《2019年山东省威海市中考数学试卷(答案解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年山东省威海市中考数学试卷(答案解析版).pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、20192019 年山东省威海市中考数学试卷年山东省威海市中考数学试卷题号得分一二三总分一、选择题（本大题共 1212小题，共 36.036.0分）1.-3的相反数是（）A.3B.3C.31D.312.据央视网报道，2019年 14月份我国社会物流总额为88.9万亿元人民币，“88.9万亿”用科学记数法表示为（）A.8.89 1013B.8.89 1012C.88.9 1012D.8.89 10113.如图，一个人从山脚下的A 点出发，沿山坡小路AB走到山顶 B点已知坡角为 20，山高 BC=2千米用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是（）A.B.C.D.4.如图所示的几何体是由
2、几个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是（）A.B.C.D.5.下列运算正确的是（）A.(2)3=5C.5 2=3(0)B.32+=33D.(+1)=2+16.为配合全科大阅读活动，学校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整理 欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是（）A.条形统计图B.频数直方图C.折线统计图D.扇形统计图E是 ABCD边 AD延长线上一点，CE，BD，7.如图，连接 BE，BE交 CD 于点 F添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（）A.=B.=C.=D.=38.计算（12-3）0+27-（-）-1的结果是（）3A.1+338B.1+23C.
3、3D.1+43第 1 页，共 21 页3 49.解不答式组2时，不等式的解集在同一条数轴上表示正确的是2+1 33（）A.B.C.D.10.已知 a，b 是方程 x2+x-3=0的两个实数根，则 a2-b+2019的值是（）A.2023B.2021C.2020D.201911.甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380米的公路在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务 下表是根据每天工程进度绘制而成的施工时间/天12703105414051606215727083259380累计完成施工量/35米下列说法错误的是（）A.甲队每天修路 20米C.乙队
4、技术改进后每天修路35米B.乙队第一天修路 15米D.前七天甲，乙两队修路长度相等12.如图，P 与 x 轴交于点 A（-5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点 C 若ACB=60，则点 C 的纵坐标为（）A.13+3B.22+3C.42D.22+2二、填空题（本大题共6 6 小题，共 18.018.0分）13.把一块含有 45角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）若1=23，则2=_14.分解因式：2x2-2x+2=_15.如图，在四边形 ABCD中，ABDC，过点 C作 CEBC，交 AD于点 E，连接 BE，BEC=DEC，若 AB=6，则CD=_
5、16.一元二次方程 3x2=4-2x 的解是_17.如图，在四边形 ABCD中，ABCD，连接 AC，BD若ACB=90，AC=BC，AB=BD，则ADC=_1第 2 页，共 21 页18.如图，在平面直角坐标系中，点A，B 在反比例函数y=（k0）的图象上运动，且始终保持线段 AB=42的长度不变M 为线段 AB的中点，连接 OM则线段OM长度的最小值是_（用含 k 的代数式表示）三、解答题（本大题共7 7 小题，共 66.066.0分）19.列方程解应用题：小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若
6、二人同时到达，则小明需提前 4 分钟出发，求小明和小刚两人的速度20.在一个箱内装入只有标号不同的三颗小球，标号分别为1，2，3每次随机取出一颗小球，记下标号作为得分，再将小球放回箱内小明现已取球三次，得分分别为1 分，3 分，2分，小明又从箱内取球两次，若五次得分的平均数不小于2.2分，请用画树状图或列表的方法，求发生“五次取球得分的平均数不小于2.2分”情况的概率21.（1）阅读理解如图，点 A，B在反比例函数 y=的图象上，连接 AB，取线段 AB的中点 C分别过点 A，C，B作 x轴的垂线，垂足为 E，F，G，CF交反比例函数 y=的图象于点D点 E，F，G 的横坐标分别为 n-1，n
7、，n+1（n1）小红通过观察反比例函数y=的图象，并运用几何知识得出结论：AE+BG=2CF，CFDF由此得出一个关于1，1，之间数量关系的命题：若 n1，则_（2）证明命题小东认为：可以通过“若a-b0，则 ab”的思路证明上述命题112111第 3 页，共 21 页b1，则 ab”的思路证明上述命题小晴认为：可以通过“若a0，b0，且 a请你选择一种方法证明（1）中的命题22.如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图 已知汽车货厢高度 BG=2米，货厢底面距地面的高度BH=0.6米，坡面与地面的夹角BAH=，木箱的长（FC）为 2 米，高（EF）和宽都是 1.6米
8、通过计算判断：当sin=，木箱底部顶点C与坡面底部点 A 重合时，木箱上部顶点E 会不会触碰到汽5车货厢顶部323.在画二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下xy甲xy乙-16-1-2030-11212232736314乙写错了常数项，列表如下：第 4 页，共 21 页通过上述信息，解决以下问题：（1）求原二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的表达式；（2）对于二次函数 y=ax2+bx+c（a0），当 x_时，y 的值随 x 的值增大而增大；（3）若关于 x 的方程 ax2+bx+c=k（a0）有两个不相等的实数根，求 k的取值范围24.如图，在正方
9、形 ABCD中，AB=10cm，E为对角线 BD上一动点，连接 AE，CE，过 E 点作 EFAE，交直线 BC于点 FE 点从 B 点出发，沿着 BD 方向以每秒 2cm的速度运动，当点E与点 D重合时，运动停止设 BEF的面积为 ycm2，E 点的运动时间为 x 秒（1）求证：CE=EF；（2）求 y与 x 之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）求BEF面积的最大值25.（1）方法选择如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，连接 AC，BD，AB=BC=AC求证：BD=AD+CD小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取 DM=AD，连接 AM小军认为可用补短法证明：延长C
10、D至点 N，使得 DN=AD请你选择一种方法证明（2）类比探究【探究 1】如图，四边形 ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，BC是O 的直径，AB=AC试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，井证明你的结论【探究 2】BD如图，四边形 ABCD是O的内接四边形，连接 AC，若 BC是O的直径，ABC=30，则线段 AD，BD，CD之间的等量关系式是_（3）拓展猜想第 5 页，共 21 页BD如图，四边形 ABCD是O的内接四边形，连接 AC，若 BC是O的直径，BC：AC：AB=a：b：c，则线段 AD，BD，CD之间的等量关系式是_第 6 页，共 21 页答案和解析1.【答案】
11、B【解析】解：-3的相反数是 3故选：B依据相反数的定义解答即可本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键2.【答案】A【解析】104108=88.91012解：法一：88.9 万亿=88.91012=8.891013用科学记数法表示：88.91013法二：科学记数法表示为：88.9 万亿=889 000 000 0000=8.89故选：A利用科学记数法的表示形式进行解答即可10的 n次幂的本题主要考查科学记数法，科学记数法是指把一个数表示成 a形式（1a 10，n 为正整数）3.【答案】A【解析】=解：在ABC中，sinA=sin20AB=，sin20=按键顺序为：2故选：A
12、在ABC中，通过解直角三角形可得出 sinA=结论本题主要考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及计算器，熟练应用计算器是解题关键4.【答案】C【解析】，则 AB=，即可得出第 7 页，共 21 页解：从上面看，得到的视图是：故选：C，根据俯视图是从上面看到的图形进而得出答案本题考查了三视图的知识，关键是找准俯视图所看的方向5.【答案】C【解析】解：A、（a2）3=a6，故本选项错误；B、3a2+a，不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、a5a2=a3（a0），正确；D、a（a+1）=a2+a，故本选项错误故选：C根据合并同类项法则，幂的乘方的性质，单项式与多项式乘法法则，同底数幂的除法的性
13、质对各选项分析判断后利用排除法求解本题考查了合并同类项法则，幂的乘方的性质，单项式与多项式乘法法则，同底数幂的除法的性质熟练掌握法则是解题的关键6.【答案】D【解析】解：欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是扇形统计图故选：D根据题意，需要反映部分与总体的关系，故最适合的统计图是扇形统计图本题主要考查了统计图的应用，熟练掌握各种统计图的特点是解答本题的关键7.【答案】C【解析】解：四边形 ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，第 8 页，共 21 页DEBC，ABD=CDB，ABD=DCE，DCE=CDB，BDCE，BCED为平行四边形，故 A正确；DEBC，DEF=CBF
14、，在DEF与CBF 中，DEFCBF（AAS），EF=BF，DF=CF，四边形 BCED为平行四边形，故 B正确；AEBC，AEB=CBF，AEB=BCD，CBF=BCD，CF=BF，同理，EF=DF，不能判定四边形 BCED 为平行四边形；故 C 错误；AEBC，DEC+BCE=EDB+DBC=180AEC=CBD，BDE=BCE，四边形 BCED为平行四边形，故 D正确，故选：C根据平行四边形的性质得到 ADBC，ABCD，求得 DEBC，ABD=CDB，推出 BDCE，于是得到四边形 BCED为平行四边形，故 A正确；根据平行线的性质得到DEF=CBF，根据全等三角形的性质得到 EF=B
15、F，于是得到四边形 BCED为平行四边形，故 B正确；根据平行线的性质得到AEB=CBF，求得CBF=BCD，求得 CF=BF，同理，EF=DF，不能判定四边形 BCED为平行四边形；故 C 错误；根据平行线的性质得到，推出BDE=BCE，于是得到四边形DEC+BCE=EDB+DBC=180BCED为平行四边形，故 D正确第 9 页，共 21 页，本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键8.【答案】D【解析】解：原式=1+故选：D=1+分别根据零次幂、二次根式的性质以及负指数幂化简即可求解本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的
16、计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算9.【答案】D【解析】解：解不等式得：x-1，解不等式得：x5，将两不等式解集表示在数轴上如下：故选：D先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了10.【答案】A【解析】解：a，b 是方程 x2+x-3=0的两个实数根，b=3-b2，a+b=-1，ab-3，a2-b+2019=a2-3+b2+2019=（a+b）2-2ab+2016=1+6+2016=2023；
17、故选：A根据题意可知 b=3-b2，a+b=-1，ab-3，所求式子化为 a2-b+2019=a2-3+b2+2019=（a+b）2-2ab+2016 即可求解；第 10 页，共 21 页本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键11.【答案】D【解析】解：由题意可得，甲队每天修路：160-140=20（米），故选项 A 正确；乙队第一天修路：35-20=15（米），故选项 B正确；乙队技术改进后每天修路：215-160-20=35（米），故选项 C 正确；7=140 米，乙队修路：270-140=130 米，故选项 D 错误；前 7 天，甲队修
18、路：20故选：D根据题意和表格中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答12.【答案】B【解析】解：连接 PA，PB，PC，过P作 PDAB于D，PEBC于 E，ACB=60，APB=120PA=PB，PAB=PBA=30A（-5，0），B（1，0），AB=6，AD=BD=3，PA=PB=PC=2，PD=，PDAB，PEBC，AOC=90四边形 PEOD是矩形，OE=PD=CE=OC=CE+OE=2，PE=OD=2，=+，+，=2，点 C 的纵坐标为 2故选：B第 11 页，共 21 页连接 PA，PB，PC，
19、过 P 作 PDAB于 D，PEBC 于 E，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到PAB=PBA=30，由垂径定理得APB=120到 AD=BD=3，解直角三角形得到 PD=得到 CE=2，PA=PB=PC=2，根据勾股定理，于是得到结论本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键13.【答案】68【解析】解：ABC 是含有 45角的直角三角板，A=C=45，1=23，AGB=C+1=68EFBD，；2=AGB=68故答案为：68由等腰直角三角形的性质得出A=C=45，由三角形的外角性质得出，再由平行线的性质即可得出2的度数AGB=68此题主要
20、考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等14.【答案】2（x-2）2【解析】1解：原式=2（x2-x+）=2（x-）2故答案为：2（x-）2直接提取公因式 2，再利用公式法分解因式即可此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键15.【答案】3【解析】第 12 页，共 21 页解：如图，延长 BC、AD 相交于点 F，CEBC，BCE=FCE=90BEC=DEC，CE=CE，EBCEFC（ASA），BC=CF，ABDC，AD=DF，DC=故答案为：3延长 BC、AD相交于点 F，可证EBCEFC，可得 BC=CF，则
21、 CD 为ABF的中位线，故 CD=可求出本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线1 1313，x2=16.【答案】x1=1+33【解析】解：3x2=4-2x3x2+2x-4=0，则 b2-4ac=4-43（-4）=520，故 x=解得：x1=故答案为：x1=，x2=，x2=直接利用公式法解方程得出答案此题主要考查了公式法解方程，正确掌握公式法是解题关键17.【答案】105【解析】第 13 页，共 21 页解：作 DEAB 于 E，CFAB于 F，如图所示：则 DE=CF，AC=BC，CFAB，ACB=90CF=AF=BF=AB，AB
22、=BD，DE=CF=AB=BD，BAD=BDA，ABD=30，BAD=BDA=75ABCD，ADC+BAD=180；ADC=105故答案为：105作 DEAB 于 E，CFAB 于 F，则 DE=CF，由等腰直角三角形的性质得出CF=AF=BF=AB，得出 DE=CF=AB=BD，BAD=BDA，由直角三角形的性质得出ABD=30，得出BAD=BDA=75，再由平行线的性质即可得出答案本题考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质、含 30角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证出是解题的关键ABD=3018.【答案】2+8【解析】解：如图，当 OMAB 时，线
23、段 OM长度的最小，M 为线段 AB的中点，OA=OB，点 A，B在反比例函数 y=（k0）的图象上，点 A与点 B关于直线 y=x对称，AB=4，），则 B（m+4，-4），可以假设 A（m，=，解得 k=m2+4m，A（m，m+4），B（m+4，m），第 14 页，共 21 页M（m+2，m+2），OM=OM的最小值为故答案为=，如图，当 OMAB 时，线段 OM长度的最小首先证明点 A与点 B 关于直线y=x对称，因为点 A，B 在反比例函数 y=（k0）的图象上，AB=4以假设 A（m，），则 B（m+4，-4），则有=，所以可，解得 k=m2+4m，推出 A（m，m+4），B（m+4
24、，m），可得 M（m+2，m+2），求出 OM即可解决问题本题考查反比例函数图象上的点的特征，反比例函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题19.【答案】解：设小明的速度是x米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3x 米/分钟，根据题意可得：1200-4=30003，解得：x=50，经检验得：x=50是原方程的根，故 3x=150，答：小明的速度是 50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟【解析】直接利用小刚骑自行车的速度是小明步行速度的 3 倍，若二人同时到达，则小明需提前 4 分钟出发，进而得出等式求出答案此题主要考查了分式方程的应用，正确
25、得出等量关系是解题关键20.【答案】解：树状图如下：共有 9 种等可能的结果数，由于五次得分的平均数不小于2.2分，五次的总得分不小于 11分，后 2次的得分不小于 5分，而在这 9种结果中，得出不小于5分的有 3 种结果，发生“五次取球得分的平均数不小于2.2分”情况的概率为9=3【解析】3 1第 15 页，共 21 页先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出发生“五次取球得分的平均数不小于 2.2 分”的结果数，然后根据概率公式求解本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件 A或 B的概率2
26、1.【答案】1+1【解析】112解：（1）AE+BG=2CF，CFDF，AE=+，BG=，DF=，故答案为：（2）方法一：+-=，n1，n（n-1）（n+1）0，方法二：+=+1，+-0，（1）求出 AE，BG，DF，利用 AE+BG=2CF，可得（2）方法一利用求差法比较大小，方法二：利用求商法比较大小本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，反比例函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题22.【答案】解：BH=0.6米，sin=5，AB=0.6353=1 米，AH=0.8米，AF=FC=2米，第 16 页，共 21 页BF=1米，作 FJBG于点 J，作 EKFJ于点
27、 K，EF=FB=AB=1米，EKF=FJB=AHB=90，EFK=FBJ=ABH，EFKFBJABH，EK=FJ=AH，BJ=BH，BJ+EK=0.6+0.8=1.42，木箱上部顶点 E 不会触碰到汽车货厢顶部【解析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数求出 BM+EN的长度，再与 2 比较大小即可解答本题本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答23.【答案】3【解析】1解：（1）由甲同学的错误可知 c=3，由乙同学提供的数据选 x=-1，y=-2；x=1，y=2，有，y=-3x2+2x+3；（2）y=-3x2+2x+
28、3 的对称轴为直线 x=，抛物线开口向下，当 x时，y的值随 x 的值增大而增大；故答案为；（3）方程 ax2+bx+c=k（a0）有两个不相等的实数根，即-3x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根，=4+12（3-k）0，k；（1）由甲同学的错误可知 c=3，由乙同学提供的数据选 x=-1，y=-2；x=1，y=2，代入解析式求出 a和 b 即可；第 17 页，共 21 页（2）y=-3x2+2x+3 的对称轴为直线 x=，抛物线开口向下；（3）-3x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根，判别式0 即可；本题考查二次函数的图象及性质；掌握待定系数法求函数解析式，熟练函数图象是解题的关
29、键24.【答案】（1）证明：过 E 作 MNAB，交 AD 于 M，交 BC于 N，四边形 ABCD是正方形，ADBC，ABAD，MNAD，MNBC，=NFE+FEN，AME=FNE=90AEEF，AEF=AEM+FEN=90，AEM=NFE，DBC=45，BNE=90，BN=EN=AM，AEMEFN（AAS），AE=EF，四边形 ABCD是正方形，AD=CD，ADE=CDE，DE=DE，ADECDE（SAS），AE=CE=EF；（2）解：在 RtBCD中，由勾股定理得：BD=102+102=102，0 x52，由题意得：BE=2x，BN=EN=2x，由（1）知：AEMEFN，ME=FN，AB
30、=MN=10，ME=FN=10-2x，BF=FN-BN=10-2x-2x=10-22x，y=2 =2(10 22)2=-2x2+52x（0 x52）；5 2（3）解：y=-2x2+52x=-2（x-）2+4，42511-20，当 x=252552时，y 有最大值是4；即BEF面积的最大值是44【解析】（1）作辅助线，构建三角形全等，证明AEMEFN 和ADECDE（SAS），可得 AE=CE=EF；第 18 页，共 21 页（2）根据三角形的面积公式可得 y与 x之间关系的函数表达式，根据勾股定理计算 BD的长可得 x 的取值；（3）利用配方法可得结论此题是四边形的综合题，主要考查正方形的性质
31、，全等三角形的判定与性 质，勾股定理，三角形面积，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，难度适中，熟练掌握正方形中利用辅助线构建全等来解决问题是本题的关键25.【答案】BD=3CD+2ADBD=CD+AD【解析】解：（1）方法选择：AB=BC=AC，ACB=ABC=60如图，在 BD上截取 DEMAD，连接 AM，ADB=ACB=60ADM是等边三角形，AM=AD，ABM=ACD，AMB=ADC=120ABMACD（AAS），BM=CD，BD=BM+DM=CD+AD；（2）类比探究：如图，BC是O的直径，BAC=90AB=AC，ABC=ACB=45过 A作 AMAD交 BD 于 M，ADB=AC
32、B=45ADM是等腰直角三角形，AM=AD，AMD=45AD，DM=，AMB=ADC=135ABM=ACD，ABMACD（AAS），BM=CD，AD；BD=BM+DM=CD+【探究 2】如图，若 BC 是O的直径，ABC=30，第 19 页，共 21 页，ACB=60，BAC=90过 A作 AMAD交 BD 于 M，ADB=ACB=60，AMD=30MD=2AD，ABD=ACD，AMB=ADC=150ABMACD，=，CD+2AD；CD+2AD；CD，BM=BD=BM+DM=故答案为：BD=（3）拓展猜想：BD=BM+DM=CD+AD；理由：如图，若 BC是O的直径，BAC=90过 A作 AM
33、AD交 BD 于 M，MAD=90BAM=DAC，ABMACD，=，BM=CD，ADB=ACB，BAC=NAD=90ADMACB，=，DM=AD，BD=BM+DM=CD+AD故答案为：BD=CD+AD（1）方法选择：根据等边三角形的性质得到ACB=ABC=60，如图，在BD上截取 DEMAD，连接 AM，由圆周角定理得到ADB=ACB=60，得到AM=AD，根据全等三角形的性质得到 BM=CD，于是得到结论；（2）类比探究：如图，由 BC是O的直径，得到BAC=90，根据等腰直角三角形的性质得到ABC=ACB=45，过 A作 AMAD交 BD于 M，推出第 20 页，共 21 页ADM是等腰直
34、角三角形，求得 DM=论；AD根据全等三角形的性质得到结【探究 2】如图，根据圆周角定理和三角形的内角和得到BAC=90，过 A 作 AMAD交 BD 于 M，求得AMD=30，根据直角三角形ACB=60的性质得到 MD=2AD，根据相似三角形的性质得到 BM=论；（3）如图，由 BC是O的直径，得到BAC=90，过A作 AMAD交BD于M，求得MAD=90，根据相似三角形的性质得到 BM=CD，DM=AD，于是得到结论本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键CD，于是得到结第 21 页，共 21 页