl)5.是对应(duyng)齐次方程的 n 个线性无关(wgun)特解,给定 n 阶非
8、齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十五页，共26页。常数,则该方程(fngchng)的通解是().设线性无关(wgun)函数都是二阶非齐次线性方程(fngchng)的解,是任意例例3.提示提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)(89 考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十六页，共26页。例例4.已知微分方程已知微分方程(wi fn fn chn)个解求此方程(fngchng)满足初始条件的特解.解解:是对应(duyng)齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所
9、求特解为有三 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十七页，共26页。*四、常数四、常数(chngsh)变变易法易法复习(fx):常数(chngsh)变易法:对应齐次方程的通解:设非齐次方程的解为 代入原方程确定 对二阶非齐次方程 情形情形1.已知对应齐次方程通解:设的解为 由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十八页，共26页。令于是(ysh)将以上结果(ji gu)代入方程:得故,的系数(xsh)行列式是对应齐次方程的解P10 目录 上页 下页 返回 结束 第十九页，共26页。积分(jfn)得:代入 即得非齐次方程(fngchng)的通解:于是(ys
10、h)得 说明说明:将的解设为 只有一个必须满足的条件即方程,因此必需再附加一 个条件,方程的引入是为了简化计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十页，共26页。非齐次方程非齐次方程(fngchng)通解通解为为其中其中(qzhng)：总结总结(zngji):第二十一页，共26页。情形情形(qng xing)2.仅知的齐次方程(fngchng)的一个非零特解 代入 化简得设其通解(tngji)为 积分得(一阶线性方程)由此得原方程的通解:代入 目录 上页 下页 返回 结束 第二十二页，共26页。例例5.的通解(tngji)为 的通解(tngji).解解:将所给方程将所给方程(fngchn
11、g)化为化为:已知齐次方程求利用,建立方程组:积分得故所求通解为,目录 上页 下页 返回 结束 第二十三页，共26页。例例.已知已知 是齐次方程是齐次方程(fngchng)的解的解,求非齐次方程求非齐次方程(fngchng)的通解。的通解。第二十四页，共26页。例例6.的通解(tngji).解解:对应(duyng)齐次方程为由观察(gunch)可知它有特解:令代入非齐次方程后化简得此题不需再作变换.特征根:设的特解为于是得的通解:故原方程通解为(二阶常系数非齐次方程二阶常系数非齐次方程)代入可得:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十五页，共26页。作业作业(zuy)P 331 1,5,6,7,8 第八节 目录 上页 下页 返回(fnhu)结束 第二十六页，共26页。