高中数学知识点..pdf-淘文阁

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1、第一章第一章一一、集合、集合集合集合与函数概念与函数概念1、集合的含义与表示一般地，我们把研究对象统称为元素。把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)。通常用大写字母 A，B，C，D，表示集合，用小写拉丁字母 a，b，c，表示元素。2.集合中元素的特征确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。如，“中国的直辖市”构成一个集合，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，杭州、南京、广州不在这个集合中。“身材较高的人”不能构成集合；因为组成它的元素是不确定的。互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的(或说是互异的)，即，集合中的元素是不重

2、复出现的。相同元素、重复元素，不论多少，只能算作该集合的一个元素。无序性：不考虑元素之间的顺序只要元素完全相同，就认为是同一个集合。3、集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。4、元素与集合的关系如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作 aA；如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 aA。5、常见的数集及记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作 N；所有正整数组成的集合称为正整数集（在自然数集中排除 0 的集合），记 N 或 N+；全体整数组成的集合称为整数集，记 Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，

3、记 Q；全体实数组成的集合称为实数集，记 R。拓展与提示：无序性常常作为计算时验证的重要依据。注意 N 与 N*的区别。N*为正整数集，而 N 为非负整数集，即 0N 但 0N*。集合的分类*有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集按元素个数无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集按元素的特征可分为：数集，点集，形集等等。特别地，至少有一个元素的集合叫做非空集合；不含有任何元素的集合叫做空集（），只含有一个元素的集合叫做单元素集。例已知P x,y,1,Q x2,xy,x,且P Q,求x,y的值1解析yx2,由xy1,yxy,或2x1,解得 x=y=1 这与集合中元素的互异性相矛盾。解得 x=-1

4、或 1(舍去)这时 y=0 x=-1，y=06、集合的表示方法列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法。适用条件：有限集或有规律的无限集，形式：a1,a2,a3,，an描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围；再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。适用条件：一般适合于无限集，有时也可以是有限集。形式：xD p(x)，其中 x 为元素，p(x)表示特征。拓展与提示：如果集合中的元素的范围已经很明确，那么xD可以省略，只写其元素x，如xR x

5、10(3)韦恩图法：把集合中的元素写在一条封闭曲线(圆、椭圆、矩形等)内。例用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集：由所有非负奇数组成的集合；平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；方程 x+x+1=0 的实数根组成的集合。解：由所有非负奇数组成的集合可表示为：A x x 2n 1,nN，无限集。平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合为：C(x,y)x 0且y 0，无限集。方程 x+x+1=0 的判别式的0，故无实数，方程 x+x+1=0 的实根组成的集合是空集。7、集合的基本关系子集：一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任意一个无素都是集合 B 中的元素，我

6、们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作A B(或B A)，读作“A含于 B”(或“B 包含 A”)。可简述为：若x A xB，则集合 A 是集合 B 的子集。集合相等：如果集合A 是集合 B 的子集(A B)，且集合B 是集合 A 的子集(B A)，此2222时，集合 A 与集合 B 中的元素是一样的，因此，集合 A 与集合 B 相等，记作 A=B。数学表述法可描述为：对于集合 A、B，若A B，且B A，则集合 A、B 相等。真子集：如果集合A B，但存在元素xB，且xA，我们称集合A 是集合 B 的真子集，记作A b()或说：若集合A B，且 AB，则集合 A 是

7、集合 B 的真子集。空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。拓展与提示：(1)A,A A。(2)B(其中 B 为非空集合)(3)对于集合 A，B，C，若，C 则A bA B,B C,则A C。(4)对于集合 A，B，C，若A bC(5)对于集合 A，B，若A B且B A,则A B。(6)含 n 元素的集合的全部子集个数为2n个，真子集有 2n-1 个，非空子集有 2n-1 个，非空真子集有 2n-2 个。(7)a A与a A不同，前者为包含关系，后者为属于关系。8、集合间的基本运算并集：一般地，由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集

8、合，称为集合 A 与 B 的并集，记作AB(读作“A 并 B”)，即A B x x A,或xB拓展与提示：对于任意集合 A、B，有(1)A A A,A A;(2)A B B A;(3)A(A B),B (A B);(4)AA。且属于集合B A A BB的所有元素组成的集合，称为集合交集：一般地，由属于集合A 与 B 的交集，记作A B(读作“A 交 B”)，即A B x x A,且xB。拓展与提示：对于任意集合 A、B，有(1)A A A,A;(2)A B B A；(3)(A B)A,(A B)B；(4)A B A A B；(5)(A B)(A B)。全集与补集全集：一般地，如果一个集合含有我

9、们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 U。补集：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作uAx xU,且x A。例设集合A x2,2x 1,4,B x 5,1 x,9，若 AB=9，求 AB。解析2由 AB=9得，9A。x=9 或 2x-1=93由 x=9 得，x=3。当 x=3 时，A 9,5,4,B 2,2,9，与元素的互异性矛盾。2当 x=-3 时，A 9,7,4,B 8,4,9，此时，A B 8,7,4,4,9.由 2x-1=9 得 x=5.当 x=5 时，A 25,

10、9,4,B 0,4,9，此时，A B 4,9，与题设矛盾。综上所述，A B 8,7,4,4,9.集合中元素的个数：在研究集合时，经常遇到有关集合元素的个数问题，我们把含有限个元素的集合 A 叫做有限集，用 card 来表示有限集合 A 中元素的个数。例如：A a,b,c,则card(A)3.一般地，对任意两个有限集 A，B，有 card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB).当时仅当 AB=时，card(AB)=card(A)+card(B).解与集合中元素个数有关的问题时，常用 venn 图。例学校先举办了一次田径运动会，某班有8 名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这

11、个班有 12 名同学参赛，两次运动会都参赛的有3 人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？解：设A 田径运动会参赛的学生，B 球类运动会参赛的学生，那么AB 两次运动会都参赛学生，A B 所有参赛的学生，Card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)=8+12-3=17答：两次运动会中，这个班共有 17 名同学参赛二、函数及其表示1、函数的概念：一般地，我们说：设 A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为集合 A 到集合 B 的一个函数，记作y f(x

12、),x A其中，x叫做自变量，x的取值范围 A 叫函数的定义域；与x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)x A叫做函数的值域，显然，值域是集合 B 的子集。2、函数的三要素4函数的三要素是指定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。提示：函数符号 y=f(x)是由德国数学家莱布尼兹在 18 世纪引入的。(2)注意区别 f(a)和 f(x)，f(x)是指函数解析式，f(a)是指自变量为 a 时的函数值。3、区间：设 a，b 是两个实数，而且 ab，我们规定：满足不等式 axb 的实数

14、心点表示不包括在区间内的端点。(2)求函数定义域，主要通过下列途径实现。若 f(x)是整式，则定义域为 R；若 f(x)为分式，则定义域为使分母不为零的全体实数；5若 f(x)为偶次根式，则定义域为使被开方数为非负数的全体实数；若 f(x)的定义域为a,b，则 fg(x)的定义域是 ag(x)b 的解集；若 fg(x)的定义域为a，b，则 f(x)的定义域是 g(x)在xa,b下的值域。例 1 求下列函数的定义域yx1解：要使yx112x1有意义，则必须2xx10 x 1，即 x-1 且 x2，2x0 x2故所求函数的定义域为x|x 1且x 2例 2已知函数 f(x)的定义域是-1，3，求 f

15、(x+1)和 f(x)的定义域2已知函数 f(2x+3)的定义域为1,2，求 f(x-1)的定义域解：f(x)的定义域为-1，3，f(x+1)的定义域由-1x+13 确定，即-2x2，f(x+1)的定义域为-2，2.f(x2)的定义域由-1x23 确定，即3 x 3f(x2)的定义域为3，3函数 f(2x+3)的定义域为1,2，2x+3 中的 x 满足-1x2，12x+37.令 t=2x+3，则 f(t)的定义域为1,7.又 1x-17，2x8f(x-1)的定义域为2,84、反函数式子 y=f(x)表示 y 是自变量 x 的函数，设它的定义域为 A，值域为 C，我们从式子 y=f(x)中解出

16、x 得到 x=g(y)，如果对于 y 在 C 中的任何一个值通过式子 x=g(y),x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=g(y)表示y是自变量x的函数，这样的函数x=g(y)叫做y=f(x)6的反函数，记作xf1(y)，一般写成yf1(x).拓展与提示：(1)函数 y=f(x)的定义域和值域分别是它的反函数的值域和定义域；(2)函数 y=f(x)的图象和它的反函数yf1(x)的图象关于直线 y=x 对称。5、函数的三种表示法解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系。列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。(1)函

17、数用列表法表示时，其定义域是表中自变量所取值的全体，其值域是表中对应函数值的全体。(2)函数用图象法表示时，其定义域是图象投射到 x 轴上的区域范围，其值域是图象投射到 y 轴上的区域范围。6、分段函数若函数在定义域的不同子集上对应关系不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函f1(x)xD1f(x)xD2数叫分段函数，它是一类重要函数，形式是：f(x)2fn(x)xDn分段函数是一个函数，而不是几个函数，对于分段函数必须分段处理，其定义域为 D1D2Dn.拓展与提示：分段函数中，分段函数的定义域的交集为空集。例中国移动通信已于 2006 年 3 月 21 日开始在所属 18 个省、市移动公司

18、陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，这个套餐的最大特点是针对不同用户采用了不同的收费方法，具体方案如下：方案代号1234基本月租(元)3098168268免费时间(分钟)481703306007超过免费时间话费(元/分钟)0.600.600.500.45538810000.40请问：“套餐”中第 3 种收费方式的月话费 y 与月通话量 t(月通话量是指一个月内每次通话用时之和)的函数关系式。解：“套餐”中第 3 种收费函数为168,0t330,y11680.5(t330),t330.7、复合函数若 y 是 u 的函数，u又是 x 的函数，即y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,

19、n)，那么y 关于x 的函数 y=fg(x)，x(a,b)叫做 f 和 g 的复合函数，u 叫做中间变量，u 的取值范围是g(x)的值域。8、映射设 A，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任何一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A到集合 B 的一个映射。拓展与提示：(1)映射包括集合 A、B 以及从 A 到 B 的对应法则 f，三者缺一不可，且A、B必须非空。(2)A 中的元素在 B 中都能找到唯一的元素和它对应，而 B 中的元素却不一定在 A 中找到对应元素，即使有，也不一定只有一个。9、函数

20、解析式的求法待定系数法。若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程或方程组，再求系数。换元法。若已知函数y f(x)的解析式，可令t(x)，并由此求出 x=g(t)，然后代入解析式求得 y=f(t)的解析式，要注意 t 的取值范围为所求函数的定义域。赋值法：可令解析式中的自变量等于某些特殊值求解。列方程(组)法求解。若所给式子中含有 f(x)，f或 f(x),f(-x)等形式，可考虑构造另一个方程，通过解方程组获解。配凑法例解答下列各题：1x已知 f(x)=x2-4x+3，求 f(x+1)；已知 f(x+1)=x2-2x，求 f(x)；8已知二次函数 g(x)满足 g(1)

21、=1,g(-1)=5，图象过原点，求 g(x)。解：f(x+1)=(x+1)-4(x+1)+3=x-2x方法一：(配凑法)f(x+1)=(x+1)-2x-1-2x=(x+1)-4x-1=(x+1)-4(x+1)+3，f(x)=x-4x+3方法二：(换元法)令 x+1=t，则 x=t-1，f(t)=(t-1)-2(t-1)=t-4t+3，f(x)=x-4x+3.由题意设 g(x)=ax+bx+c，a0.g(1)=1,g(-1)=4，且图象过原点，abc1,a3,abc5,解得b 2,c0.c0.2222222222g(x)=3x2-2x.三、函数的基本性质1、函数的单调性一般地，设函数 f(x)

22、的定义域为 I：如果对于定义域I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1,x2，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数，如图所示。如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1,x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是减函数，如图所示。如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。拓展与提示：定义中的 x1,x2具有任意性，不能用特殊值代替。若 f(x)在区间 D1，D2上都是增(减)函数，但 f(x)在

23、D1D2上不一定是增(减)函数。由于定义域都是充要性命题，因此由 f(x)是增(减)函数，且f(x1)f(x2)x1x2(x1 x2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”。函数单调性的判断方法定义法。用定义法判断函数单调性的步骤为9第一步：取值。设 x1、x2是该区间内的任意两个值，且 x10，则 f(x)在(a,b)上递增；若当 x(a,b)时，f(x)0，则 f(x)在(a,b)上递减。拓展与提示：定义有如下等价形式：设 x1,x2a,b，那么f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)0 f(x)在a,b上是增函数，0 f(x)在a,b上是减函数；x1x

24、2x1x2(x1 x2)f(x1)f(x2)0 f(x)在a,b上是增函数，(x1 x2)f(x1)f(x2)0 f(x)上是减函数。例ax11(a)在(-2，+)上的单调性。x22ax2a12a12a解：设-2x1x2，则f(x)a.x2x2讨论函数f(x)f(x2)-f(x1)=(ax1x212a12a11)(a).=(12a)().=(12a).x22x2x22x12(x22)(x12)又-2x1x2，x1x2 0.(x22)(x12)1时，上式0，即 f(x2)f(x1)；21当 1-2a0，即 f(x2)f(x1)。2当 1-2a0，即a 101ax1时，f(x)在(-2，+)上为减

25、函数2x21ax1当a 时，f(x)在(-2，+)上为增函数2x2当a 复合函数的单调性对于复合函数 y=fg(x)，若 t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数，则y=f(t)在区间(g(a),g(b)或(g(b),g(a)上是单调函数；若 t=g(x)与 y=f(t)单调性相同(同时为增或减)，则 y=fg(x)为增函数，若 t=g(x)与 g=f(x)单调性相反，则 y=fg(x)为减函数，简单地说成“同增异减”。y=f(t)t=g(x)Y=fg(x)2 函数的最大(小)值定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足对于任意的 xI，都有 f(x)M；存在 x

26、0I，使得 f(x0)=M.那么，我们称 M 是函数 y=f(x)的最大值。同样地：如果存在实数 M 满足：对于任意 xI，都有 f(x)M；存在 x0I，使得f(x0)=M.那么我们称 M 是函数的最小值。函数的最大(小)值是函数的图象的最高点(最低点)对应的纵坐标。一个连续不断的函数在闭区间a,b 上一定有最大值和最小值。求函数最值的常见方法为构造二次函数；单调性法；导数法。增增增减减增增减减减增减二次函数在闭区间上的最值二次函数 f(x)=ax2+bx+c，当 a0 时，在闭区间m,n上的最值可分如下讨论：b m时，则最大值为 f(n)，最小值为 f(m)；2ab若 n时，则最大值为 f

27、(m)，最小值为 f(n)；2abb若m n时，则最大值为 f(m)或 f(n)，最小值为f().2a2a1例已知 a 1，若 f(x)=ax2-2x+1，在1，3上最大值为M(a)，最小值为 N(a)，令3若g(a)=M(a)-N(a),求 g(a)的函数表达式。11解：f(x)ax 1.aa2 a 1，11313.a11又x1，3.当x时，1a11当12，即 a 1时，a21af(x)min=N(a)=1f(x)max=M(a)=f(3)=9a-5.当21113,即 a 时，a32f(x)max=M(a)=f(1)=a-1119a6,a1,a2g(a)M(a)N(a)a12,1a1.a32

28、3、函数的奇偶性偶函数：一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数。奇函数：一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=-f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数。拓展与提示：并不是所有的函数都具备奇偶性，这些既不是奇函数又不偶函数的函数称为非奇非偶函数；既是奇函数又是偶函数的函数只有一个，就是 f(x)=0。判断函数奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称，否则称为非奇非偶函数。2、函数奇偶性的性质(1)若函数 f(x)是偶函数，那么：对任意定义域的 x,都有 f(-x)=f(x)；函数 f(x)的

29、图象关于 y 轴对称；函数 f(x)在两个半对称区间上的单调性是相反的。若函数 f(x)是奇函数，那么：对任意定义域内的 x，都有 f(-x)=-f(x)；函数 f(x)的图象关于坐标原点对称；函数 f(x)在两个半对称区间上的单调性是相同的。函数奇偶性的判定方法1定义法：f(x)是奇函数 f(x)f(x)f(x)f(x)0；f(x)是偶函数 f(x)f(x)f(x)f(x)012利用图象的对称性：f(x)是奇函数 f(x)的图象关于原点对称。f(x)是偶函数 f(x)的图象关于 y 轴对称。例设函数 f(x)对任意 x、yR，都有 f(x+y)=f(x)+f(y)，且 x0 时，f(x)0，

30、f(1)=-2。求证：f(x)为奇函数试问在-3x3 时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由。解：f(x)对于任意 x、yR，都有 f(x+y)=f(x)+f(y)成立令 x=y=0，得 f(0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0再令 y=-x，得 f(0)=f(x)+f(-x)，即 f(-x)=-f(x)，f(x)为奇函数。设 x10 时，f(x)0，f(x2-x1)0，即 f(x2)-f(x1)0f(x2)0,r,sQ）；(ar)S=ar*s（a0,r,sQ）；mrr（a0,b0,rQ）=(ab)a bannam2、对数（a0,且a1，m 0,且m 1，M0,N0

31、）loga(MN)logaM logaN;loganMlogaMlogaN;logaMNnlogaM(nR)；lo gaNlo gmNlo gma推论logambnnlogab(a 0,且a 1,m,n 0,且m 1,n 1,N 0).m二、指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数y ax(a 0,且a 1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 12、指数函数的图象和性质a10a10a1C20C4C315第三章第三章函数的应用函数的应用第四章第四章空间几何体空间几何体一、空间几何体的结构一、空间几何体的结构1、柱、锥、

32、台、球的结构特征棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE ABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱AD。几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。表示：用各顶点字母，如五棱锥P ABCDE。几何

33、特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等。表示：用各顶点字母，如五棱台P ABCDE。几何特征：上下底面是相似的平行多边形;侧面是梯形;侧棱交于原棱锥的顶点。圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。16圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。几何特征

34、：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分。几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形（扇环）。球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。二、空间几何体的三视图和直观图二、空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后；侧视图：从左往右；俯视图：从上往下。2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等。3 直观图：斜二测画法。4 斜二测画法的步骤：在已知图形中取相互垂直的x轴和y轴，两轴相交于O。画直

35、观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴交于点O，且使xOy 45(或135)，它们确定的平面表示水平面。已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。5 用斜二测画法画出长方体的步骤：画轴；画底面画侧棱成图三、空间几何体的表面积与体积三、空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积与体积体名表面积体积棱柱棱锥各面积和圆柱2rl 2r2圆锥圆台球rl r2rl r2Rl R24R24R33S底h1S h3底1（SS上S下 S下）h3上第五章第五章点、直线、平面之间的位置关系

36、点、直线、平面之间的位置关系一、空间点、直线、平面的位置关系一、空间点、直线、平面的位置关系公理公理 1：1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线此平面内。应用：判断直线是否在平面内。用符号语言表示：Al,Bl,且A,B l 公理公理 2：2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。17公理 2 及其推论的作用：它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据公理公理3：3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。平面和相交，交线是 a，记作a。公理 3 为：P且P l且P

37、l公理 3 作用：它是判定两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的依据。二、空间直线与直线之间的位置关系二、空间直线与直线之间的位置关系共面（平行+相交）或异面；平行或不平行（相交+异面）公理公理 4：4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。1、异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线性质：既不平行，又不相交。判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线。异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。两条异面直线所成角的范围是（0，90，若两条异面直线所成的角是直角

38、，我们就说这两条异面直线互相垂直。2、求异面直线所成角步骤：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。证明作出的角即为所求角利用三角形来求角3、等角定理：3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。三、空间直线与平面之间的位置关系三、空间直线与平面之间的位置关系：1、三种位置关系直线在平面内：l，有无数个公共点；直线不在平面内：相交：l A，有一个公共点；平行：l，无公共点。2、直线与平面平行判定定理：平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。a,b,且ab a。做题思路：做题思路

39、：在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”。性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面和这个平面的交线，与该直线平行。3、直线与平面相交：斜交和垂直。90直线与平面所成的角，0，直线与平面垂直18定义：如果直线l和平面内的任何一条直线都垂直，则说直线l和平面互相垂直，记作l。判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。做题思路做题思路：在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线与平面垂直。即将“线面垂直”转化为“线线垂直”性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。四、平面

40、与平面之间的位置关系四、平面与平面之间的位置关系1、平行：没有公共点；。相交（l）：有一条公共直线，斜交和垂直。2、平面与平面平行判定定理：一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。做题思路：做题思路：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”。性质定理：如果两平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。3、平面与平面垂直判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。做题思路：做题思路：转化二面角为直角；“找出”一条直线与另一平面垂直，将“面面垂直问题”转化为“线面垂直问题”性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂

41、直与交线的直线与另一个平面垂直。做题思路：做题思路：解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线五、有关概念五、有关概念1、异面直线所成的角:已知两条异面直线 a,b，经过空间任意一点作直线aa,bb90）我们把a与b所成的锐角（或直角）叫异面直线 a 与 b 所成的角（夹角）。（0，2、直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平90面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 0的角。0，3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱

42、，这两个半平面叫做二面角的面。在二面角的棱上任取一点 O，以该点为垂足，在两19个半平面内分别作垂直于棱的两条射线 OA、OB,则 OA、OB 构成的AOB叫二面角的平面角。(0，180)。90时直二面角4、点到平面的距离：从平面外一点引这个平面的垂线，则这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.5、直线和平面的距离：当一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.6、和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段。两个平行平面的公垂线段都相等。公垂线段的长度叫做两个平行平面

43、间的距离。第六章第六章直线与方程直线与方程一、倾斜角：一、倾斜角：直线l向上方向与 x 轴正向夹角。注意 0180二、斜率：二、斜率：直线l的倾斜角的正切值。即k=tan。注意倾斜角为 90直线斜率k不存在。斜率公式（P(x,y)、P(x,y)）。111222ky2y1x2x1三、直线关系判定及性质：三、直线关系判定及性质：（方程组的解）1、设l1:y k1xb1，l2:y k2xb2l1|l2 k1 k2,b1 b2（方程组无解），（l1与l2重合 k1 k2，b1 b2（方程组无数解）l1l2 k1k2 1。2、设l1:A1x B1y C1 0，l2:A2x B2y C2 0，且 A1、A

44、2、B1、B2都不为零，l1l2A1B1C1（方程组无解）；（l1与 l2重合A2B1C2A1BC11A2B1C2（方程组无数解）l1l2 A1A2B1B20。四、直线的五种方程四、直线的五种方程k1、点斜式：y y1 k(x x1)(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为)。2、斜截式：y kxb(b 为直线l在 y 轴上的截距)。3、两点式：yy1xx1y2y1x2x1a(y1 y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1 x2)。0)。4、截距式：xy1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、bb205、一般式：Ax By C 0(其中 A、B 不同时为 0)。五、平面两点五、平面两

45、点(A(A(x1,y1)，B，B(x2,y2)间的距离公式)间的距离公式 =dA,B|AB|ABAB(x2 x1)2(y2 y1)2六、点六、点P(x,y)到直线到直线l：Ax By C 0的距离的距离（两平行线距离：可转化为点到直线距离）00dAx0ByA20C2B七、四种常用直线系方程七、四种常用直线系方程1、定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y y0 k(x x0)(除直线x x0),其中k是待定的系数;经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(x x0)B(y y0)0,其中A,B是待定的系数2、共点直线系方程：经过两直线l1:A1x B1y C1 0,l2:A

46、2x B2y C2 0的交点的直线系方程为(A1x B1y C1)(A2x B2y C2)0(除l2)，其中是待定的系数3、平行直线系方程：直线y kxb中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线Ax By C 0平行的直线系方程是Ax By 0(0)，是参变量4、垂直直线系方程：与直线Ax By C 0(A0，B0)垂直的直线系方程是Bx Ay 0,是参变量第七章第七章圆与方程圆与方程一、圆的方程一、圆的方程1、标准方程x ay b r2，圆心a,b，半径为 r；22点M(x0,y0)与圆(xa)2(y b)2 r2的位置关系：当(x0a)2(y0b)2r2，点在圆外当(x0

47、a)2(y0b)2=r2，点在圆上当(x0a)2(y0b)20 时，a的方向与a的方向相同；当0 时，a的方向与a的方向相反；当=0 时，a方向是任意的。共线定理：a b a/b。当 0时，a与b同向；当 0时，a与b反向。（-）a=-（a）=（-a）；（a-b）=a-b；(1a2b)1a2b)三、平面向量的坐标运算三、平面向量的坐标运算1.已知a(x1,y1),b(x2,y2)，则a b(x1 x2,y1 y2)；a(1x,y1)2.已知A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB (x2 x1,y2 y1)四、平面向量基本定律四、平面向量基本定律24如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量

48、，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数1、2，使1e12e2，e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。五、平面向量共线的坐标表示五、平面向量共线的坐标表示已知a(x1,y1),b(x2,y2)，x1y2 x2y1 0 a、b(b 0)共线。六、平面向量的数量积（内积）六、平面向量的数量积（内积）a b cos1.已知两个非零向量a(x1,y1),b(x2,y2)，数量叫做a与b的数量积（内积），记作a b。2.公式：a b a b cos x1x2 y1y2；a b a b 0；abab；2 222a a a a x1 x2，a a a；a b b a；(a)b(a b)a(b)；ab cos(ab)cacbc；abx1x2y1y2x1y122x2y22225

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