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1、WORD 格式-专业学习资料-可编辑二面角的求法二面角的求法一、一、定义法：定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1 中从二面角 SAMB 中半平面 ABM 上的一已知点（B）向棱 AM 作垂线，得垂足（F）；在另一半平面 ASM 内过该垂足（F）作棱 AM 的垂线（如 GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与
2、余弦定理解题。例 1 如图，四棱锥S ABCD中，底面ABCD为矩形，SD 底面ABCD，AD 2DC SD 2，点 M 在侧棱SC上，ABM=60（I）证明：M 在侧棱SC的中点（II）求二面角S AM B的大小。证（I）略解解（II）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM中过点B作BF AM交AM于点F，则点F为AM 的中点，过 F 点在平面 ASM 内作GF AM，GF 交 AS 于 G，连结 AC，ADCADS，AS-AC，且 M 是 SC 的中点，AMSC，GFAM，GFAS，又F为 AM 的中点，GF 是AMS 的中位线，点 G 是 AS 的中点。则GFB即为所求二面角.SM GF
3、2，则GF 2，2又SA AC 6，AM 2，AM AB 2，ABM 600ABM是等边三角形，60，AB 2，GAB 90，BG 2BF 3。在GAB中，AG 311 4 221113GF FB BG22 6cosBFG 22GF FB326232222GF二面角S AM B的大小为arccos(6)3学习资料分享WORD 格式-专业学习资料-可编辑练习 1 如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形，PA平面 ABCD，ABC 60,E，F 分别是 BC,PC 的中点.（）证明：AEPD;（）若 H 为 PD 上的动点，EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为6，求二面角 E
4、AFC 的余弦值.2分析分析：第 1 题容易发现，可通过证 AEAD 后推出 AE平面 APD，使命题获证，而第2 题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱 AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S，和两边 SE 与 SC，进而计算二面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值为15）5二、三垂线法二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直通常当点 P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例 2）过二面角 B-FC1-C 中半平面 BFC
5、 上的一已知点 B 作另一半平面 FC1C 的垂线，得垂足 O；再过该垂足 O 作棱 FC1的垂线，得垂足P，连结起点与终点得斜线段 PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线 PB、垂线 BO、射影 OP）。再解直角三角形求二面角的度数。例2 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1、F 分别是棱 AD、AA1、AB 的中点。（1）证明：直线 EE1/平面 FCC1；（2）求二面角 B-FC1-C 的余弦值。证（1）略解（2）因为 AB=4,BC=CD=2,、F 是棱 AB 的中点,所以BF=BC=CF,B
6、CF 为正三角形,取 CF 的中点 O,则 OBCF,又因为直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,CC1平面 ABCD,所以 CC1BO,所以OB平面CC1F,过O在平面CC1F内作OPC1F,垂足为P,连接 BP,则OPB 为二面角 B-FC1-C 的一个平面角,在BCF为正三角形中,OB 3,在 RtCC1F 中,OPFCC1F,学习资料分享D1A1C1B1E1EADFD1CBC1B1COFBA1F1PE1EADOPOF12OP,2 22CC1C1F22 2WORD 格式-专业学习资料-可编辑2OP7114222在 Rt OPF 中,BP OP OB,cosOPB,所 以 二 面 角3
7、BP722142B-FC1-C 的余弦值为7.7练习 2 如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形已知AB 3,AD 2,PA 2,PD 2 2,PAB 60（）证明AD 平面PAB；（）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（）求二面角P BD A的大小分析分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明 AD平面 PAB 后，容易发现平面 PAB平面 ABCD，点 P 就是二面角 P-BD-A 的半平面上的一个点，于是可过点P 作棱 BD 的垂线，再作平面 ABCD的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。（答案：二面角P BD A的大小为arctan3
8、9）4P三补棱法三补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例 3 如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，BCD60，E 是 CD 的中点，PA底面 ABCD，PA2.（）证明：平面 PBE平面 PAB;（）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小.分析：本题的平面 PAD 和平面 PBE 没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长 AD、BE 相交于点 F，连结 PF.）再在完整
9、图形中的PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。（）证略解:（）延长 AD、BE 相交于点 F，连结 PF.过点 A 作 AHPB 于 H，由（）知平面 PBE平面 PAB,所以 AH平面 PBE.在 RtABF 中，因为BAF60，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰 RtPAF 中，取 PF 的中点 G，连接 AG.学习资料分享DABECPGFHADECBWORD 格式-专业学习资料-可编辑则 AGPF.连结 HG，由三垂线定理的逆定理得，PFHG.所以AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角的平面角（锐角）.在等腰 RtPAF 中，AG 2PA 2.2在 RtPAB 中，
10、AH AP ABPBAP ABAP2 AB222 5.552 5AH10所以，在 RtAHG 中，sinAGH 5.AG52故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小是arcsin练习 3 已知斜三棱柱 ABCA1B1C1的棱长都是 a，侧棱与底面成 600的角，侧面 BCC1B1底面 ABC。（1）求证：AC1BC；（2）求平面 AB1C1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。提示：本题需要补棱，可过A 点作 CB 的平行线 L（答案：所成的二面角为45O）四、射影面积法（四、射影面积法（cosq=10.5A1C1B1ALCBs射影S）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和
11、该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cosS射S斜）求出二面角的大小。P例 4如图，在三棱锥P ABC中，AC BC 2，ACB 90，AP BP AB，PC AC（）求证：PC AB；（）求二面角B AP C的大小；ACB分析：本题要求二面角 BAPC 的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP 与平面 ACP中建立一对原图形与射影图形并分别求出S原与 S射P于是得到下面解法。E解：（）证略（）AC BC，AP BP，APC BPCBA又PC AC，PC BC学习资料分享CWORD 格式-专业学习资料-可编辑又ACB 90，即AC BC，且ACPC C，BC
12、 平面PAC取AP中点E连结BE，CEAB BP，BE APEC是BE在平面PAC内的射影，CE APACE 是ABE 在平面 ACP 内的射影，于是可求得：AB BP AP AC2CB2 2 2，BE AB2 AE26，AE EC 2则S射 SACES原 SABE11AE CE 2 2 1，2211AE EB 2 6 322DCBE设二面角二面角B AP C的大小为的大小为，则，则cosS射S原3331AD1A1图 5二面角B AP C的大小为 arccos33C1B1练习 4：如图 5，E 为正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 CC1的中点，求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1所成
13、锐角的余弦值.分析分析平面 AB1E 与底面 A1B1C1D1交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，则必须先作两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形 AB1E 在平面 A1B1C1D1上的射影是三角形A1B1C1，从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。（答案：所求二面角的余弦值为cos=2）.3五、向量法五、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。例 4：如图，在五面体 AB
14、CDEF 中，FA平面 ABCD,AD/BC/FE，ABAD，M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE=1AD2(I)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；(II)证明平面 AMD平面 CDE；求二面角 A-CD-E 的余弦值。学习资料分享WORD 格式-专业学习资料-可编辑，现在我们用向量法解答：如图所示，建立空间直角坐标系，以点A为坐标原点。设AB 1依题意得D0，E0，F0，B1，0，0，C1，1，0，2，0，1，1，0，1，11M，1，.22（I）解：DE 0，BF1，0，1，1，1，于是cos BF，DE BFDEBF DE0011.2 220所以异面直线BF与DE所成的角
15、的大小为60.（II）证明：由AM ，CE 1AD 0，1，0，1，2，0，可得CEAM 0，1212CEAD 0.因此，CE AM，CE AD.又AMAD A，故CE 平面AMD.而CE 平面CDE，所以平面AMD 平面CDE.uCE 0，（III）解：设平面CDE的法向量为u (x，y，z)，则uDE 0.x z 0，于是令x 1，可得u (1，1，1）.y z 0.0，1).又由题设，平面ACD的一个法向量为v (0，练习 5、如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC 侧面A1ABB1.（）求证：AB BC；（）若直线AC与平面A1BC所成的角为,二面角A1BC A的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.分析：由已知条件可知：平面ABB1 A1平面 BCC1 B1平面 ABC 于是很容易想到以 B 点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。（答案：arcsinaa c22，且acb a c22aa c22,）总之，上述五种二面角求法中，前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律，后两种是两种不同学习资料分享WORD 格式-专业学习资料-可编辑的解题技巧，考生可选择使用。学习资料分享