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1、微积分微积分一一(补充补充)导数在经济分析中的应用导数在经济分析中的应用导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济管理等导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用许多领域都有十分广泛的应用.下面介绍导数下面介绍导数(或微分或微分)在经济在经济中的一些简单的应用中的一些简单的应用.1.边际分析与弹性分析边际分析与弹性分析边际和弹性是经济学中的两个重要概念边际和弹性是经济学中的两个重要概念.用导数来研究经济变用导数来研究经济变量的边际与弹性的方法量的边际与弹性的方法,称之为称之为边际分析与弹性分析边际分析与弹性分析.(本段内容可参见微积分教程西南财大出版社本
2、段内容可参见微积分教程西南财大出版社)由弹性定义可知若由弹性定义可知若 y=(x)在点在点 x0 处可导处可导.则它在则它在x0处的弹处的弹性为性为 (3)弹性是一个无量纲的数值弹性是一个无量纲的数值,这一数值与计量单位无关这一数值与计量单位无关.例例 某日用消费品需求量某日用消费品需求量Q(件件)与单价与单价p(元元)的函数关系为的函数关系为(a是常数是常数),求求(1)需求弹性函数需求弹性函数(通常记作通常记作 ).(2)当单价分别是当单价分别是4元、元、4.35元、元、5元时的需求弹性元时的需求弹性.易知易知:任何需求函数对价格之弹性任何需求函数对价格之弹性 ,均满足均满足在商品经济中在
3、商品经济中,商品经营者关心的的是提价商品经营者关心的的是提价(p0)或降价或降价(p0)对总收益的影响对总收益的影响.下面利用需求弹性的概念下面利用需求弹性的概念,可以得出价格变可以得出价格变动如何影响销售收入的结论动如何影响销售收入的结论.(1)若若 (称为高弹性称为高弹性)时时,则则R与与p异异.此时降价此时降价(p0)将使收益减少将使收益减少;(2)若若 (称为低弹性称为低弹性)时时,则则R与与p 同号同号.此时此时,降价降价(p0)将使收益增加将使收益增加;从而有结论从而有结论:(3)若若 (称为单位弹性称为单位弹性)时时,则则R0.此时此时,无论是降价还是无论是降价还是提价均对收益没
4、有明显的影响提价均对收益没有明显的影响.由此对前例而言由此对前例而言:当当p=4时时,(低弹性低弹性),此时降价使此时降价使收益减少收益减少;提价使收益增加提价使收益增加;当当p=4.35 时时,(单位弹性单位弹性),此时此时,降价、提价对降价、提价对 收益没有明显的影响收益没有明显的影响;当当 p=5时时,(高弹性高弹性),此时降价使收益增加此时降价使收益增加;提价使收益减少提价使收益减少.例例某商品的需求量为某商品的需求量为2660单位单位,需求价格弹性为需求价格弹性为1.4.若该商若该商品价格计划上涨品价格计划上涨8%(假设其他条件不变假设其他条件不变),),问该商品的需求量会问该商品的
5、需求量会降低多少降低多少?解解 设该商品的需求量为设该商品的需求量为Q,在价格上涨时的改变量为在价格上涨时的改变量为 Q=Q2660 思考思考:用类似方法用类似方法,对供给函数、成本函数等常用经济函数进对供给函数、成本函数等常用经济函数进行弹性分析行弹性分析,以预测市场的饱和状态及商品的价格变动等以预测市场的饱和状态及商品的价格变动等.且且2 函数最值在经济分析中的应用函数最值在经济分析中的应用在经济管理中在经济管理中,需要寻求企业的最小生产成本或制定获得需要寻求企业的最小生产成本或制定获得利润最大的一系列价格策略等利润最大的一系列价格策略等.这些问题都可归结为求函数的这些问题都可归结为求函数
6、的最大值和最小值问题最大值和最小值问题.下面举例说明函数最值在经济上的应用下面举例说明函数最值在经济上的应用.(1)平均成本最小平均成本最小例例 某工厂生产产量为某工厂生产产量为 x (件件)时时,生产成本函数生产成本函数(元元)为为求该厂生产多少件产品时求该厂生产多少件产品时,平均成本达到最小平均成本达到最小?并求出其最并求出其最小平均成本和相应的边际成本小平均成本和相应的边际成本.(2)最大利润最大利润设总成本函数为设总成本函数为C(x),总收益函数为总收益函数为R(x),其中其中x为产量为产量,则在则在假设产量和销量一致的情况下假设产量和销量一致的情况下,总利润函数为总利润函数为假设产量
7、为假设产量为x0时时,利润达到最大利润达到最大,则由极值的必要条件和极值则由极值的必要条件和极值的第二充分条件的第二充分条件,L(x)必定满足必定满足:可见可见,当产量水平当产量水平 x=x0 使得边际收益等于边际成本时使得边际收益等于边际成本时,可获可获得最大利润得最大利润.L(x)=R(x)C(x)例例 某商家销售某种商品的价格满足关系某商家销售某种商品的价格满足关系p=70.2x(万元万元/吨吨),且且x为销售量为销售量(单位单位:吨吨),商品的成本函数为商品的成本函数为 C(x)=3x+1(万元万元)(1)若每销售一吨商品若每销售一吨商品,政府要征税政府要征税t (万元万元),求该商家
8、获最大求该商家获最大利润时的销售量利润时的销售量;(2)t 为何值时为何值时,政府税收总额最大政府税收总额最大.解解 (1)当该商品的销售量为当该商品的销售量为x时时,商品销售总收入为商品销售总收入为设政府征的总税额为设政府征的总税额为T,则有则有T =tx,且利润函数为且利润函数为(2)由由(1)的结果知的结果知,政府税收总额为政府税收总额为 显然显然,当当 t=2时时,政府税收总额最大政府税收总额最大.但须指出的是但须指出的是:为了使商家在纳税的情况下仍能获得最大利润为了使商家在纳税的情况下仍能获得最大利润,就应使就应使 即即t满足限制满足限制0t4,显然显然t=2并未超出并未超出t的限制
9、范围的限制范围.例例 某家银行某家银行,准备新设某种定期存款业务准备新设某种定期存款业务.假设存款量与利率假设存款量与利率成正比成正比,经预测贷款投资的收益率为经预测贷款投资的收益率为16%,那么存款利息定为多那么存款利息定为多少时少时,才能收到最大的贷款纯收益才能收到最大的贷款纯收益?*(3)最佳存款利息最佳存款利息解解 设存款利率为设存款利率为x,存款总额为存款总额为M,则由则由M与与x成正比成正比,得得M=kx (k是正常数是正常数)若贷款总额为若贷款总额为MM,则银行的贷款收益为则银行的贷款收益为 0.16 M =0.16 kx,而而这笔贷款这笔贷款M要付给存户的利息为要付给存户的利息
10、为 xM=kx2,从而银行的投资纯收从而银行的投资纯收益为益为故当存款利率为故当存款利率为8%时时,可创最高投资纯收益可创最高投资纯收益.解解 设每年的库存费和定货的手续费为设每年的库存费和定货的手续费为C,进货的批数为进货的批数为x,则批则批 量为量为 个个,且且*(4)最佳批量和批数最佳批量和批数 例例 某厂年需某种零件某厂年需某种零件 8000个个,需分期分批外购需分期分批外购,然后均匀投入使然后均匀投入使用用(此时平均库存量为批量的一半此时平均库存量为批量的一半).若每次定货的手续费为若每次定货的手续费为40元元,每个零件的库存费为每个零件的库存费为4元元.试求最经济的定货批量和进货批
11、数试求最经济的定货批量和进货批数.因而当进货的批数为因而当进货的批数为20批批,定货批量为定货批量为400个时个时,每年的库存每年的库存费和定货的手续费最少费和定货的手续费最少最经济最经济.企业在正常生产的经营活动中企业在正常生产的经营活动中,库存是必要的库存是必要的,但库存太但库存太多使资金积压、商品陈旧变质造成浪费多使资金积压、商品陈旧变质造成浪费.因此确定最适当的库因此确定最适当的库存量是很重要的存量是很重要的.*(5)最优决策时间最优决策时间 准备知识准备知识:设设 A0 为初始本金为初始本金(称现值称现值),r为年利率为年利率,按连续按连续 复复利计算利计算,t年末的本利和记作年末的
12、本利和记作 At(称总收入称总收入).则当年结算则当年结算m次时次时,就就有有从而有连续复利公式从而有连续复利公式欲求欲求At的现在值的现在值A0的问题称为贴现的问题称为贴现(率率)问题问题.则一年结算则一年结算m次次,t年末的贴现净额为年末的贴现净额为与此相反与此相反,经济学中把已知未来值为经济学中把已知未来值为At,贴现率也为贴现率也为r.按连续复利计算按连续复利计算,得得 t 年末的贴现净额为年末的贴现净额为(也称为贴现公式也称为贴现公式)例例 某酒厂有一批新酿的好酒某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在如果现在(假定假定t=0)就出售就出售,售价为售价为R0(元元).如果窖藏起来待日按陈酒价
13、格出售如果窖藏起来待日按陈酒价格出售(假设不计储藏费假设不计储藏费),),那么那么未来总收入就是时间未来总收入就是时间t的函数的函数 假设资金的贴现率为假设资金的贴现率为r,并以连并以连续复利计息续复利计息,为使总收入的现值最大为使总收入的现值最大,应在何年出售此酒应在何年出售此酒?解解 设这批酒窖藏设这批酒窖藏 t年整年整,售出总收入的现值为售出总收入的现值为L 故故 时时,函数函数L(t)在该点达到最大值在该点达到最大值,即储藏年限为即储藏年限为 (整年整年)时时,是最佳销售时间是最佳销售时间,此时收入的最大现值为此时收入的最大现值为如如r =0.10,则则 t =25,即此酒商应将此酒窖藏即此酒商应将此酒窖藏25年年.可见可见,利率利率(贴贴现率现率)越高窖藏期越短越高窖藏期越短.则按照贴现公式得则按照贴现公式得补充练习见课程主页补充练习见课程主页补充练习见课程主页补充练习见课程主页 结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！27