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1、微积分莫兴德莫兴德广西大学广西大学数信学院数信学院微微 积积 分分微积分链接目录第一章第一章 函数函数第二章第二章 极限与连续极限与连续第三章第三章 导数与微分导数与微分第四章第四章 中值定理中值定理,导数的应用导数的应用第五章第五章 不定积分不定积分第六章第六章 定积分定积分第七章第七章 无穷级数无穷级数(不要求不要求)第八章第八章 多元函数多元函数第九章第九章 微分方程微分方程复习微积分参考书参考书1赵树嫄赵树嫄.微积分微积分.中国人民出版社中国人民出版社2同济大学同济大学.高等数学高等数学.高等教育出版高等教育出版社社微积分第四章第四章函数的极值及其求法函数的极值及其求法微积分函数的极值
2、及其求法函数的极值及其求法 由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成曲线在升、降转折点处形成“峰峰”、“谷谷”，函，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论。值得我们作一般性的讨论。微积分一、函数极值的定义一、函数极值的定义微积分定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,
3、使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.微积分二、函数极值的求法二、函数极值的求法定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义注意注意:例如例如,微积分注注这个结论又称为这个结论又称为Fermat定理定理如果一个可导函数在所论区间上没有驻点如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号则此函数没有极值，此时导数不改变符号不可导点也可能是极值点不可导点也可能是极值点可疑极值点：可疑极值点：驻点、不可导点驻点、不可导点 可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、判明。由单调
4、性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。即可得到解决。微积分定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)微积分求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)微积分例例1 1解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值微积分图形如下图形如下微积分定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)证证微积分例例2 2解解图形如下图形如下微积分注意注意:微积分例例3 3解解注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.微积分例例4证证（不易判明符
5、号）（不易判明符号）而且是一个最大值点，而且是一个最大值点，微积分例例5 设设f(x)连续，且连续，且f(a)是是f(x)的极值，问的极值，问f 2(a)是否是是否是 f 2(x)的极值的极值证证分两种情况讨论分两种情况讨论所以所以 f 2(a)是是 f 2(x)的极小值的极小值微积分设设f(a)是是f(x)的极小值，且的极小值，且又又f(x)在在 x=a 处连续，且处连续，且f 2(a)是是 f 2(x)的极大值的极大值同理可讨论同理可讨论f(a)是是f(x)的极大值的情况的极大值的情况微积分例例6 假定假定f(x)在在x=x0处具有直到处具有直到n阶的连续导数，且阶的连续导数，且证明当证明
6、当n为偶数时，为偶数时，f(x0)是是f(x)的极值的极值当当n为奇数时，为奇数时，f(x0)不是不是f(x)的极值的极值证证由由Taylor公式，得公式，得微积分因此存在因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内的一个小邻域，使在该邻域内下面来考察两种情形下面来考察两种情形n为奇数，当为奇数，当x 渐增地经过渐增地经过x0时时变号变号不变号不变号变号变号不是极值不是极值微积分n为偶数，当为偶数，当x 渐增地经过渐增地经过x0时时不变号不变号不变号不变号不变号不变号是极值是极值且当且当时时是极小值是极小值当当时时是极大值是极大值微积分极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)三、小结三、小结微积分思考题思考题下命题正确吗？下命题正确吗？微积分思考题解答思考题解答不正确不正确例例微积分在在1和和1之间振荡之间振荡故命题不成立故命题不成立