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1、微积分莫兴德莫兴德广西大学广西大学数信学院数信学院微微 积积 分分微积分链接目录第一章第一章 函数函数第二章第二章 极限与连续极限与连续第三章第三章 导数与微分导数与微分第四章第四章 中值定理中值定理,导数的应用导数的应用第五章第五章 不定积分不定积分第六章第六章 定积分定积分第七章第七章 无穷级数无穷级数(不要求不要求)第八章第八章 多元函数多元函数第九章第九章 微分方程微分方程复习微积分参考书参考书1赵树嫄赵树嫄.微积分微积分.中国人民出版社中国人民出版社2同济大学同济大学.高等数学高等数学.高等教育出版高等教育出版社社微积分第三章第三章 导数与微分导数与微分引例引例导数概念导数概念导数的
2、基本公式与运算法则导数的基本公式与运算法则高阶导数高阶导数微分微分微积分3-3 3-3 导数的基本公式导数的基本公式微积分初等函数微分法初等函数微分法 求导数的方法称为微分法。用定义只能求出求导数的方法称为微分法。用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数些公式和法则
3、就能比较方便地求出常见的函数初等函数的导数，从而是初等函数的求导初等函数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。问题系统化，简单化。微积分微积分微积分（2 2）算比值：）算比值：（3）取极限：）取极限：用类似的方法，可求得余弦函数用类似的方法，可求得余弦函数y=cosx的导数为：的导数为：微积分微积分微积分（n为正整数）的导数为正整数）的导数.（n为正整数）为正整数）微积分解解微积分解解微积分解解微积分解解微积分一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理定理微积分证证(1)(1)略略.证（证（2 2）微积分微积分证证(3)(3)微积分微积分注注（1）即是和、差的导数等
4、于导数的和、差）即是和、差的导数等于导数的和、差（2）即是乘积的导数等于第一个因子的导数）即是乘积的导数等于第一个因子的导数 乘以第二个因子再加上第一个因子乘以乘以第二个因子再加上第一个因子乘以 第二个因子的导数第二个因子的导数（3）即是商的导数等于分子的导数乘以分母）即是商的导数等于分子的导数乘以分母 减去分子乘以分母的导数，再除以分母减去分子乘以分母的导数，再除以分母 的平方的平方 （1）可推广到任意有限个可导函数的情形）可推广到任意有限个可导函数的情形 （2）也可推广到任意有限个函数的情形）也可推广到任意有限个函数的情形微积分 作为（作为（2）的特殊情况）的特殊情况即常数因子可以提到导数
5、符号的外面即常数因子可以提到导数符号的外面微积分即线性组合的导数等于导数的线性组合即线性组合的导数等于导数的线性组合说明求导是一线性运算说明求导是一线性运算作为（作为（3）的一种特殊情况，）的一种特殊情况，二、例题分析二、例题分析例例1 1解解微积分例例2 2解解例例3 3解解微积分同理可得同理可得例例4 4解解同理可得同理可得微积分例例5 5解解微积分微积分三、反函数的导数三、反函数的导数定理定理即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.微积分证明证明微积分微积分或者：或者：定理定理即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
6、微积分例例6 6解解同理可得同理可得微积分例例7 7解解特别地特别地微积分四、复合函数的求导法则四、复合函数的求导法则 前面我们已经会求简单函数前面我们已经会求简单函数基本初等函数经基本初等函数经有限次四则运算的结果有限次四则运算的结果的导数，但是像的导数，但是像等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求它们的导数它们的导数先看一个例子先看一个例子例例8 微积分这里我们是先展开，再求导，若像这里我们是先展开，再求导，若像求导数，展开就不是办法，再像求导数，展开就不是办法，再像求导数，根本无法展开，又该怎么办？求导数，根本无法展开，又该怎么办？仔细分
7、析一下，这三个函数具有同样的复合结构仔细分析一下，这三个函数具有同样的复合结构我们从复合函数的角度来分析一下上例的结果。我们从复合函数的角度来分析一下上例的结果。微积分再如再如注意到注意到由以上两例可见：由由以上两例可见：由复合复合而成的函数而成的函数的导数的导数恰好等于恰好等于对中间变量对中间变量的导数的导数与中间变量与中间变量对自变量对自变量的导数的导数的乘积的乘积这就是这就是链式法则链式法则微积分定理定理即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量求导求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)微积分证证上面的证
8、法有没有问题？上面的证法有没有问题？微积分证证微积分注注1.链式法则链式法则“由外向里，逐层求导由外向里，逐层求导”2.注意中间变量注意中间变量推广推广例例9 9解解微积分例例1010解解例例5 5解解微积分例例1111解解例例1212解解微积分例例13解解同理可得同理可得例例14 求幂函数的导数求幂函数的导数微积分例例1515解解微积分注注1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则基本初等函数的导数公式和上述求导法则是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分复合函数求导的链式法则是一元函数微分学的理论基础和精神支柱，要深
9、刻理解学的理论基础和精神支柱，要深刻理解，熟，熟练应用练应用注意不要漏层注意不要漏层3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部对于分段函数求导问题：在定义域的各个部分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理，分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理，在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导数是否存在。数是否存在。微积分例例16解解微积分微积分五、初等函数的求导问题五、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式微积分2.函数的和、差、积、商的求导法
10、则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu=可导，则可导，则（1）vuvu =)(,（2）uccu=)(（3）vuvuuv+=)(,（4）)0()(2 -=vvvuvuvu.(是常数是常数)微积分3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.注意注意:初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.4.双曲函数与反双曲函数的导数双曲函数与反双曲函数的导数微积分即即微积分同理同理微积分五、小结五、小结注意注意:分段函数分段函数求导时求导时,分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.反函数
11、的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）（注意成立条件）;复合函数的求导法则复合函数的求导法则（注意函数的复合过程（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链合理分解正确使用链导法）导法）;已能求导的函数已能求导的函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或常或常数与基本初等函数的和、差、积、商数与基本初等函数的和、差、积、商.关键关键:正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构.微积分思考题思考题微积分思考题解答思考题解答正确的选择是正确的选择是（3）例例在在 处不可导，处不可导，取取在在 处可导，处可导，在在 处不可导，处不可导，取取在在 处可导，处可导，在在 处可导，处可导，