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1、中考专题复习路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题;B二、原理：两点之间,线段最短;垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化）三、例题：例、如右图是一个棱长为的正方体木块,一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点 B 处，则它爬行的最短路径是。如右图是一个长方体木块，已知 AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点 A 处,它要沿着木块侧面爬到点 D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是。DCAB例 2、如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。李庄B张村AL如图,直线 L 同侧有两点 A、，
2、已知 A、B 到直线的垂直距离分别为 1 和 3,两点的水平距离为，要在直线 L 上找一个点 P，使P+B 的和最小。请在图中找出点的位置，并计算 PA+PB的最小值。要在河边修建一个水泵站,向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为Km 和 3Km,张村与李庄的水平距离为 3Km，则所用水管最短长度为。张村李庄-四、练习题(巩固提高）(一）1、如图是一个长方体木块,已知 AB=5,B3,CD=4，假设一只蚂蚁在点处,它要沿着木块侧面爬到点 D 处,则蚂蚁爬行的最短路径是。2、现要在如图所示的圆柱体侧面 A 点与 B 点之间缠一条金丝带(金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为cm
3、,底面圆周长为6cm，则所缠金丝带长度的最小值为。3、如图是一个圆柱体木块,一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从 A 点爬到点处吃到食物，知圆柱体的高为 5c,底面圆的周长为4c,则蚂蚁爬行的最短路径为。4、正方形ABD 的边长为 8，M 在 D上,且 DM=2，是AC 上的一动点，DN 的ADBBCABAA第 1 题A第 2 题第 3 题最小值为。DPACEB图(2)OPDCB图(3)第 4 题第 5 题第 6 题第题5、在菱形ACD 中，B=2，BAD=60，点E 是B 的中点，P 是对角线C 上的一个动点，则 PE+B 的最小值为。-6、如图,在C 中,ACBC2,ACB=9，是 B边的中点，E
4、是 AB 边上一动点，则ED 的最小值为_。7、AB 是的直径，AB=，O是O 的半径,OAB,点 D 在上,AD=2C，点 P 是半径 OC 上的一个动点,则P+D 的最小值为_。（二)8、如图,点 P 关于 OA、O的对称点分别为 C、D,连接 CD,交 OA 于 M，交 OB 于 N，若D=8cm,则PN 的周长为_。9、已知，如图是ABC 的边 AB 的垂直平分线,D 为垂足,D交 BC 于 E,且5,BC8，则AEC 的周长为_。10、已知,如图,在ABC 中,AC，BC 边上的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D,交C 于点 E，AC=8,ABE 的周长为 1,则B 的长。1、如图
5、,在锐角ABC 中，AB4错误错误!，BC=45，BAC 的平分线交 BC 于点 D,M、分别是D 和 AB 上的动点，则 B+M的最小值是_12、在平面直角坐标系中,有 A(,2）,（4,2)两点，现另取一点 C（1,n）,当 n=时,C+BC 的值最小DCPFAEB-第 11 题第 14 题第 15 题13、AB中,C=90，AB=10,A=6,BC=8,过B 边上一点 P 作EC 于 E,PFBC于 F,、F 是垂足，则 EF 的最小值等于4、如图,菱形 AC中，AB=,BAD=0，点 E、F、P 分别是 AB、BC、AC 上的动点,则 PE+P的最小值为_.、如图,村庄 A、位于一条小
6、河的两侧，若河岸 a、彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥，问桥址应如何选择,才能使 A 村到 B 村的路程最近?1、一次函数 y=+b 的图象与 x、轴分别交于点（，）,B(0，4)（)求该函数的解析式;(2)O 为坐标原点,设 O、A的中点分别为 C、D，为OB点,求 P+PD 的最小值,并求取得最小值时点坐标上一动（三）16、如图，已知AOB 内有一点 P，试分别在边 OA 和各找一点 E、,使得PEF 的周长最小。试画出图形,并说明理OB 上由。17、如图，直线是第一、三象限的角平分线实验与探究:（1)由图观察易知 A（0,2)关于直线的对称点的坐标为（2，0）,请在图中分别标明 B
7、（5，3)、C(-2，5)关于直线的对称点 B、C的位置,并写出他们的坐标:、-C；归纳与发现：（2）结合以上三组点的坐标,你会发现：坐标内任一点 P(a,)关于第一、三象限的角平分线对称点 P的坐标为;运用与拓广:(3）已知两点D(1,-3)、（，）,试在上确定一点 Q，使点 Q 到 D、E 两点的距离之小，并求出 Q 点坐标18、几何模型:平面的直线 l和最条件：如图，A、B 是直线 L 同旁的两个定点问题:在直线 L 上确定一点 P，使 P+P的值最小.方法:作点A关于直线l的对称点A，连结AB交l于点P,则PA PB AB的值最小（不必证明）.模型应用:（1）如图 1,正方形ABCD的
8、边长为 2,E为AB的中点，P是AC上一动点连结BD,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连结ED交AC于P，则PB PE的最小值是_；(2)如图 2,O的半径为 2，点A、B、C在O上，OAOB，AOC 60,P是OB上一动点，求PA PC的最小值；（3）如图3,AOB=45,P 是AO内一点,O=10，Q、R 分别是A、B 上的动点，求PQR 周长的最小值.BBBARAPEClABOC图 2PPBOQA图 1图 3AD1、问题探究(1)如图，四边形ABCD是正方形,AB 10cm,E为边BC的中点，P为BD上的一个动点,求PC PE的最小值；（2)如图,若四边形ABCD是菱形，AB
9、 10cm,ABC 45，E为边BC上的一个动点,P为BD上的一个动点，求PC PE的最小值;问题解决（3）如图,若四边形 ABD 是矩形，AB 10cm,BC 20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点,求PC PE的最小值；APDAADDBBECC-BC-2020.如图，在直角坐标系中，点的坐标为如图，在直角坐标系中，点的坐标为(-2(-2，0),0),连结连结 0A0A，将线段，将线段 OAOA 绕原点顺时针旋绕原点顺时针旋转转 120120。，得到线段，得到线段 OB.OB.（1 1）求点）求点 B B 的坐标的坐标;（2)2)求经过、求经过、OO、三点的抛物线的解析式；、
10、三点的抛物线的解析式；(）在（）在（2 2）中抛物线的对称轴上是否存在点）中抛物线的对称轴上是否存在点 C C，使，使OO的周长最小？若存在，求出点的周长最小？若存在，求出点 C C的坐标；若不存在的坐标；若不存在,请说明理由请说明理由.(.(注意：本题中的结果均保留根号）注意：本题中的结果均保留根号）解：解：(1)(1)过点作过点作D Dx轴于点轴于点 D,D,由已知可得由已知可得:O:O BOBO6 6。.在在 R ROBDOBD 中中,ODB=90ODB=90。，OOD=30D=30。.OO,DB,DB3点点 B B 的坐标是（的坐标是（1,1,3）.()设所求抛物线的解析式为设所求抛物
11、线的解析式为y ax2bxc，由已知可得，由已知可得:OAOA2,2,c 0abc 34a2bc 0解得解得:a 32 3,b,c 0.33322 3x x.33所求抛物线解析式为所求抛物线解析式为y（3)3)存在存在.由由y 322 3332x x配方后得配方后得:y x13333抛物线的对称轴为抛物线的对称轴为x-1.-1.（也写用顶点坐标公式求出）（也写用顶点坐标公式求出）-=2=2，要使，要使BOCBOC 的周长最小，必须的周长最小，必须 B BOO 最小最小.点点 OO 与点与点 A A 关于直线关于直线x=1 1 对称对称,有有 C CCA.CA.BOCBOC 的周长的周长=OB=
12、OBCOCOOO+BC+CA.+BC+CA.当、当、C C、B B 三点共线，即点三点共线，即点 C C 为直线为直线 A A与抛物线对称轴的交点时，与抛物线对称轴的交点时，BC+CABC+CA 最小最小,此时此时BOBO的周长最小的周长最小k b 3设直线设直线 ABAB 的解析式为的解析式为y kxb,则有:2k b 0解得解得:k 32 332 3,b.直线直线 ABAB 的解析式为的解析式为y x.333333.所求点的坐标为（所求点的坐标为（1 1，）.332当当x=1 1 时时,y 4 32121、如图、如图,抛物线抛物线y ax bxc的顶点的顶点的坐标为的坐标为1，,交交x x
13、轴于轴于A A、B B两点，交两点，交轴轴33).于点于点C(0，yD（）求抛物线的表达式（）求抛物线的表达式(2(2）把）把ABCABC绕绕ABAB的中点的中点E E旋转旋转0 0，得到四边形，得到四边形A AC C.AO判断四边形判断四边形ADBCADBC的形状的形状,并说明理由并说明理由(）试问在线段）试问在线段ACAC上是否存在一点上是否存在一点F F，使得，使得BDBD的周长最小的周长最小,C若存在若存在,请写出点请写出点的坐标的坐标;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.解：解：(1)(1)由题意知由题意知EBxP解得解得a 32 3，b -3-3 分分33(列出方程组给列出方程
14、组给 1 1 分，解出给分，解出给 2 2 分分)抛物线的解析式为抛物线的解析式为y 322 3x x3-4-4 分分33-（2)2)设点设点A A（x1，0)0)，B B（x2,0,0），则，则322 3x x3 0,33解得解得x1 1，x2 3-5-5 分分 A A=1=1，OBOB3 3又又t tn n OCBOCB|OB|3|OC|OCBOCB=60=60，同理可求，同理可求OCAOCA3 3A AB B=9=9-分分由旋转性质可知由旋转性质可知ACAC=BDBD,C C=ADAD四边形四边形ADBADB是平行四边形是平行四边形-7-7分分又又CBCB=9=9.四边形四边形A AB
15、B是矩形是矩形-8-8 分分（3)3)延长延长C C至至NN，使，使CN CB假设存在一点假设存在一点F F,使使FBDFBD的周长最小的周长最小即即FD FB DB最小最小 B B固定长只要固定长只要FDFD+FBFB最小最小.又又CACAB B D D+FBFBF F+F F.当当、F F、D D在一条直线上时在一条直线上时,F F+FBFB最小最小-10-10 分分1又又为为BNBN的中点的中点,FC AC（即（即F F为为C C的中点的中点).).231又又A A（,0),0),C C（0 0，错误错误!）点点F F的坐标为的坐标为F F（，）2231 存在这样的点存在这样的点(，），
16、使得，使得F FD D的周长最小的周长最小.-.-1-1分分2222.22.已知已知:直线直线y 11x1与与y轴交于轴交于,与与x轴交于轴交于D D,抛物线抛物线y x2bxc与直线交于与直线交于A A、E E22两点两点,与与x轴交于轴交于B B、C C两点两点,且且B B点坐标为点坐标为（1,01,0）(）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2)2)动点动点P P在在x轴上移动，当轴上移动，当是直角三角形且以是直角三角形且以P P为直角顶点时，求点为直角顶点时，求点P P的坐标的坐标.(3(3）在抛物线的对称轴上找一点）在抛物线的对称轴上找一点,使使|AM MC|的值最大，求出点的值
17、最大，求出点MM的坐标的坐标.-ADO BCxyE-答案答案:（1)1)将将（0 0，1)1)、B B（1 1，0)0)坐标代入坐标代入y 31 cb 解得解得210 bc2c 112x bxc得得2123x x13 3 分分2213()设点设点的横坐标为的横坐标为mm，则它的纵坐标为，则它的纵坐标为m2m1,2213则则E E（m，m2m1)221131又点又点E E在直线在直线y x1上，上，m2m1m1.2222y抛物线的解折式为抛物线的解折式为y 解得解得m1 0(舍去舍去),),m2 4 E E的坐标为（的坐标为（4 4，3).3).4 4 分分A过过E E作作EFx轴于轴于F,设设
18、 P P（b,0).b,0).由由OPAFPE 90，得，得OPA FEPBCEFRtAOPRtPFE.由由AOOP1b得得PFEF4b3解得解得b11,b2 3此时的点此时的点P P的坐标为（的坐标为（1,1,）或（）或（3 3，)分分（3 3）抛物线的对称轴为）抛物线的对称轴为x 33.B B、C C关于关于x 对称，对称，MC MB22要使要使|AM MC|最大，即是使最大，即是使|AM MB|最大最大分分由三角形两边之差小于第三边得，当由三角形两边之差小于第三边得，当A A、B B、MM在同一直线上时在同一直线上时|AM MB|的值最大的值最大易知直线易知直线B B的解折式为的解折式为 y x1.3x y x12 MM(3,1）.1010 分分由由得得3221x y 22-