《1991考研数二真题及解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1991考研数二真题及解析.pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题(每小题3 分,满分15 分.把答案填在题中横线上.)(1)设ln(13)xy,则dy.(2)曲线2xye的上凸区间是.(3)21ln xdxx.(4)质点以速度2sin()tt米每秒作直线运动,则从时刻12t秒到2t秒内质点所经过的路程等于米.(5)1101limxxxexe.二、选择题(每小题3 分,满分15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)若曲线2yxaxb和321yxy 在点
2、(1,1)处相切,其中,a b是常数,则 ()(A)0,2ab (B)1,3ab (C)3,1ab (D)1,1ab (2)设函数2 ,01,()2,12,xxf xxx记0()(),02xF xf t dtx,则 ()(A)32 ,013()12,1233xxF xxxx (B)32 ,013()72,1262xxF xxxx(C)322 ,013()2,1232xxF xxxxx (D)32 ,013()2,122xxF xxxx(3)设函数()f x在(,)内有定义,00 x 是函数()f x的极大点,则 ()(A)0 x必是()f x的驻点 (B)0 x必是()fx的极小点 欢迎您阅读
3、并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！(C)0 x必是()f x的极小点 (D)对一切x都有0()()f xf x(4)曲线2211xxeye ()(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(5)如图,x轴上有一线密度为常数,长度为l的细杆,有一质量为m的质点到杆右端的距离为a,已知引力系数为k,则质点和细杆之间引力的大小为 ()(A)02()lkmdxax (B)20()lkmdxax(C)0222()lkmdxax (D)2202()lkmdxax 三、(每小题5 分,满分25 分.)(1)设
4、cossinxttytt,求22d ydx.(2)计算 41(1)dxxx.(3)求 20sinlim(1)xxxxx e.(4)求 2sinxxdx.(5)求微分方程xxyyxe满足(1)1y的特解.四、(本题满分9 分)利用导数证明：当1x 时,有不等式ln(1)ln1xxxx成立.五、(本题满分9 分)求微分方程cosyyxx的通解.六、(本题满分9 分)O l am x 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！曲线(1)(2)yxx和x轴围成一平面图形,求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积.七、(本题满分9 分)如图,A和D
5、分别是曲线xye和2xye上的点,AB和DC均垂直x轴,且 :2:1ABDC,1AB,求点B和C的横坐标,使梯形ABCD的面积最大.八、(本题满分9 分)设函数()f x在(,)内满足()()sinf xf xx,且(),0,)f xx x,计算3()f x dx.xy B O C 1 xye 2xye D A 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题(每小题3 分,满分15 分.把答案填在题中横线上.)(1)【答案】ln331xdx【解析】由复合函数求导法则,即()yf x的
6、微分为()()dyf xfx dx,有 1ln33ln3(1)1 331xxxdydxdx .(2)【答案】11(,)22【解析】求函数()yf x的凹凸区间,只需求出y,若0y,则函数图形为上凹,若 0y,则函数图形为上凸,由题可知 22(2)2,xxyexxe 222212(2)(2)4()2xxxyex exex .因为240 xe,所以当2102x 时0y,函数图像上凸,即2122,222xx时,函数图像上凸.故曲线上凸区间为11(,)22.(3)【答案】1【解析】用极限法求广义积分.22111lnln1limlimln()bbbbxxdxdxxdxxx 11ln1 1lim()bbb
7、xdxxx x分部 1lnln11ln1limlim()111bbbbbbxbb .(4)【答案】12【解析】这是定积分的应用.设在ttdt 时刻的速度为2sin()tt,则在dt时间内的路程为2sin()dsttdt,所以从时刻12t秒到2t秒内质点所经过的路程为 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！212sin()ttsttdt 222/2/21sin()sin()2ttdttdt 2/21111cos()(coscos)(1 0)22222t .(5)【答案】1【解析】这是一个型未定式,分子分母同乘以1xe,得 11110011l
8、imlim1xxxxxxeexexe.为简化计算,令1tx,则1xt,原式可化为 110110 1limlim10 111txttxxeeexet.二、选择题(每小题3 分,满分15 分.)(1)【答案】(D)【解析】两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的导数相等,对两函数分别对x求导,得 2yxa,则该曲线在点(1,1)处的导数为12xya,3223yyxy y,即3223yyxy,则曲线在点(1,1)处的导数为 321(1)123 1(1)xy ,两导数相等,有21a,即1a .又因为曲线2yxaxb过点(1,1),所以有111 1,1abbb b .所以选项(D)正
9、确.(2)【答案】(B)【解析】这是分段函数求定积分.当01x时,2()f xx,所以23300011()()33xxxF xf t dtt dttx.当12x时,()2f xx,所以 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！12001()()(2)xxF xf t dtt dtt dt 132201111112(2)(2)32322xtttxx 271262xx.所以32,013()72,1262xxF xxxx,应选(B).(3)【答案】(B)【解析】方法一：用排除法.由于不可导点也可取极值,如()1f xx,在01x 处取极大值,但是
10、01x 不是()1f xx 的驻点,所以(A)不正确；注意到极值的局部性,即极值不是最值,所以(D)也不正确；对于()|1|f xx,在01x 处取极大值,但01x 并非是()|1|f xx的极小值点,所以(C)也不成立；故选(B).方法二：证明(B)是正确的,因为00 x,不妨设00 x,则0()f x为极大值,则在0 x的某个领域内有00()()f xf xx；函数()yfx 与函数()yf x关于原点对称,所以必有00()()fxfxx,即在0 x的某个领域内0()fx为极小值,故(B)是正确的.(4)【答案】(D)【解析】函数的定义域为0 x,所以函数的间断点为0 x,22220001
11、1limlimlim11xxxxxxxeeyee,所以0 x 为铅直渐近线,222211limlimlim111xxxxxxxeeyee,所以1y 为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()yf x在其间断点0 xx处有0lim()xxf x,则0 xx是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim(),(xf xa a为常数）,则ya为函数的水平渐近线.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！(5)【答案】(A)【解析】如图建立坐标系,则xxdx中,dx长度的细杆的质量为dx,与质点的距离为ax,故两点间的引力为2()
12、km dxdFax,积分得02()lkmFdxax,故选(A).同理应用微元法可知,若以l的中点为原点,则质点的坐标为(,0)2la,故 222()2llkmFdxlax；若以l的左端点为原点,则质点的坐标为(,0)al,故20()lkmFdxalx.故(B)、(C)、(D)均不正确,应选(A).三、(每小题5 分,满分25 分.)(1)【解析】这是个函数的参数方程,/sincos/cossindydy dttttdxdx dtttt,221sincos1()()cossincossind yddydtttdxdxdt dxdtttttttdt 2(2cossin)(cossin)(2sinc
13、os)(sincos)1(cossin)cossintttttttttttttttttt 2222232(cossin)(sincos)3 sin cos3 sin cos(cossin)tttttttttttttt 232(cossin)tttt.【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果 ()()xtyt,则 ()()dytdxt.(2)【解析】用换元法求定积分.令tx,则2,2xtdxtdt,则 422211111122()(1)1(1)dxtdtdtttttxx 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！212142 ln2(ln
14、ln)2ln1323tt.(3)【解析】利用等价无穷小和洛必达法则.当0 x 时,有sin,1xxx ex,所以 22232220000022sinsinsin1 cos122limlimlimlimlim(1)3336xxxxxxxxxxxxxx exxxx洛.(4)【解析】用分部积分法求不定积分.21 cos21sin(cos2)22xxxdxxdxxxx dx 21111cos2(sin2)2244xdxxxdxxxdx 2111sin2sin2444xxxxdx 2111sin2cos2448xxxxC.(5)【解析】所给方程是一阶线性方程,其标准形式为1xyyex.通解为 111()
15、()dxdxxxxxyee edxCxe dxCx 111()()()xxxxxxdeCxee dxCxeeCxxx.代入初始条件(1)1y得1C,所以特解为11xxyexx.【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程()()yp x yq x的通解为()()()p x dxp x dxyeq x edxC,其中C为常数.四、(本题满分9 分)【解析】首先应简化不等式,从中发现规律.当1x 时,原不等式即(1)ln(1)lnxxxx,即(1)ln(1)ln0 xxxx.证法一：令()(1)ln(1)lnf xxxxx,则只需证明在1x 时()0f x 即可,可利用函数的单调性证明,对于()f x有
16、1()ln(1)1 ln1ln()xfxxxx .欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！因1x,故11xx,即()0fx,所以在(1,)上()f x是严格递增函数,所以()(1)2ln 20f xf,故(1)ln(1)ln0 xxxx,所以当1x 时,有不等式ln(1)ln1xxxx成立.证法二：当1x 时,原不等式即(1)ln(1)lnxxxx,不等式左右两端形式一致,故令()lnf xxx,则()ln10(1)fxxx,所以()lnf xxx在1x 时严格单调递增,故(1)()f xf x，即(1)ln(1)lnxxxx.所以当1x
17、时,有不等式ln(1)ln1xxxx成立.五、(本题满分9 分)【解析】微分方程cosyyxx对应的齐次方程0yy的特征方程为210r ,特征根为1,2ri,故对应齐次通解为12cossinCxCx.方程yyx必有特解为1Yaxb,代入方程可得1,0ab.方程cosyyx的右端coscosxexx,ii为特征根,必有特解2cossinYx Axx Bx,代入方程可得10,2AB.由叠加原理,原方程必有特解12sin2xYYYxx.所以原方程的通解为121cossinsin2yCxCxxxx.【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果()()xmf xP x e,则二阶常系数非齐次线性微分方程(
18、)()()yp x yq x yf x具有形如*()kxmyx Qx e的特解,其中()mQx与()mP x同次(m次)的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.如果()()cos()sinxlnf xeP xxP xx,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()yp x yq x yf x的特解可设为*(1)(2)()cos()sinkxmmyx eRxxRxx,其中(1)()mRx与(2)()mRx是m次多项式,max,ml n,而k按i(或i)不是特征欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档
19、！方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分9 分)【解析】利用定积分求旋转体的体积,用微元法,曲线为一抛物线,与x轴的交点是11,x 22x,顶点坐标为31(,)24.方法一：考虑对x积分,如图中阴影部分绕y轴旋转一周,环柱体的体积为 222()2dVxdxyx yx y dxy dx 其中2dx为0dx 的高阶无穷小,故可省略,且y为负的,故yy,即22(1)(2)dVxydxx xxdx .把x从12积分得 2223112(1)(2)2(32)Vxx xdxxxx dx 234211122(0)442xxx.方法二：考虑对y的积分,如图中阴影部分绕y轴旋转一周的体积为抛物
20、线两半曲线分别绕y轴旋转一周后的体积差,即 2221dVx dyx dy 其中,12,x x为Yy与抛物线的交点,且21xx,把Yy代入抛物线方程(1)(2)yxx,解得 12314314,22yyxx,故旋转体体积为0221214()Vxxdy.把12,x x的值代入化简,得 03021144323231 4(14)43432Vydyy.七、(本题满分9 分)【解析】可以利用函数的极值求解.设B、C的横坐标分别为1,x x,因为|1AB,所以10,x 0 x.依题设:2:1ABDC,所以有122xxee,两边同时取自然对数,得1ln22,xx 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有
21、侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！而 1(ln 22)3ln2,(0)BCxxxxxx,所以梯形ABCD的面积为 122211()(3ln2)(2)(3ln2)22xxxxSeexeex23(3ln2)2xxe.求函数23(3ln 2)2xSxe,(0 x)的最值,满足一般函数求最值的规律,两边对x求导,并令0S 有 23(362ln2)02xSxe,得驻点11ln223x,在此点S由正变负,所以11ln223x 是极大值点.又驻点唯一,故11ln2023x 是23(3ln2)2xSxe最大值点.此时11ln223x,11ln2 13x 时,梯形ABCD面积最大,故B点的坐标为1(
22、ln2 1,0)3,C点的坐标为11(ln2,0)23.八、(本题满分9 分)【解析】这是个抽象函数求定积分,由题知 ()()sin()sin,0,)f xf xxxx x,(2)()sin(2)sinsin,0,)f xf xxxxxx x,而 3232()()()f x dxf x dxf x dx,对于2()f x dx,令tx,则,xtdxdt,所以 200()()(sin)f x dxf tdttt dt;对于32()f x dx,令2tx,则2,xtdxdt,所以 3200()(2)f x dxf tdttdt;所以 3232()()()f x dxf x dxf x dx 00(sin)tt dttdt 002sintdttdt 2200cos2tt.