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1、一道 2014 年上海高考题的探究2014 年上海高考理科第 13 题：某游戏的得分为 1，2，3，4，5，随机变量 表示小白玩该游戏的得分.若 E（）=4.2，则小白得 5 分的概率至少为.1 解法探究解设小白得 i 分的概率为 pi（i=1，2，3，4，5），因为E（）=4.2，所以 p1+2p2+3p3+4p4+5p5=4.2，又p1+p2+p3+p4+p5=1，代人得 p2+2p3+3p4+4p5=3.2.因为p2+p3+p4+p51，所以 p3+2p4+3p52.2.因为 p3+p4+p51，所以 p4+2p51.2.因为 p4+p51，所以 p50.2.当且仅当p4=0.8，p3=
2、p1=p2=0 时，p5 取最小值 0.2.2 试题推广若把问题推广为一般情形，会有怎样的结论呢？结论 1 某游戏的得分为 1，2，3，n，随机变量表示玩该游戏的得分.设得 i 分的概率为 pi（i=1，2，n），则当 n-1E（）n 时，（pn）min=E（）+1-n；当 1E（）n-1 时，（pn）min=0.证明设得 i 分的概率为 pi（i=1，2，n），则p1+2p2+3p3+npn=E（），又 p1+p2+p3+pn=1，代人得 p2+2p3+3p4+（n-1）pn=E（）-1.因为 p2+p3+pn1，所以p3+2p4+（n-2）pnE（）-2.因为 p3+p4+pn1，所以 p4+2p5+（n-3）pnE（）-3，依次类推，得 pn-1+2pnE（）-（n-2），pn-1+pn1，所以 pnE（）（-n-1）.当且仅当 pn-1=n-E（），p1=p2=pn-2=0 时，pn 取最小值 E（）-（n-1），即 E（）+1-n.结论 2 某游戏的得分为 1，2，3，n，随机变量表示玩该游戏的得分.设得 i 分的概率为 pi（i=1，2，n），则（pn）max=E（）n.结论 3 某游戏的得分为 1，2，3，n，随机变量表示玩该游戏的得分.设得 i 分的概率为 pi（i=1，2，n），则（pk）min=0，（pk）max=n-E（）n-k（k=1，2，n-1）.