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1、一、二次函数一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1对于二次函数 y=ax2+（b+1）x+（b1），若存在实数 x0，使得当 x=x0，函数 y=x0，则称 x0为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A、B 两点关于直线 y=kx-2a+3对称，求 b 的最小值.【答案】（1）1，3；（2）0a0，即 b2-4ab+4a0，把 b2-4ab+4a 看作 b
2、 的二次函数，由于对任意实数b，b2-4ab+4a0 成立，则（4a）2-4.4a0，即 b2-4ab+4a0，而对任意实数 b，b2-4ab+4a0 成立，所以（4a）2-4.4a0，解得0a0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N 两点（点 M 在y 轴的右侧），当 AMN 为直角三角形时，求 t 的值【答案】（1）y【解析】x24x3；（2）BCD 为直角三角形，理由见解析；（3）当 AMN为直角三角形时，t 的值为 1 或 4【分析】（1）根据点 A、B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C、D 的坐标，利用两点间的距
3、离公式可求出 CD、BD、BC 的长，由勾股定理的逆定理可证出BCD 为直角三角形；（3）根据点 B、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M、N 的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM2、AN2、MN2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于 t 的无理方程，解之即可得出结论【详解】2（1）将A1,0、B3,0代入y ax bx 3，得：ab3 0 a 1，解得：，9a3b3 0b 4此二次函数解析式为y x24x3（2）BCD为直角三角形，理由如下：y x24x3x21，顶点D的坐标为2,1当
4、x 0时，y x 4x3 3，22点C的坐标为0,3点B的坐标为3,0，BC BD 300323102223 2，2，2CD 201322 2 5BC2 BD2 20 CD2，CBD90，BCD为直角三角形（3）设直线BC的解析式为y kxck 0，将B3,0，C0,3代入y kxc，得：3k c 0k 1，解得：，c 3c 3直线BC的解析式为y x3，将直线BC向上平移t个单位得到的直线的解析式为y x3t y x3t联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：，2y x 4x3394t394tx x 1222解得：，y 32t 94ty 32t 94t1222点M的坐标为(394t，3 2t
5、 94t)，点N的坐标为(394t，2223 2t 94t)2点A的坐标为1,0，394t32t 94t2AM210 t 5t 71t94t，22394t32t 94t2AN210 t 5t 71t94t，22394t394t2MN 2232t 94t32t 94t2222222188t2AMN为直角三角形，分三种情况考虑：当MAN 90时，有AM2 AN2 MN2，即t25t 71t94t t25t 71t94t 188t，整理，得：t2t 2 0，解得：t11，t2 2（不合题意，舍去）；当AMN 90时，有AM2 MN2 AN2，即t25t 71t94t 188t t25t 71t94t
6、，整理，得：t22t 8 0，解得：t1 4，t2 2（不合题意，舍去）；当ANM 90时，有AN2 MN2 AN2，即t25t 71t94t 188t t25t 71t94t，整理，得：94t 1t 94t 0t 0，该方程无解（或解均为增解）综上所述：当AMN为直角三角形时，t的值为 1 或 4【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出 BC2+BD2=CD2；（3）分 MAN=90、
7、AMN=90及 ANM=90三种情况考虑10如图，已知抛物线y ax2bx c（a0）经过 A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线 l 是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当点 P 到点 A、点 B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点 M 也是直线 l 上的动点，且 MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标2【答案】（1）y x 2x3；（2）P（1，0）；（3）【解析】试题分析：（1）直接将 A、B、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；（2）由图知：AB 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛
8、物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线 l 与 x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于 MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：MA=AC、MA=MC、AC=MC；可先设出 M 点的坐标，然后用 M 点纵坐标表示 MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解2试题解析：（1）将 A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y ax bx cabc 0a 12中，得：9a3bc 0，解得：b 2，故抛物线的解析式：y x 2x3c 3c 3（2）当 P 点在 x 轴上，P，A，B 三点在一条直线上时，点P 到点 A、点 B 的距离之和最短，此时 x=-b=1，故 P（
9、1，0）；2ab=1，设 M（1，m），已知 A（1，0）、C2a（3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=-（0，3），则：2MA2=m24，MC2=(3m)1=m26m10，AC2=10；若 MA=MC，则MA2 MC2，得：m24=m26m10，解得：m=1；若 MA=AC，则MA2 AC2，得：m24=10，得：m=6；若 MC=AC，则MC2 AC2，得：m26m10=10，得：m1 0，m2 6；当 m=6 时，M、A、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的 M 点，且坐标为 M（1，6）（1，6）（1，1）（1，0）考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型