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1、第 1 页(共 10 页高中文科数学公式及知识点速记一、函数、导数1、函数的单调性(1设 2121,x x b a x x、那么,(0(21b a x f x f x f 在 -上是减函数.(2设函数(x f y=在某个区间内可导,若 0(x f,则(x f 为增函数;若 0(,右侧(0f x,那么(0f x 是极大值;(2 如果在 0 x 附近的左侧(0f x,那么(0f x 是极小值.指数函数、对数函数分数指数幂(1m na=0,a m n N*,且 1n .(21m nm naa-=0,a m n N*,且 1n .根式的性质(1当 na=;当 n,0|,0a a a a a=-0,指数
2、幂都适用.(0,1,0a a N.1a,0m,且 1m,0N.对数恒等式:.推论 log m nab.常见的函数图象822sin cos+9k 看成锐角时该函数的符号;+2k 看成锐角时该函数的符号。1sin 2k+=(2tank k+=Z.(2sin+=-(tan+=.(3sin sin-=-tan=-.(4sin-=tan-=-.(5sin2-=cos2+=,cos sin 2+=-.10sin(=cos(=第 3 页(共 10 页tan tan tan(1tan tan=.11、二倍角公式sin 2sin cos=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin=-=-=-.2
3、2tan tan 21tan=-.公式变形:;22cos 1sin,2cos 1sin 2;22cos 1cos,2cos 1cos 22222-=-=+=+=12、函数 sin(y x=+的图象变换的图象上所有点向左(右 平移 个单位长度,得到函数(sin y x=+的图象;再将函数(sin y x=+的图象上所有点的横坐标伸长(缩短到原来的1倍(纵坐标不变,得到函数(sin y x=+的图象;再将函数(sin y x=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短到原来的 A倍(横坐标不变,得到函数(sin y x=A+的图象.数 sin y x=的图象上所有点的横坐标伸长(缩短到原来的1倍(纵坐标不
4、变,得到函数sin y x=的图象;再将函数 sin y x=的图象上所有点向左(右平移个单位长度,得到函数(sin y x=+的图象;再将函数(sin y x=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短到原来的 A倍(横坐标不变,得到函数(sin y x=A+的图象.第 4 页(共 10 页14、辅助角公式sin(cos sin 22+=+=x b a x b x a y 其中 ab=tan 15.正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C=(R 为 ABC 外接圆的半径.2sin,2sin,2sin a R A b R B c R C=:sin:sin:sin a b c A B
5、 C =16.余弦定理2222cos a b c bc A=+-;2222cos b c a ca B=+-;2222cos c a b ab C=+-.17.面积定理(1 111222a b c S ah bh ch=(a b c h h h、分别表示 a、b、c 边上的高.(2 111sin sin sin 222S ab C bc A ca B=.18、三角形内角和定理在 ABC 中,有(A B C C A B+=-+222C A B+=-222(C A B =-+.19、与 的数量积(或内积cos|=第 5 页(共 10 页20、平面向量的坐标运算(1设 A 11(,x y,B 22(
6、,x y,则 2121(,AB OB OA x x y y=-=-.(2设=11(,x y,=22(,x y,则 =2121y y x x+.(3 设=,(y x,则 22y x a+=21、两向量的夹角公式设 a=11(,x y,b=22(,x y,且 0b,则cos|a ba b =(a=11(,x y,b=22(,x y.22、向量的平行与垂直设 a=11(,x y,b=22(,x y,且 b 0/=12210 x y x y -=.0(a b a 0=12120 x x y y +=.*平面向量的坐标运算(1设 a=11(,x y,b=22(,x y,则 a+b=1212(,x x y
7、 y+.(2设 a=11(,x y,b=22(,x y,则 a-b=1212(,x x y y-.(3设 A 11(,x y,B 22(,x y,则 2121(,AB OB OA x x y y=-=-.(4设 a=(,x y R,则 a=(,x y.(5设 a=11(,x y,b=22(,x y,则 a b=1212x x y y+.三、数列23、数列的通项公式与前 n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n-=-(数列 n a 的前 n 项的和为 12n n s a a a=+.24、等差数列的通项公式*11(1(n a a n d dn a d n N=+-=+-;2
8、5、等差数列其前 n 项和公式为1(2n n n a a s+=1(1 2n n na d-=+211(22d n a d n=+-.26、等比数列的通项公式1*11(n nn a a a q q n N q-=;27、等比数列前 n 项的和公式为11(1,11,1n n a q q s q na q-=-=或 11,11,1n n a a qq q s na q-=.四、不等式28、xy yx+2。必须满足一正(y x,都是正数、二定(xy 是定值或者 y x+是定值、三相等(y x=时等号成立才可以使用该不等式(1若积 xy 是定值 p,则当 y x=时和 y x+有最小值 p 2;(2若
9、和 y x+是定值 s,则当 y x=时积 xy 有最大值241s.五、解析几何29、直线的五种方程(1点斜式 11(y y k x x-=-(直线 l 过点 111(,P x y,且斜率为 k.(2斜截式 y kx b=+(b为直线 l 在 y 轴上的截距.(3两点式112121y y x x y y x x-=-(12y y(111(,P x y、222(,P x y(12x x.(4截距式 1x ya b+=(a b、分别为直线的横、纵截距,0a b、(5一般式 0Ax By C+=(其中 A、B 不同时为 0.30、两条直线的平行和垂直若 111:l y k x b=+,222:l y
10、 k x b=+121212|,l l k k b b =;12121l l k k =-.31、平面两点间的距离公式,A Bd=A 11(,x y,B 22(,x y.32、点到直线的距离d=(点 00(,P x y,直线 l:0Ax By C+=.33、圆的三种方程(1圆的标准方程 222(x a y b r-+-=.(2圆的一般方程 220 x y Dx Ey F+=(224D E F+-0.(3圆的参数方程 cos sin x a r y b r=+=+.*点与圆的位置关系:点 00(,P x y 与圆 222(r b y a x=-+-的位置关系有三种若 d=d r 点 P 在圆外;
11、d r=点 P 在圆上;d r 点 P 在圆内.34、直线与圆的位置关系直线 0=+C By Ax 与圆 222(r b y a x=-+-的位置关系有三种:0相离 r d;0=相切 r d;0 ,222b c a=-,离心率 c e a=,参数方程是 cos sin x a y b=.双曲线:12222=-by a x(a0,b0,222b a c=-,离心率 1=a c e,渐近线方程是 x a b y=.抛物线:px y 22=,焦点 0,2(p,准线 2p x-=。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.36、双曲线的方程与渐近线方程的关系(1若双曲线方程为 12222=-by a
12、x 渐近线方程:22220 x y a b-=x a by=.(2若渐近线方程为 x a by=0=b y a x 双曲线可设为=-2222by a x.(3若双曲线与 12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为=-2222by a x(0,焦点在 x 轴上,0焦半径 2|0px PF+=.(抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。38、过抛物线焦点的弦长p x x px p x AB+=+=212122.六、立体几何39.证明直线与直线的平行的思考途径(1转化为判定共面二直线无交点;(2转化为二直线同与第三条直线平行;(3转化为线面平行;(4转化为线面垂直;(5转化为面面平行.40
13、.证明直线与平面的平行的思考途径(1转化为直线与平面无公共点;(2转化为线线平行;(3转化为面面平行.41.证明平面与平面平行的思考途径(1转化为判定二平面无公共点;(2转化为线面平行;(3 转化为线面垂直.42.证明直线与直线的垂直的思考途径(1转化为相交垂直;(2转化为线面垂直;(3转化为线与另一线的射影垂直;(4转化为线与形成射影的斜线垂直.43.证明直线与平面垂直的思考途径(1转化为该直线与平面内任一直线垂直;(2转化为该直线与平面内相交二直线垂直;(3转化为该直线与平面的一条垂线平行;(4转化为该直线垂直于另一个平行平面。44.证明平面与平面的垂直的思考途径(1转化为判断二面角是直二
14、面角;(2转化为线面垂直;45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积=rl 2,表面积=222r rl+圆椎侧面积=rl,表面积=2r rl+13V Sh=柱体(S 是柱体的底面积、h 是柱体的高.13V Sh=锥体(S 是锥体的底面积、h 是锥体的高.球的半径是 R,则其体积 343V R=,其表面积 24S R=.46、若点 A 111(,x y z,点 B 222(,x y z,则,A B d=|AB=47、点到平面距离的计算(定义法、等体积法48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质:侧棱平行且相等,与底面垂直。正棱锥的性质:侧棱相等,顶点在底面的射影是底面正多边
15、形的中心。七、概率统计49、平均数、方差、标准差的计算平均数:nx x x x n+=21 方差:(1222212x x x x x x n s n-+-+-=标准差:(122221x x x x x x ns n-+-+-=50、回归直线方程(了解即可y a bx=+,其中(1122211n ni i i i i i n ni ii i x y x y nx y b x x a=-=-=-.经过(,点。51、独立性检验(22d b c a d c b a bd ac n K+-=(了解即可52、古典概型的计算(必须要用列举法.、列表法.、树状图.的方法把所有基本事件表示出来,不重复、不遗 漏
16、八、复数53、复数的除法运算22(dc iad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a+-+=-+-+=+.54、复数 z a bi=+的模|z=|a bi+55、复数的相等:,a bi c di a c b d+=+=.(,a b c d R 56、复数 z a bi=+的模(或绝对值|z=|a bi+57、复数的四则运算法则(1(a bi c di a c b d i+=+;(2(a bi c di a c b d i+-+=-+-;(3(a bi cdi ac bd bc ad i+=-+;(42222(0 ac bd bc ada bi c di
17、i c di c d c d+-+=+.58、复数的乘法的运算律对于任何 123,z z z C,有交换律:1221z z z z =.结合律:123123(z z z z z z =.分配律:1231213(z z z z z z z +=+.九、参数方程、极坐标化成直角坐标55、=y x sin cos =+=0(tan 222x x yy x 十、命题、充要条件充要条件(记 p 表示条件,q 表示结论原 命 题 若 p 则 q 否 命 题 若 p 则 q逆 命 题 若 q 则 p逆 否 命 题 若 q 则 p互 逆 否 互逆 否 否互(1充分条件:若 p q,则 p 是 q 充分条件.(
18、2必要条件:若 q p,则 p 是 q 必要条件.(3充要条件:若 p q,且 q p,则 p 是 q 充要条件.注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.56.真值表十一、直线与平面的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 三个公理:(1公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内(2公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。(3公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系:相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公
19、共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补4 注意点:a与 b 所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为简便,点 O 一般取在两直 线中的一条上;两条异面直线所成的角 ;当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a b;两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系:(1直线在平
20、面内 有无数个公共点(2直线与平面相交 有且只有一个公共点(3直线在平面平行 没有公共点直线、平面平行的判定及其性质共面直线(0,2直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。简记为:线线平行,则线面平行。平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。2、判断两平面平行的方法有三种:(1用定义;(2判定定理;(3垂直于同一条直线的两个平面平行。直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为:线
21、面平行则线线平行。2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。直线、平面垂直的判定及其性质 直线与平面垂直的判定1、定义:如果直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面 互相垂直,记作 L ,直线 L 叫做平面 的垂线,平面 叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂 足。2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。平面与平面垂直的判定1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭B2-l-或-AB-3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。2 性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。