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1、球的表面积和体积球的表面积和体积球球人类的家地球人类未来的家火星探索火星的航天飞船 如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？为什么？实际问题实际问题 一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？哪一个球充入的气体较多？为什么？实际问题实际问题 怎样求球的表面积和体积？怎样求球的表面积和体积？提出问题提出问题 球既没有底
2、面，也无法象柱、锥、台体一样展成球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积实验方法实验方法h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积实验方法实验方法小小球球的的体体积积等于它它排排开开液液体体的的体体积积曹冲称象曹冲称象H假设将圆n等分，则n=6n=12A1A2OA2A1AnOpA3回顾圆面积公式的推导回顾圆面积公式的推导温故知新温故知新 割割 圆圆 术术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了积公式而发明
3、了“倍边法割圆术倍边法割圆术”他用加倍的方式他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小割之弥细，所失弥小”这样这样重复下去，就达到了重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣”这是世界上最早的这是世界上最早的“极限极限”思想思想极限思想极限思想已知球的半径为已知球的半径为R,用用V表示球的体积表示球的体积.AOAOB2C2r2r3r1球的体积球的体积OROA球的体积球的体积球的体积球的体积球的体积球的体积
4、在球的体积公式的推导过程中，使用了在球的体积公式的推导过程中，使用了“分割、求近似值、再将近似值转化为球的体积分割、求近似值、再将近似值转化为球的体积”的方法：的方法：球的体积球的体积 即先将半径即先将半径 n 等分；再求出每一部分体积等分；再求出每一部分体积的近似值，并将这些近似值相加，得出半球的的近似值，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积；当近似体积；当 n 无限变大时，就可得到半球的无限变大时，就可得到半球的体积体积例例1.1.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积求它的体积.例题讲解例题讲解(变式变式1 1)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是
5、外径是5cm,5cm,求它求它的内径的内径.(.(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2)解解:设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是答答:空心钢球的内径约为空心钢球的内径约为4.5cm.由计算器算得由计算器算得:例题讲解例题讲解 球面不能展开成平面图形，所以求球的表球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢式呢?回忆球的体积公式的推导方法回忆球的体积公式的推导方法,得到启发，得到启发，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式
6、球的表面积球的表面积第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：则球的表面积：则球的表面积：则球的体积为：则球的体积为：OO球的表面积球的表面积第第二二步步：求求近近似似和和由第一步得：由第一步得：O OO O球的表面积球的表面积第第三三步步：化化为为准准确确和和 如果网格分的越细如果网格分的越细,则则:“小锥小锥体体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥O O球的表面积球的表面积例1已知球的表面积为已知球的表面积为4，求它的体积，求它的体积解设球的半径为设球的半径为R，则，则4R24，解得，解得R1，所以球的表面积所以球的表面积S4R243236.变
7、式练习1 已知球的体积为已知球的体积为36，求它的表面积（，求它的表面积（）A 12 B 24 C 36 D 48c题型一球的表面积与体积 题型二球的组合体与三视图 例2（2016年辽宁卷）某某个个几几何何体体的的三三视视图图如如图图所所示示，则则这这个个几几何何体的表面积体的表面积_ .解：由由三三视视图图可可知知该该几几何何体体的的下下部部是是棱棱长长为为2的的正正方方体体，上上部部是是半半径径为为1的的半半球球，该该几几何何体体的的表表面面积为积为该几何体的表面积是为该几何体的表面积是为反思与感悟1.由由三三视视图图求求球球与与其其他他几几何何体体的的简简单单组组合合体体的的表表面面积积
8、和和体体积积，关关键键要要弄弄清清组组合合体体的的结构特征和三视图中数据的含义结构特征和三视图中数据的含义.2.求解表面积和体积时要避免重叠和交叉求解表面积和体积时要避免重叠和交叉.(1)(1)若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2 2倍倍,则半径变为原来的则半径变为原来的 倍倍.(2)(2)若球半径变为原来的若球半径变为原来的2 2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的 倍倍.(3)(3)若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:21:2，则其体积之比是，则其体积之比是 .(4)(4)若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是 .随堂练习随堂
9、练习 影响球的表面积及体积的只有一个元素，影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是就是球的半径球的半径.球半径的求法球半径的求法n方法一：方法一：直接法直接法n方法二：方法二：构造直角三角形构造直角三角形n方法三：方法三：补形补形一、直接法一、直接法正方体的内切球正方体的内切球,棱切球棱切球,外接球外接球正方体与球正方体与球切点：切点：各个面的中心各个面的中心。球心：球心：正方体的中心正方体的中心。直径：直径：相对两个面中心连线相对两个面中心连线。o球的直径等于正方体棱长。一、正方体的内切球一、正方体的内切球例题3(2015年年全全国国卷卷改改编编)一一个个球球内内切切于于棱棱长长为为2的的正
10、正方方体体，求它的表面积。求它的表面积。题型三球的切接问题A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O大显身手我最棒大显身手我最棒二、正方体的棱与球相切（棱切球）二、正方体的棱与球相切（棱切球）球的直径等于正方体一个面上的对角线长切点：切点：各棱的中点各棱的中点。球心：球心：正方体的中心正方体的中心。中学学科网中学学科网直径：直径：“对棱对棱”中点连线中点连线例例4 4、一个球与这个棱长为一个球与这个棱长为2 2的正方的正方体各条棱相切，求它的体积。体各条棱相切，求它的体积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OABCD
11、D1C1B1A1O对角面对角面正方体外接球的直径等于正方体的体对角线。正方体外接球的直径等于正方体的体对角线。三、正方体的外接球三、正方体的外接球例例5 5、一、一个球过这个棱长为个球过这个棱长为2 2的正方体的的正方体的各个顶点，求这个球的表面积各个顶点，求这个球的表面积.A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O正方体的内切球，棱切正方体的内切球，棱切球，外接球球，外接球三个球心合一三个球心合一半径之
12、比为半径之比为：长方体的外接球长方体的外接球对角面对角面例例6 6、长长方体的一个方体的一个顶顶点上三条棱点上三条棱长长分分别别是是3,4,53,4,5，且，且它的它的8 8个个顶顶点都在同一球面上，点都在同一球面上，则这则这个球的表面个球的表面积积是是（）A A2525 B B 50 50 C C 125 125 D D都不都不对对【解题关键】正方体的体对角线与球的直径相等。练习练习.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的它的各个顶点都在球各个顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。
13、A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。合，则正方体对角线与球的直径相等。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O正方体的外接球正方体的外接球变题变题1.1.如果球如果球O O和这个正方体的六个面都相切，则有和这个正方体的六个面都相切，则有S=S=。变题变题2.2.如果球如果球O O和这个正方体的各条棱都相切，则有和这个正方体的各条棱都相切，则有S=S
14、=。关键关键：找正方体的棱长找正方体的棱长a a与球半径与球半径R R之间的关系之间的关系二、构造直角三角形二、构造直角三角形球的性质球的性质 1.用一个平面去截球，截面是用一个平面去截球，截面是圆面圆面；用一个平面去；用一个平面去 截球面，截球面，截线是截线是圆圆。大圆大圆-截面过球心截面过球心,半径等于球半径半径等于球半径;小圆小圆-截面不过球心截面不过球心A2.球心和截面圆心的连线球心和截面圆心的连线垂直垂直于截面于截面OABC例例7.已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的的距离等于球半径的一半，且距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积
15、，表面积求球的体积，表面积解析如图，设截面圆的圆心为O，M为截面圆上任一点，反思与感悟反思与感悟：利用球半径、截面圆半径、：利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把球心到截面的距离构建直角三角形是把空间空间问题问题转化为转化为平面问题平面问题的主要途径的主要途径.MOOMOO三、三、补形法补形法ACBPO O类型一、棱两两垂直类型一、棱两两垂直ADCBPC变式变式1.C变式变式3.类型二、直棱柱类型二、直棱柱解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，
16、通过余弦值再利用正弦定理弦值再利用正弦定理 得到小圆半径得到小圆半径 ，从而解决问题。，从而解决问题。ABCDOABCDO求正四面体外接球的半径求正四面体外接球的半径求正方体外接球的半径求正方体外接球的半径例例10.求棱长为求棱长为 a 的正四面体的正四面体 D ABC 的外接球的外接球的表面积的表面积。类型四、正四面体与球类型四、正四面体与球进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。
17、记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三五成群，聚在大树，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑了，快来我给你扇扇强子，别跑了，快来我给你扇扇”。孩。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘
18、吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你看热的，跑什么？你看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅长的时间隧道，袅结束