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1、微积分基本定理及其生活微积分基本定理及其生活应用应用一、教材分析一、教材分析 地位、作用：地位、作用：欧洲数学家们冲出了古希腊人欧洲数学家们冲出了古希腊人“严格证明严格证明”的圣殿，以直观推断的思维方式，创立了被恩的圣殿，以直观推断的思维方式，创立了被恩格斯誉为格斯誉为“人类精神的最高胜利人类精神的最高胜利”的微积分学，的微积分学，微积分基本定理正是它的核心！微积分基本定理正是它的核心！二、学情分析：二、学情分析：上一节中刚学习了上一节中刚学习了“汽车行驶的路程汽车行驶的路程”，学生，学生明白路程的计算实际上是一个求定积分的过程，明白路程的计算实际上是一个求定积分的过程，即对即对 的定积分。的
2、定积分。让学生再一次感受小区间不断细分对近似程度让学生再一次感受小区间不断细分对近似程度的影响，如何通过逐步逼近而求出定积分。的影响，如何通过逐步逼近而求出定积分。教学过程：教学过程：引题引题追根溯源：追根溯源：公元公元3 3世纪诞生的刘徽著名的世纪诞生的刘徽著名的“割圆术割圆术”：教学过程：教学过程：情景情景设设置：置：首先首先让让学生回学生回顾计顾计算算的过程：的过程：=教学过程：教学过程：接着接着动动手利用定手利用定义计义计算算=重复以上步骤学生遇到重复以上步骤学生遇到了麻烦；引导学生分析原因：了麻烦；引导学生分析原因：和式难求和式难求 当被积函数是当被积函数是 如何求呢？如何求呢？=探
3、究探究问题模型：问题模型：如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律是由导数的概念可知，它在任意时刻是由导数的概念可知，它在任意时刻t t的速的速度是。设这个物体在时间段内的位度是。设这个物体在时间段内的位移为移为S S，你能分别用，表示吗？，你能分别用，表示吗？观察图象得到物体的位移观察图象得到物体的位移s s，即，即 分析分析:下面我们讨论如何用速度函数下面我们讨论如何用速度函数v(t)来表示位来表示位移移s，因为在上一节，因为在上一节“汽车行驶的路程汽车行驶的路程”中，学生中，学生知道了位移就是对速度函数知道了位移就是对速度函数v(t)的定积分，在此
4、的定积分，在此学生肯定会联想到只要知道了学生肯定会联想到只要知道了v(t),不就解决了吗不就解决了吗？但是题目已知的只是路程函数？但是题目已知的只是路程函数s(t),因此接下来因此接下来的关键在于建立的关键在于建立v(t)与与s(t)的关系。下面分的关系。下面分8个步个步骤来讨论：骤来讨论：）以研究这小段山高为例：以研究这小段山高为例：问题问题1 1能否把一小段的山高近似地看作一个直角三角形呢？能否把一小段的山高近似地看作一个直角三角形呢？问题问题2 2假设是直角三角形，那么斜边如何构造呢？假设是直角三角形，那么斜边如何构造呢？问题问题3 3在这个直角三角形种哪些量是已知或可求的？在这个直角三
5、角形种哪些量是已知或可求的？通过讨论发现山高通过讨论发现山高那么把所有累加起来那么把所有累加起来不正好就是山的高度吗？不正好就是山的高度吗？分割：分割：等分成等分成n个小区间个小区间=可用线段可用线段来近似代替曲边来近似代替曲边 ABAB，得到直角三角形，得到直角三角形ACDACD，ADAD正是正是曲线在左端点曲线在左端点A A处的切线，处的切线，由导数的几何意义可知：由导数的几何意义可知：ADAD的斜的斜率就是率就是tanDACtanDAC，所以所以 另一方面曲线另一方面曲线S S在左端点在左端点A A处的切线就是处的切线就是 ，引进导数引进导数近似代替近似代替：当很小时，我们可以认为当很小
6、时，我们可以认为 求和：求和：取极限：取极限：物体的总位移的近似值物体的总位移的近似值 就越接近精确值就越接近精确值S S 即即 =让学生观察，这不正是速度函数让学生观察，这不正是速度函数的定积分吗？的定积分吗？（引入定积分得到左边雏形引入定积分得到左边雏形）（建立导数与积分的关系建立导数与积分的关系）归纳小结：归纳小结：式表明，速度函数在区间式表明，速度函数在区间 a a，b b 上的定积分等于位移函数上的定积分等于位移函数 在区间在区间 a a，b b 的右端的右端点处的函数值点处的函数值s(b)s(b)与左端点处的函数值与左端点处的函数值s(a)之差之差式是否具有一般性呢？式是否具有一般
7、性呢？水到渠成：给出微积分基本定理的一般形式。水到渠成：给出微积分基本定理的一般形式。连续函数连续函数 f(x),若，则若，则即牛顿即牛顿莱布尼兹公式（莱布尼兹公式（NewtonLeibniz FormulaNewtonLeibniz Formula）。）。（16461716）（16421727）活学活用：活学活用：利用微积分基本定理解决前面的问题利用微积分基本定理解决前面的问题 以学生练习、讨论为主，让学生与上一节例题比较，以学生练习、讨论为主，让学生与上一节例题比较，得出结论：结果相同，但比用定义计算定积分简单，教得出结论：结果相同，但比用定义计算定积分简单，教师给出规范的书写格式。初步展
8、示利用微积分基本定理师给出规范的书写格式。初步展示利用微积分基本定理求定积分的优越性。求定积分的优越性。知识的延伸：通过计算下列定积分得到定积知识的延伸：通过计算下列定积分得到定积分的几何意义分的几何意义通过计算结果能发现什么结论？试利用曲边梯形的通过计算结果能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示发现的结论面积表示发现的结论我们发现：我们发现：（）定积分的值可取正值也可取负值，还可以是（）定积分的值可取正值也可取负值，还可以是0 0；（2 2）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x x轴上方时，定积分的值取正值；轴上方时，定积分的值取正值；（3 3）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x x轴下方时，定
9、积分的值取负值；轴下方时，定积分的值取负值；（4 4）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x x轴上方的面积等于位于轴上方的面积等于位于x x轴下方轴下方的面积时，定积分的值为的面积时，定积分的值为0 0得到定积分的几何意义：得到定积分的几何意义：曲边梯形面积的代数和曲边梯形面积的代数和。生活链接：生活链接：假设一物体从飞机上扔下，假设一物体从飞机上扔下，t秒物体的下落速度近似为：秒物体的下落速度近似为：（，）（，）（1）写出）写出t秒后物体下落距离的表达式；秒后物体下落距离的表达式；（2）如果是从高出地面）如果是从高出地面5000 m的高空处扔下，那么的高空处扔下，那么大约经过多少秒后将触到地面？大约经过多少秒后将触到地面？四、教学评价设计：四、教学评价设计：整个是由特殊到一般，直观到抽象，这样一个合整个是由特殊到一般，直观到抽象，这样一个合情推理的过程。让学生感知定积分的基本思想，并不情推理的过程。让学生感知定积分的基本思想，并不需要严格的证明。正是体现了新课标对学生现有认知需要严格的证明。正是体现了新课标对学生现有认知结构的深刻认识，打破了传统概念上由抽象到具体、结构的深刻认识，打破了传统概念上由抽象到具体、严格推理论证的模式。严格推理论证的模式。这不能不说是数学中一个更人这不能不说是数学中一个更人性化的改革！性化的改革！回顾历史生活事例探究问题