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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1996 年考研数学二真题及答案 一、填空题(此题共 5 小题,每题 3 分,总分值 15 分.把答案填在题中横线上.)(1)设232()xyxe,那么0 xy.(2)1221(1)xxdx.(3)微分方程250yyy的通解为.(4)31limsinln(1)sinln(1)xxxx.(5)由曲线1,2yxxx及2y 所围图形的面积S.二、选择题(此题共 5 小题,每题 3 分,总分值 15 分.每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设 当0 x 时,2
2、(1)xeaxbx是 比2x高 阶 的 无 穷 小,那 么 ()(A)1,12ab (B)1,1ab(C)1,12ab (D)1,1ab (2)设函数()f x在区间(,)内有定义,假设当(,)x 时,恒有2|()|f xx,那么0 x 必是()f x的 ()(A)连续点 (B)连续而不可导的点(C)可导的点,且(0)0f (D)可导的点,且(0)0f (3)设()f x处处可导,那么 ()(A)当lim()xf x,必有lim()xfx (B)当lim()xfx,必有lim()xf x (C)当lim()xf x,必有lim()xfx (D)当lim()xfx,必有lim()xf x 欢迎您
3、阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！(4)在区间(,)内,方程1142|cos0 xxx ()(A)无实根 (B)有且仅有一个实根(C)有且仅有两个实根 (D)有无穷多个实根(5)设(),()f x g x在区间,a b上连续,且()()g xf xm(m为常数),由曲线(),yg x(),yf x xa及xb所围平面图形绕直线ym旋转而成的旋转体体积为 ()(A)2()()()()bamf xg xf xg xdx(B)2()()()()bamf xg xf xg xdx(C)()()()()bamf xg xf xg xdx(D)()()
4、()()bamf xg xf xg xdx 三、(此题共 6 小题,每题 5 分,总分值 30 分.)(1)计算ln2201xedx.(2)求1 sindxx.(3)设2022(),(),txf uduyf t其中()f u具有二阶导数,且()0f u,求22d ydx.(4)求函数1()1xf xx在0 x 点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式.(5)求微分方程2yyx的通解.(6)设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为22a b、,用过此柱体底面的短轴与底面成角(02)的平面截此柱体,得一锲形体(如图),求此锲形体的体积V.四、(此题总分值 8 分)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互
5、联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！计算不定积分22arctan(1)xdxxx.五、(此题总分值 8 分)设函数2312,1,(),12,1216,2.xxf xxxxx (1)写出()f x的反函数()g x的表达式；(2)()g x是否有连续点、不可导点,假设有,指出这些点.六、(此题总分值 8 分)设函数()yy x由方程3222221yyxyx所确定,试求()yy x的驻点,并判别它是否为极值点.七、(此题总分值 8 分)设()f x在区间,a b上具有二阶导数,且()()0f af b,()()0fa f b,试证明：存在(,)a b和(,)a b,使()0f及
6、()0f.八、(此题总分值8 分)设()f x为连续函数,(1)求初值问题0(),0 xyayf xy的解()y x,其中a为正的常数；(2)假设|()|f xk(k为常数),证明：当0 x 时,有|()|(1)axky xea.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！方法 1：用带皮亚诺余项泰勒公式.由 21xeaxbx 222112!xxxaxbx 222112b xa xxx令,可得 10111202b,a,b.a,应选(A).方法 2：用洛
7、必达法那么.由 2200(1)2limlim0,2xxxxeaxbxeaxbxx洛 有 0lim2101.xxeaxbbb 又由 0022121limlim02222xxxxeaxbeaaax.应选(A).(2)【答案】(C)方法一：首先,当0 x 时,|(0)|0(0)0ff.而按照可导定义我们考察 2()(0)()00(0)f xff xxxxxxx,由夹逼准那么,0()(0)(0)lim0 xf xffx,故应选(C).方法二：显然,(0)0f,由2|()|f xx,(,)x ,得2()1(,0)(0,)f xxx,即2()f xx有界,且 200()(0)()(0)limlim0 xx
8、f xff xfxxx.故应选(C).方法三：排除法.令3(),(0)0,f xxf 故(A)、(B)、(D)均不对,应选(C).欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！a x xdx x()yg x()yf x O y m b(3)【答案】(D)方法一：排除法.例如()f xx,那么(A),(C)不对；又令()xf xe,那么(B)不对.故应选择(D).方法二：由lim()xfx,对于0M,存在0 x,使得当0 xx时,()fxM.由此,当0 xx时,由拉格朗日中值定理,0000()()()()()()()f xf xfxxf xM xx
9、x ,从而有lim()xf x,故应选择(D).(4)【答案】(C)令1142()|cosf xxxx,那么()()fxf x,故()f x是偶函数,考察()f x在(0,)内的实数个数：1142()cosf xxxx(0 x).首先注意到(0)10f ,1142()()()10,222f 当02x时,由零值定理,函数()f x必有零点,且由 314211()sin042fxxxx,()f x在(0,)2单调递增,故()f x有唯一零点.当2x时,11114242()cos()()10,22f xxxx 没有零点；因此,()f x在(0,)有一个零点.又由于()f x是偶函数,()f x在(,
10、)有两个零点.故应选(C).(5)【答案】(B)见上图,作垂直分割,相应于,x xdx的小竖条的体积微元 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！22()()dVmg xdxmf xdx()()()()mg xmf xmg xmf xdx 2()()()()mg xf xf xg x dx,于是 2()()()()baVmg xf xf xg xdx,应选择(B).三、(此题共 6 小题,每题 5 分,总分值 30 分.)(1)方法一：换元法.令21xeu,那么221ln(1),21uxudxduu,所以 3332ln22222220000
11、11111(1)(2)11211xuedxdududuuuuu 3201133lnln(23)2122uu.方法二：换元法.令sinxet,那么coslnsin,sintxt dxdtt ,:0ln2:26xt,ln2262026cos11cossinsinsinxtedxtdtt dttt 22663ln(csccot)cosln(23)2ttt.方法三：分部积分法和换元法结合.原式ln2ln2220011()xxxxeedxede 2ln2ln2220011xxxxxeeeedxe 令xet,那么:0ln2:12xt,原式22221133ln(1)221dtttt 3ln(23)2.(3)
12、这是由参数方程所确定的函数,其导数为 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！22222()()24()()dydyf tf ttdttf tdxdxf tdt,所以 2222221()(4()4()4()2()d yddydtddttf tf ttfttdxdt dxdxdtdxf t 22224()2()()f tt ftf t.(4)函数()f x在0 x 处带拉格朗日余项的泰勒展开式为()(1)1(0)()()(0)(0),(01)!(1)!nnnnffxf xffxxxnn.对于函数1()1xf xx,有 12()12(1)1,1
13、f xxx 2()2(1)(1),fxx 3()2(1)(2)(1),fxx ,()(1)()2(1)!(1)nnnfxnx 所以 ()(0)2(1)!,(1,2,3),nnfnn 故 121112()122(1)2(1)(01)1(1)nnnnnxxf xxxxxx .(5)方法一：微分方程2yyx对应的齐次方程0yy的特征方程为 20rr,两个根为120,1rr,故齐次方程的通解为12xycc e.设非齐次方程的特解2()Yxaxbxc,代入方程可以得到1,1,23abc,因此方程通解为3212123xycc exxx.方法二：方程可以写成2()yyx,积分得303xyyc,这是一阶线性非
14、齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！30()3dxdxxyec edxC 33001()()33xxxxxxec e dxCex dec eC 320(3)3xxxxex ee x dxcCe 332200(2)33xxxxxxxxxee x dxcCeee xe xdxcCe 3202()3xxxxxxee xecCe 32123xxxxcCe.方法三：作为可降阶的二阶方程,令yP,那么yP,方程化为2PPx,这是一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为 220020()(2
15、2)22.xxxxxxxPecx e dxecx exeec exx 再积分得 321223xxycc exx.(6)建立坐标系,底面椭圆方程为22221xyab.方法一：以垂直于y轴的平面截此楔形体所得的截面为直角三角形,其中一条直角边长为22axbyb,另一条直角边长为22tanabyb,故截面面积为 22221()()tan2aS ybyb.楔形体的体积为 222220022()tan()tan3bbaVS y dyby dya bb.方法二：以垂直于x轴的平面截此楔形体所得的截面为矩形,欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！其中一
16、条边长为2222byaxa,另一条边长为tanx,故截面面积为 22()2tanbS xx axa,楔形体的体积为 22200222()tantan3aabVS x dxx ax dxa ba.四、(此题总分值 8 分)方法一：分部积分法.2222arctanarctanarctan(1)1xxxdxdxdxxxxx 1arctan()arctan(arctan)xdxdxx 2211arctanarctan(1)2dxxxxxx分部 22111arctan()arctan12xxdxxxxx 22111arctanlnln(1)arctan22xxxxCx.方法二：换元法与分部积分法结合.令
17、arctan xt,那么2tan,secxt dxtdt,2222222arctanseccot(1)tan(1tan)tanxtttdxdtdtttdtxxttt 2(csc1)(cot)ttdttdttdt 21cotcot2ttdtt分部 2cos1cotsin2xttdttx 211cotsinsin2ttdttt 21cotln sin2ttttC.五、(此题总分值 8 分)【分析】为了正确写出函数()f x的反函数()g x,并快捷地判断出函数()g x的连续性、可导欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！性,须知道如下关于反函
18、数的有关性质.(1)由题设,函数()f x的反函数为 31,1,2(),18,16,8.12xxg xxxxx (2)方法一：考察()f x的连续性与导函数.注意 2312,1,(),12,1216,2xxf xxxxx 在(,1),(1,2),(2,)区间上()f x分别与初等函数一样,故连续.在1,2xx 处分别左、右连续,故连续.易求得 24,1,()3,12,(1)4,(1)3,12,2(2)12,(2)12(2)12.xxfxxxffxfff 由于函数()f x在(,)内单调上升且连续,故函数()g x在(,)上单调且连续,没有连续点.由于仅有0 x 时()0fx且(0)0f,故0
19、x 是()g x的不可导点；仅有1x 是()f x的不可导点(左、右导数,但不相等),因此()g x在(1)1f 处不可导.方法二：直接考察()g x的连续性与可导性.注意 31,1,2(),18,16,8,12xxg xxxxx 在(,1),(1,8),(8,)区间上()g x分别与初等函数一样,故连续.在1,8xx 处分别左、右连续,故连续,即()g x在(,)连续,没有连续点.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！()g x在(,1),(1,8),(8,)内分别与初等函数一样,这些初等函数只有3x在 0 x 不可导,其余均可导.在1
20、x 处,311111(1),(1),243xxxggx (1)g不.在8x 处,3881161(8),(8),121212xxxgxg(8)g.因此,()g x在(,)内仅有0 x 与1x 两个不可导点.六、(此题总分值 8 分)方程两边对x求导,得 22320,(32)0.y yyyxyyxyyx yyx 令0,y 得yx,代入原方程得32210 xx,解之得唯一驻点1x；对两边再求导又得 22(32)(32)10 xyyx yyyxyy .以1,0 xyy代入得 11210,0,2xyy 1x 是极小点.定理：设函数()f x在0 x处具有二阶导数且00()0,()0fxfx,那么(1)当
21、0()0fx时,函数()f x在0 x处获得极大值；(2)当0()0fx时,函数()f x在0 x处获得极小值.七、(此题总分值 8 分)首先证明(,)a b,使()0f：方法一：用零点定理.主要是要证明()f x在(,)a b有正值点与负值点.不妨设()0,fa 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！()0f b.由()()lim()()0 xaf xf afafaxa与极限部分保号性,知在xa的某右邻域,()()0f xf axa,从而()0f x,因此111,()0 x bxa f x；类似地,由()0f b可证 2122,()0
22、xxxb f x.由零点定理,12(,)(,)x xa b,使()0f.方法二：反证法.假设在(,)a b内()0f x,那么由()f x的连续性可得()0f x,或()0f x,不妨设()0f x.由导数定义与极限部分保号性,()()()()()limlim0 xaxaf xf af xfafaxaxa,()()()()()limlim0 xbxbf xf bf xf bfbxbxb,从而()()0fa f b,与()()0fa f b矛盾.其次,证明(,)a b,()0f：由于()()()0f aff b,根据罗尔定理,12(,),(,)ab,使12()()0ff；又由罗尔定理,12(,)
23、(,),()0a bf.注：由0()0fx可得：在000(,),()()xxf xf x；在000(,),()()xxf xf x.注意由0()0fx得不到()f x在00(,)xx单调增的结果！4.罗尔定理：假如函数()f x满足(1)在闭区间,a b上连续；(2)在开区间(,)a b内可导；(3)在区间端点处的函数值相等,即()()f af b,那么在(,)a b内至少有一点(ab),使得()0f.八、(此题总分值 8 分)(1)()yayf x为一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！()()()axaxaxy xef x e dxCeF xC,其中()F x是()axf x e的任一原函数,由(0)0y得(0)CF,故 0()()(0)()xaxaxaty xeF xFee f t dt.(2)当0 x 时,00()()()xxaxataxaty xee f t dteef t dt 001(1)xxaxataxataxkkee dtkeeeaa.