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1、微分方程模型一微分方程模型一微分方程模型 涉及涉及“改变改变”、“变化变化”、“增加增加”、“减减少少”、“衰变衰变”、“边际边际”、“速度速度”、“运动运动”、“追赶追赶”、“逃跑逃跑”等等词语等等词语的确定性连续问题。的确定性连续问题。b b、微分方程建模的基本手段、微分方程建模的基本手段 微元法等微元法等a a、微分方程建模的对象、微分方程建模的对象 n解：首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间在下解：首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间在下午午5 5点点5 5分之前，则张某就不是嫌疑犯，否则不能将分之前，则张某就不是嫌疑犯，否则不能将张某排除。张某排除。n设设T(t)T(t)表示表示t
2、t时刻尸体的温度，并记晚上时刻尸体的温度，并记晚上8:208:20为为t=0t=0，则，则T(0)=32.6T(0)=32.6，T(1)=31.4T(1)=31.4。假设受害者死亡。假设受害者死亡时体温是正常的，即时体温是正常的，即T=37T=37是要确定受害者死亡的是要确定受害者死亡的时间，也就是求时间，也就是求T(t)=37T(t)=37的时刻，进而确定张某的时刻，进而确定张某是否是嫌疑犯。是否是嫌疑犯。n人体体温受大脑神经中枢调节。人死亡后体温调节人体体温受大脑神经中枢调节。人死亡后体温调节的功能消失，尸体的温度受外界环境温度的影响。的功能消失，尸体的温度受外界环境温度的影响。假设尸体温
3、度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化律与他同周围的温度差成正比。即：温度的变化律与他同周围的温度差成正比。即：n分离变量积分得：分离变量积分得：n由由T(0)=21.1+a=32.6 T(0)=21.1+a=32.6 得得a=11.5a=11.5；由；由T(1)=21.1+aeT(1)=21.1+ae-k-k=31.4=31.4n得得e-ke-k115/103115/103，即，即k=0.11k=0.11，所以，所以T(t)=21.1+11.5eT(t)=21.1+11.5e-0.11t-0.11tn当当T=37T=37时，有时，有t=-2.
4、95 t=-2.95 小时小时-2-2小时小时5757分，分，8 8小时小时2020分分2 2小时小时5757分分5 5小时小时2323分。即死分。即死亡时间大约在下午亡时间大约在下午5:235:23，因此张某不能被排，因此张某不能被排除在嫌疑犯之外。除在嫌疑犯之外。过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系 人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中哪些因素影响大，哪些因素影响小。哪些因素影响大，哪些因素影响小。模型模型分析分析 分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟过程的数学模型。烟过程的数
5、学模型。设想一个设想一个“机器人机器人”在典型环境下吸烟，在典型环境下吸烟，吸烟方式和外部环境认为是不变的。吸烟方式和外部环境认为是不变的。问题问题模型模型3 香烟过滤嘴的作用香烟过滤嘴的作用模型模型假设假设定性分析定性分析1）l1烟草长，烟草长，l2过滤嘴长，过滤嘴长，l=l1+l2，毒物量毒物量M均匀分布，密度均匀分布，密度w0=M/l12）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是行的数量比是a:a,a+a=13）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的毒物的(单位时间单位时间)吸收率分别是吸收率分别是b和和 4
6、）烟雾沿香烟穿行速度是常数）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃，香烟燃烧速度是常数烧速度是常数u，v uQ 吸一支烟毒物进入人体总量吸一支烟毒物进入人体总量模模型型建建立立0t=0,x=0，点燃香烟，点燃香烟q(x,t)毒物流量毒物流量w(x,t)毒物密度毒物密度1)求求q(x,0)=q(x)t时刻，香烟燃至时刻，香烟燃至 x=ut1)求求q(x,0)=q(x)2)求求q(l,t)3)求求w(ut,t)4)计算计算 Q结果结果分析分析烟草烟草为什么有作用为什么有作用?1）Q与与a,M成正比，成正比，aM是毒物集中在是毒物集中在x=l 处的吸入量处的吸入量2)过滤嘴因素，过滤嘴因素，,l2 负指
7、数负指数作用作用是毒物集中在是毒物集中在x=l1 处的吸入量处的吸入量3）(r)烟草的吸收作烟草的吸收作用用b,l1 线性线性作用作用带过滤嘴带过滤嘴不带过滤嘴不带过滤嘴结果结果分析分析4)与另一支不带过滤嘴的香烟比较，与另一支不带过滤嘴的香烟比较，w0,b,a,v,l 均相同，吸至均相同，吸至 x=l1扔掉扔掉提高提高 -b 与加长与加长l2，效果相同，效果相同历史背景历史背景:模型模型4 4（）赝品的鉴定赝品的鉴定 在第二次世界大战比利时解放以后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹在第二次世界大战比利时解放以后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹同谋犯。他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发
8、现线索，于同谋犯。他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现线索，于19451945年年5 5月月2929日以通敌罪逮捕了三流画家范日以通敌罪逮捕了三流画家范梅格伦（梅格伦（HAVanmeegrenHAVanmeegren），此），此人曾将人曾将1717世纪荷兰名画家扬世纪荷兰名画家扬弗米尔（弗米尔（Jan VeermeerJan Veermeer）的油画）的油画“捉奸捉奸”等卖等卖给纳粹德国戈林的中间人。可是，范给纳粹德国戈林的中间人。可是，范梅格伦在同年梅格伦在同年7 7月月1212日在牢里宣称：日在牢里宣称：他从未把他从未把“捉奸捉奸”卖给戈林，而且他还说，这一幅画和众所周知的油画卖
9、给戈林，而且他还说，这一幅画和众所周知的油画“在在埃牟斯的门徒埃牟斯的门徒”以及其他四幅冒充弗米尔的油画和两幅德胡斯（以及其他四幅冒充弗米尔的油画和两幅德胡斯（1717世纪荷兰世纪荷兰画家）的油画，都是他自己的作品，这件事在当时震惊了全世界，为了证明画家）的油画，都是他自己的作品，这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是一个伪造者，他在监狱里开始伪造弗米尔的油画自己是一个伪造者，他在监狱里开始伪造弗米尔的油画“耶稣在门徒们中间耶稣在门徒们中间”，当这项工作接近完成时，范，当这项工作接近完成时，范梅格伦获悉自己的通敌罪已被改为伪造罪，梅格伦获悉自己的通敌罪已被改为伪造罪，因此他拒绝将这幅画变陈，
10、以免留下罪证。因此他拒绝将这幅画变陈，以免留下罪证。为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史学家组成的国际专门小组查究这一事件。他们用学家组成的国际专门小组查究这一事件。他们用X X射线检验画布上是否曾经射线检验画布上是否曾经有过别的画。此外，他们分析了油彩中的拌料（色粉），检验油画中有没有有过别的画。此外，他们分析了油彩中的拌料（色粉），检验油画中有没有历经岁月的迹象。科学家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕历经岁月的迹象。科学家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕迹，还在几幅画中检验出了迹
11、，还在几幅画中检验出了2020世纪初才发明的酚醛类人工树脂。根据这些证世纪初才发明的酚醛类人工树脂。根据这些证据，范据，范梅格伦于梅格伦于19471947年年1010月月1212日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于19471947年年1212月月3030日死去。日死去。历史背景历史背景:然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的“在埃牟斯的门在埃牟斯的门徒徒”是范是范梅格伦伪造的。事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定
12、梅格伦伪造的。事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定为真迹，并以为真迹，并以1717万美元的高价被伦布兰特学会买下。专家小组对于怀疑者的万美元的高价被伦布兰特学会买下。专家小组对于怀疑者的回答是：由于范回答是：由于范梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制绘制“在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒”，来证明他高于三流画家。当创造出这样的杰作后，来证明他高于三流画家。当创造出这样的杰作后，他的志气消退了。而且，当他看到这幅他的志气消退了。而且，当他看到这幅“在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒”多么容易卖掉以多么容易卖掉以后，他在炮制后来的伪制
13、品时就不太用心了后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了 。这种解释不能使怀疑者感到。这种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学地、确定地证明满意，他们要求完全科学地、确定地证明“在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒”的确是一个伪的确是一个伪造品。这一问题一直拖了造品。这一问题一直拖了2020年，直到年，直到19671967年，才被卡内基年，才被卡内基梅伦梅伦（Carnegie-MellonCarnegie-Mellon）大学的科学家们）大学的科学家们 基本上解决。基本上解决。历史背景历史背景:原理与模型原理与模型 测定油画和其他岩石类材料的年龄的关键是本世纪初发现的测定油画和其他岩石类材料的年龄的
14、关键是本世纪初发现的放射性现象。放射性现象。放射性现象放射性现象：著名物理学家卢瑟夫在本世纪初发现，某些：著名物理学家卢瑟夫在本世纪初发现，某些“放放射性射性”元素的原子是不稳定的，并且在已知的一段时间内，有元素的原子是不稳定的，并且在已知的一段时间内，有一定比例的原子自然蜕变而形成新元素的原子，且物质的放射一定比例的原子自然蜕变而形成新元素的原子，且物质的放射性与所存在的物质的原子数成正比。性与所存在的物质的原子数成正比。用用N(t)表示时间表示时间t时存在的原子数时存在的原子数,则：则：常数常数是正的，称为该是正的，称为该物质的衰变常数物质的衰变常数 用用来计算半衰期来计算半衰期T:与负增
15、长的与负增长的MalthusMalthus模型模型完全一样完全一样 其解为其解为:令令则有则有:许多物质的半衰期已被测许多物质的半衰期已被测定，如碳定，如碳14，其，其T=5568；轴轴238，其，其T=45亿年。亿年。与本问题相关的其他知识与本问题相关的其他知识:(1)艺术家们应用白铅作为颜料之一，已达两千年以上。白艺术家们应用白铅作为颜料之一，已达两千年以上。白铅中含有微量的放射铅铅中含有微量的放射铅210，白铅是从铅矿中提炼出来的，而，白铅是从铅矿中提炼出来的，而铅又属于铀系，其演变简图如下（删去了许多中间环节）铅又属于铀系，其演变简图如下（删去了许多中间环节）(3)从铅矿中提炼铅时，铅
16、从铅矿中提炼铅时，铅210与铅与铅206一起被作为铅留下，一起被作为铅留下，而其余物质则有而其余物质则有9095%被留在矿渣里，因而打破了原有的放被留在矿渣里，因而打破了原有的放射性平衡。射性平衡。铀铀238-45亿亿年年-钍钍234-24天天-钋钋234-6/5分分-铀铀234-257亿亿年年-钍钍230-8万万年年-镭镭226-1600年年-氡氡222-19/5天天-钋钋218-3分分-铅铅214-27分分-钋钋214-铅铅210-20年年-铋铋210-5天天-钋钋210-138天天-铅铅206（一种非放射性物质）（一种非放射性物质）注：时间均为半衰期注：时间均为半衰期 (2)地壳里几乎所
17、有的岩石中均含有微量的铀。一方面，铀地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀。一方面，铀系中的各种放射性物质均在不断衰减，而另一方面，铀又不断系中的各种放射性物质均在不断衰减，而另一方面，铀又不断地衰减，补充着其后继元素。各种放射性物质（除铀以外）在地衰减，补充着其后继元素。各种放射性物质（除铀以外）在岩石中处于放射性平衡中。根据世界各地抽样测量的资料，地岩石中处于放射性平衡中。根据世界各地抽样测量的资料，地壳中的铀在铀系中所占平均重量比约为百万分之壳中的铀在铀系中所占平均重量比约为百万分之2.7（一般含量（一般含量极微）。各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未发现含极微）。各地采集的岩石中铀的
18、含量差异很大，但从未发现含量高于量高于23%的。的。简化假定：简化假定：本问题建模是为了鉴定几幅不超过本问题建模是为了鉴定几幅不超过300年的古画，为了使模型年的古画，为了使模型尽可能简单，可作如下假设：尽可能简单，可作如下假设：(1)由于镭的半衰期为由于镭的半衰期为1600年，经过年，经过300年左右，应用微分年左右，应用微分方程方法不难计算出白铅中的镭至少还有原量的方程方法不难计算出白铅中的镭至少还有原量的90%，故可以，故可以假定，每克白铅中的镭在每分钟里的分解数是一个常数。假定，每克白铅中的镭在每分钟里的分解数是一个常数。(2)铅铅210210的衰变为：的衰变为：铅铅210T=22年年
19、钋钋210铅铅206T=138天天若画为真品，颜料应有若画为真品，颜料应有300年左右或年左右或300年以上的历史，容易证年以上的历史，容易证明：每克白铅中钋明：每克白铅中钋210的分解数等于铅的分解数等于铅210的分解数（相差极微，的分解数（相差极微，已无法区别）。可用前者代替后者，因钋的半衰期较短，易于已无法区别）。可用前者代替后者，因钋的半衰期较短，易于测量测量。建模：建模：(1)记提炼白铅的时刻为记提炼白铅的时刻为t=0，当时每克白铅中铅，当时每克白铅中铅210的分子的分子数为数为y0，由于提炼前岩石中的铀系是处于放射性平衡的，故铀，由于提炼前岩石中的铀系是处于放射性平衡的，故铀与铅的
20、单位时间分解数相同。可以推算出当时每克白铅中铅与铅的单位时间分解数相同。可以推算出当时每克白铅中铅210每分钟分解数不能大于每分钟分解数不能大于30000个。个。若若则则（个）这些铀约重这些铀约重 （克）即每克白铅约含即每克白铅约含0.040.04克铀，含量为克铀，含量为4%4%以上确定了每克白铅中铅分解数以上确定了每克白铅中铅分解数的上界，若画上的铅分解数大于的上界，若画上的铅分解数大于该值，说明画是赝品；但若是小该值，说明画是赝品；但若是小于不能断定画一定是真品。于不能断定画一定是真品。(2)设设t时刻时刻1克白铅中铅克白铅中铅210含量为含量为y(t)，而镭的单位时间分，而镭的单位时间分
21、解数为解数为r（常数），则（常数），则y(t)满足微分方程：满足微分方程：由此解得：由此解得：故：故：画中每克白铅所含铅画中每克白铅所含铅210目前的分解数目前的分解数y(t)及目前镭的分解及目前镭的分解数数r均可用仪器测出，从而可求出均可用仪器测出，从而可求出y0的近似值，并利用（的近似值，并利用（1）判）判断这样的分解数是否合理。断这样的分解数是否合理。Carnegie-MellonCarnegie-Mellon大学的科学家们利用上述模型对部分有疑问大学的科学家们利用上述模型对部分有疑问的油画作了鉴定，测得数据如下（见表的油画作了鉴定，测得数据如下（见表3-13-1）。）。油画名称油画名称
22、210210分解数（个分解数（个/分）分）镭镭226226分解数（个分解数（个/分）分）1 1、在埃牟斯的门徒、在埃牟斯的门徒 8.5 8.50.80.82 2、濯足、濯足12.612.60.260.263 3、看乐谱的女人、看乐谱的女人10.310.30.30.34 4、演演奏奏曼曼陀陀琳琳的的女女人人8.28.20.170.175 5、花边织工、花边织工1.51.51.41.46 6、笑女、笑女5.25.26.06.0计算计算y0（个（个/分）分）98050980501571301571301273401273401022501022501274.81274.8-10181-10181表表
23、3-1 3-1 对对“在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒”，y y0 09805098050（个（个/每克每分钟），它必定是一每克每分钟），它必定是一幅伪造品。类似可以判定（幅伪造品。类似可以判定（2 2），（），（3 3），（），（4 4）也是赝品。而（）也是赝品。而（5 5）和（）和（6 6）都不会是几十年内伪制品，因为放射性物质已处于接近平衡的状态，这样的都不会是几十年内伪制品，因为放射性物质已处于接近平衡的状态，这样的平衡不可能发生在十九世纪和二十世纪的任何作品中。平衡不可能发生在十九世纪和二十世纪的任何作品中。判定判定结果：结果：1 1从制冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输从制冰厂购买了一
24、块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了途中发现，第一小时大约融化了1/41/4（1 1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）（变）（2 2）如运输时间需要如运输时间需要2.52.5小时，问：运输小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？途中冰块大约会融化掉多少？思考题思考题2 2某人每天由饮食获取某人每天由饮食获取25002500大卡的热量，其中大卡的热量，其中新陈代谢约需新陈代谢约需12001200大卡，每公斤体重约需运动大卡，每公斤体重约需运动消耗消耗1616大卡，其余热量则转化为脂肪，每公斤大卡，其余热量则转化为脂肪，每公斤脂肪相当于脂肪相当于1000010000大卡，求此人体重的增长公式大卡，求此人体重的增长公式及极限体重。及极限体重。