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1、高中数学基础知识高中数学基础知识-献给高献给高 20092009 级级 1 1 班同学们班同学们第一章 集合及简易逻辑第一章 集合及简易逻辑1 1、集合中元素集合中元素具有确定性、无序性、互异性.2.用描述法表示集合时，2.用描述法表示集合时，注意区分集合中的元素.如：x|y=lgx函数的定义域；y|y=lgx函数的值域；(x,y)|y=lgx函数图象上的点集.3、集合的性质3、集合的性质：任何一个集合A是它本身的子集,记为A A.空集是任何集合的子集,记为 A.空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A B,在讨论的时候不要遗忘了A=的情况4 4、集合的运算集合的运算：交、并、补nn nn
2、n5、5、（1）含 n 个元素的集合的子集数为 2,真子集数为 2 2 1；1；非空真子集的数为 2 2-2；-2；讨论的时候不要遗忘了A=的情况。（2）A B AI B=A AU B=B;注意：6、6、原命题:p q；逆命题:q p；否命题:p q；逆否命题:q p；原命题与逆否命题真假性相同如：“sin sin”是“”的 条件.(可以转化为它的逆否命题来判断)7、四种条件7、四种条件：充分而不必要条件；必要而不充分条件；充要条件，既不充分也不必要条件8 8、小范围推出大范围小范围推出大范围；大范围推不出小范围.例：若x f 5，x f 5或x p 2第二章 函数第二章 函数1、集合1、集合
3、 A A 到集合到集合 B B 的映射满足的映射满足：（1）集合 A 中的每个元素在集合 B 必须有唯一的象；（2）集合 A 中多个元素在集合 B 可以对应同一个象（3）集合 B 的元素可以没有原象。2、构成函数的三大要素2、构成函数的三大要素：定义域，值域，对应法则（解析式），其中定义域指自变量的取值范围，值域指值函数的取值范围，对应法则是联系定义域与值域的纽带。3、求定义域3、求定义域:使函数解析式有意义(如:分母 0;偶次根式被开方数非负;对数真数 0,底数 0 且1；零指数幂的底数 0)；实际问题有意义；若f(x)定义域为a,b,复合函数fg(x)定义，域由a g(x)b解出；若fg(
4、x)定义域为a,b,则f(x)定义域相当于xa,b时g(x)的值域.4、.求值域常用方法4、.求值域常用方法:配方法(二次函数类)；观察法(简单函数)；换元法(特别注意新元的范围).判别式法；不等式法（均值不等式）单调性法；导数法(一般适用于高次多项式函数).5、三类重要函数5、三类重要函数：分段函数（常考察分类讨论），复合函数，抽象函数（常与函数的性质考察）6.求函数解析式的常用方法6.求函数解析式的常用方法：待定系数法(已知所求函数的类型)；方程的思想-对已知等式进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。7、函数的性质7、函数的性质（1）、单调性：证明用比较法；求单调区间用导数
5、法（注意和定义域找交集）；增函数的反函数是增函数；复合函数的单调性法则：同则增，异则减。（2）奇函数：f(x)=f(x)偶函数：f(x)=f(x)证明用代入法，计算f(x)。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。（3）、周 期 性：f(x+T)=f(x)(xR)，常 数 T 叫 周 期。y=f(x)对xR时,f(x+a)=f(x)或f(x+a)=1f(x)1,则y=f(x)的周期 T=2|a|；8、反函数8、反函数（1）、求反函数的方法：先解方程求出x,然后 x 与 y 交换位置，最后确定定义域（看原函数的值域）（2）、反函数的性质：y=f(x)与函数y=f1(x)的图像关于
6、直线y=x对称，且f(a)=b f1(b)=a9.指数函数9.指数函数：y=a(a 0且a 1)的图象和性质的图象和性质x图象a160a 0,a 1,N 0)（2）对数的性质：loga1=0，logaa=1M12)（3）对数的运算性质：loga(M N)=logaM+logaN(1)loga=logaM logaNlogaMn=nloga(M)Nb（4）对数函数：y=logax，它与y=ax（a f 0,a 1）互为反函数。（5）对数函数图象的性质：32.5a132.50a1221.51.5图象1-111110.50.50-0.512345678-10-0.5-1-1.5112345678-1
7、-1.5-2-2-2.5-2.5性定义域：（0，+）质值域：R过点（1，0），即当x=1时，y=02x(0,1)时y 0 x(1,+)时y 0 x(1,+)时y 0在（0，+）上是增函数在（0，+）上是减函数11、函数图象的几种常见变换11、函数图象的几种常见变换平移变换：左右平移-“左加右减”（注意是针对x而言）；上下平移-“上加下减”(注意是针对f(x)而言).翻折变换：f(x)|f(x)|；（下翻上）f(x)f(|x|).（左向右看齐）（3）对称变换：函数y=f(x)与y=f(x)的图像关于直线x=0(y轴)对称；函数y=f(x)与函数；y=f(x)的图像关于直线y=0(x轴)对称。第三
8、章 数列第三章 数列S1(n=1)1.1.由Sn求an,an=注意验证a1是否包含在后面an的公式中,若不*SnSn1(n 2,nN)符合要 单独列出.2 2.等差数列an的通项公式an=a1+(n1)d=dn+a1d(nN)*其前 n 项和公式sn=n(a1+an)n(n1)=na1+d223.3.等差数列an中，如果 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq,特殊地，2m=p+q 时，则 2am=ap+aq，am是ap、aq的等差中项。n-14.4.等比数列的通项公式：an=a1q (q0)a1(1qn),q 1其前 n 项的和公式sn=1qna,q=115.5.等比数列an中，如果 m
9、+n=p+q,则 aman=apaq,特殊地，2m=p+q 时，则 am=apaq，am是 ap、aq的等比中项。6.数列求和的常用方法：6.数列求和的常用方法：（1）公式法公式法：等差数列、等比数列求和公式21+2+3+L+n=1n(n+1)，1+3+5+L+(2n 1)=n2，2（2）分组求和法分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.（3）倒序相加法倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.（4）错
10、位相减法错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前n和公式的推导方法之一）.（5）裂项相消法裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：11=11，=1(11)n(n+1)nn+1n(n+k)k nn+k 第四章 三角函数 第四章 三角函数31.终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)第一象限的角：2k2k+=+2k(kZ Z)2 其
11、中 k z其他象限依此类推。x 轴上的角：=k y 轴上的角：=k+2 其中 k z2o2.弧长公式：l=|R，扇形面积公式：S=1lR=1|R，1 弧度(1rad)57.3223.三角函数符号特征是：一全正、二正弦、三两切、四余弦一全正、二正弦、三两切、四余弦.4、同角三角函数的基本关系式sin2+cos2=1，tan=5、三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限.（角视为锐角）6、和角与差角公式：（注意逆用注意逆用）sin()=sincoscossin;sin，tancot=1coscos()=coscosmsinsin;tantantan()=1mtantan 变用：tan 变用
12、：tantantan=tan(=tan()(1)(1mtantantantan)7、二倍角公式：（注意逆用注意逆用）sin2=2sincos.sin2=2sincos.cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2.2tantan2=21tan8、三角函数变换主要是：角、函数名、次数，其核心是“角的变换”!角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如=(+)=()+，2=(+)+()，9.重要结论：asin x+bcosx=a2+b2sin(x+)其中tan=ba）；重要公式：sin2=1cos2；2cos2=1+cos22 （
13、降次公式）-用于求最值中的变形10.三角函数性质、图像及其变换：(1)三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性函数y=Asin(x+)，xR及函数y=Acos(x+)，xR(A,为常数，且A0，0)的周期T=2；若未说明大于 0,则T=2|注意：正切函数、余切函数的定义域；绝对值对三角函数周期性的影响绝对值对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变；其他不定.如y=sin2x,y=sin x的周期都是,但y=sin x+cosxy=sin x+cosx的周期为
14、，y=|tanx|的周期不变，2(2)三角函数图像及其几何性质：=sin(sin(Asin(+y yy=A Ax x+x)y yx xO Ox x3 3x x4 4注意：y=Acos(x+)完全相同邻中心轴相距x x=Tx x1 14x x=x x2 24邻中心|x x3 3-x x4 4|=|=T T/2/2无穷对称中心:由y y=0=0确定确定邻轴|x x1 1-x x2 2|=|=T T/2/2无穷对称轴:由y y=A A或或-A A确定确定(3)三角函数图像的变换：两轴方向的平移、伸缩及其向量的平移变换.注意：先伸缩后平移，一定要提系数。注意：先伸缩后平移，一定要提系数。（4）y=si
15、n x的单调递增区间为2k2,2k+2kZ单调递减区间为32k,2kkZ+，对称轴为x=k+(kZ),对称中心为(k,0)(kZ)；222y=cosx的单调递增区间为2k,2kkZ单调递减区间为2k,2k+kZ，对称轴为x=k(kZ),对称中心为k+,0(kZ)；y=tan x的单调递增区间为2k+k,kkZ，对称中心为(,0)(kZ)（结合图象理解记忆结合图象理解记忆）22211、三角函数的值域最值的求法：对于形如asin+bcos的三角函数可以先进行合一变形合一变形，然后考虑角的范围，利用三角函数的图象求出函数的值域最值。对于形如 y=asin2+bsin+c 的函数，可以用换元法换元法，
16、令 sin=t,（注意 t 的范围）转化成二次函数来求函数的值域和最值。对 于 形 如 含 y=a利 用 重 要 公 式sin2=1cos2；2cos2=1+cos22和 重 要 结 论：asin x+bcosx=a2+b2sin(x+)变 形 为y=Asin(x+)+B12 正弦定理：a=b=c=2R(R为三角形外接圆的半径).sin AsinBsinC注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.222(b+c)2 a2b+c a13 余弦定理：a=b+c 2bccosA,cos A=1等，2bc2bc11114、三角形的面积公式：S=absinC=bcs
17、in A=casin B222222第五章第五章平面向量平面向量1、1、向量的基本概念：向量的模，平行向量（共线向量），单位向量。2、向量的加法和减法：平行四边形法则，三角形法则（数形结合）3、如果a=(x1,y1),b=(x2,y2)则ab=(x1x2,y1y2)4、如果 A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB=(x2x1,y2y1)55、向量 a、b 的数量积ab=|a|b|cos6、向量 a、b 的夹角 cos=2aba b7、a2=a8.向量的平行与垂直 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且 b0，则（1）a|ba|bb=a x1y2 x2y1=0.（2）a ab(b(a
18、0)a abb=0 x1x2+y1y2=09.平面两点间的距离公式：PQ=(x1 x2)2+(y1 y2)2x1+x2=x2(=1)10、中点坐标公式：y=y1+y22第六章 不等式第六章 不等式1、不等式的性质1、不等式的性质（1）同向不等式的可加性和可乘性（没有可减性和可除性）（2）若ab0,ba,则1a1b.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.（3）如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分情况讨论。（4）含绝对值不等式的性质：a、b同号或有0|a+b|=|a|+|b|a|b|=|ab|；a、b异号或有0|ab|=|a|+|b|a|
19、b|=|a+b|.2、均值不等式2、均值不等式（1）利用均值不等式a+b 2 ab 以及变式ab (a+b)等求函数的最值时，务必注意22a，bR R+（或a，b非负），和“等号成立”时的条件，且积ab或和ab其中之一应是定值(一正二定三等一正二定三等)，常用的方法为：拆、凑、平方等。那么当x=y时和x+y有最小值；如果和x+y是定值，那么当x=y（2）如果积xy是定值，时积xy有最大值3、解不等式3、解不等式（1）解不等式的基础是：会解一元一次、一元二次、一元高次及绝对值不等式，其它不等式通过转化解决。；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的不等式解集的端点值往往是不
20、等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值端点值.（2）解一元高次不等式的方法：数轴标根法（要求最高项系数为正）(3)解分式不等式f(x)a(a 0)的一般解题思路移项通分，然后除变乘g(x)（4）解绝对值不等式：公式法ax+bc（c0）ax+bc或 ax+bcx+d(ax+b)(cx+d)（5）用分类讨论的思想解含参数的不等式4.证明不等式常用方法4.证明不等式常用方法：比较法（A B 0 A B）综合法：由因导果分析法：执果索因（将结论等价变形）65、不等式恒成立问题（转化成最值问题）5、不等式恒成立问题（转化成最值问题）（1）若不等式f(x)A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f(x)
21、min A（2）若不等式f(x)B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f(x)max 0)；22222x=a+rcos(为参数),其中圆心为(a,b)半径为r（往往用于求最圆的参数方程：y=b+rsin值）9 9、直线和圆相交计算弦长时直线和圆相交计算弦长时，注意抓住半径、半弦长、弦心距构成直角三角形注意抓住半径、半弦长、弦心距构成直角三角形10.10.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x轴垂直的直线.11.直线与圆的位置关系11.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,d r 相离d=r 相切d R+r 两圆相离；d=R+r 两圆相外切；|R r
22、|d R+r 两圆相交；d=|R r|两圆相内切；d|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.（0e1）双曲线1到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值 2a(02a1）抛物线定义与定点和直线的距离相等的点的轨迹.方程范围中心x2y2x=acos+=1；y=bsina2b2(ab0)x2y2=1a2b2a 0,b 0 x a,yR原点O(0,0)y2=2px(p 0)a x a,b y b原点O(0,0)x 08顶点对称轴焦点离心率(a,0);(a,0);(0,b);(0,b)x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2b(a,0);(a,0)x轴，y轴；实轴长2a,虚轴长
23、2b(0,0)x轴F1(c,0)，F2(c,0)e=c(0 e 1)apF(,0)2e=1准线a2x=ca2x=cy=x=p2渐近线焦半径bxar=a exr=(ex a)r=x+p22、圆锥曲线焦点位置的判断：圆锥曲线焦点位置的判断：椭圆看分母的大小，双曲线看正负，抛物线看一次项。3、.圆锥曲线的两个定义圆锥曲线的两个定义：如果涉及到其两焦点(两相异定点)，那么将优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其焦点、准线(一定点和不过该点的一定直线)或离心率，那么将优先选用圆锥曲线第二定义。注意：圆锥曲线第二定义是：“点点距为分子、点线距为分母”，椭圆点点距除以点线距商是小于 1 的正数，双曲线点点距
24、除以点线距商是大于 1 的正数，抛物线点点距除以点线距商是等于 1x2y2b4.4.共渐近线y=x的双曲线标准方程为22=(为参数,0).aab5、.5、.圆锥曲线中点弦问题：圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”“韦达定理”或“点差法”求解.6.6.直线与圆锥曲线相交的弦长公式直线与圆锥曲线相交的弦长公式1=(1+k2)(x1+x2)24x1x2=1+2|y1 y2|(弦 端 点A(x1,y1),B(x2,y2),由 方 程ky=kxc+b2消去y得到ax+bx+c=0,0,k为斜率).这里体现了解几中“设而不F(x,y)=0求”的思想，最后利用根与系数的关系解决。7
25、.7.求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的常用方法：直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)=0,是求轨迹的最基本的方法.（2）代入法(一个点在已知曲线上运动，求另一个动点的轨迹).（3）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.第九章第九章排列、组合及二项式定理排列、组合及二项式定理1两个原理1两个原理：加法原理（分类）；乘法原理（分步）-解决排列组合的基础2排列（与顺序有关）2排列（与顺序有关）：An=n(n1)L(nm+1)=mn!。(nm)!nn当m=n时为全排列An=n!=An=n!=n(n1)(n2)L213组合（与顺序无关3组合（
26、与顺序无关）：Cn=mn(n1)L(nm+1)n!=。12Lmm!(nm)!9mnm=Cn(mn),（2）Cn=Cn1+Cn1(mn),4、组合的两个性质：4、组合的两个性质：（1）Cn5.解排列组合问题的依据是解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合6 解排列组合问题原则解排列组合问题原则：“三先三后”先分类后分步，先取后排，先分组后分配（元素有多余的）。7.排列组合主要解题方法7.排列组合主要解题方法：优先法优先法：特殊元素优先或特殊位置优先；捆绑法捆绑法(相邻问题)；插空法 插空法（不相邻问题）；间接扣除法；(间接扣除法；(对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符
27、合条件的所有情况去掉）先选后排,先分再排先选后排,先分再排(注意等分分组问题);先选后排,先分先选后排,先分再排再排(注意等分分组问题)mmm18.二项式定理8.二项式定理：(a+b)=Cna+Cnarnrrn0n1n1rnrrnnb+L+Cnab+L+Cnb，展开式共有n+1 项，且每一项是积的形式；其中各二项式系数就是组合数Cn-它是第r+1 项的二项式系数；，其中第r+l 项Tr+1=Cnab；某项“加数b”的指数组合数的上标.9、二项式展开式中二项式系数(组合数)的性质9、二项式展开式中二项式系数(组合数)的性质：与首末两端等距离的二项式系数相等；（对称性）若n为偶数,中间一项(第+1
28、项)的二项式系数二项式系数最大；若n为奇数,中间两项(第2rnn12+1和n+12+1项)的二项nn01r0213n1+L+Cn=2（二项式系数和）Cn+Cn+L+Cn（3）.Cn+Cn+L=Cn+Cn+L=21010、二项式展开式中区分“二项式系数、项的系数”二项式展开式中区分“二项式系数、项的系数”。二项式系数指的是组合数，而项的系数指的是字母前的数字，求指定项的系数用分配原则（注意符号求指定项的系数用分配原则（注意符号）11、用赋值法求展开式 的某些项的系数的和11、用赋值法求展开式 的某些项的系数的和：如f(x)=(ax+b)n展开式的各项系数和各项系数和为f(1),奇数项系数和奇数项
29、系数和为 f(1)f(1),偶数项的系数和偶数项的系数和为 f(1)+f(1)2211第十章第十章概率与统计概率与统计必然事件 P(A)=1，不可能事件 P(A)=0，随机事件的定义 0P(A)1。2 2.等可能事件的概率：等可能事件的概率：P(A)=m-经常利用排列组合的知识计算 m 和 nn3.互斥事件的概率计算公式3.互斥事件的概率计算公式：P（A+B）P（A）+P（B）；-分类讨论的思想分类讨论的思想4.对立事件的概率计算公式是4.对立事件的概率计算公式是：P（A）=1P（A）；-一般“至少”问题常使用一般“至少”问题常使用5、独立事件5、独立事件 A，B 同时发生的概率 P(AB)=
30、P(A)P(B)-可以理解为分步可以理解为分步6.独立事件重复试验独立事件重复试验（表示事件 A 在 n 次独立重复试验中恰好发生了次的概率）的概率计k算公式是：Pn(k)=CnP(1 P)kknk-每次发生的概率必须相等，否则只能分类讨论。-每次发生的概率必须相等，否则只能分类讨论。7.掌握抽样的三种方法：7.掌握抽样的三种方法：（1）简单随机抽样（包括抽签法和随机数表法）；（2）系统样，也叫等距离抽样；（3）分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形；8.总体分布的估计：8.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，
31、要求能画出频率分布表和频率分布直方图；-注意频数与频率的区别注意频数与频率的区别9、概率分布列（关键确定9、概率分布列（关键确定的取值及计算对应的概率）的取值及计算对应的概率）Px1P1X2P2xnPn 10注意：注意：p1+p2+pn=1期望值 E x1p1+x2p2+xnpn第十一章第十一章数学归纳法和极限数学归纳法和极限1、1、数学归纳法的本质：数学归纳法的本质：递推关系2、2、数学归纳法：数学归纳法：和正整数有关的命题3、3、用数学归纳法证明一个命题的步骤：用数学归纳法证明一个命题的步骤：（1）验证 n 取第一个值时成立（递推的基础）（2）假设 n=k 时成立（作为已知使用），证明 n
32、=k+1 时也成立（递推的根据）注意：注意步两步缺一不可注意：注意步两步缺一不可4、4、.数列极限：掌握数列极限的运算法则,注意其适用条件：一是数列an,bn的极限都存在；二是仅适用于有限个数列的和、差、积、商,对于无限个数列的和(或积),应先求和(或积),再求极限.1=0,limqn=0(|q|0,那么f(x)为增函数；如果f(x)0,那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有f(x)=0,那么f(x)为常数；（2）求可导函数极值的步骤求可导函数极值的步骤：求导数f(x)；求方程f(x)=0的根；检验f(x)在如果左正右负,那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值；方程f(x)=0根的左右的
33、符号，如果左负右正,那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值；将y=f(x)在（3）求可导函数最大值与最小值的步骤求可导函数最大值与最小值的步骤：求y=f(x)在(a,b)内的极值；各极值点的极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.11 第十二章 复数 第十二章 复数1.1.理解复数、实数、虚数、纯虚数和复数的几何表示（复平面）2.2.熟练掌握与灵活运用以下结论熟练掌握与灵活运用以下结论：a+bi=c+di a=c且c=d(a,b,c,d R)；复数是 实数的条件：z=a+biR b=0(a,bR)；（3）复数是纯虚数的条件:z=a+bi是纯虚数 a=0且b
34、0(a,bR)3、复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d R),则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,（多项式的加减多项式的加减）z1z2=(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i,（多项式的乘法类似多项式的乘法类似）z1ac+bdbc ad=2+2i(z2 0).（分母实数化分母实数化）22z2c+dc+d1+i1i4、注意以下结论4、注意以下结论：(1i)2=2i；周期 T=4。=i,1i1+i=i（3）i1=i,i2=1,i3=i,i4=1,第十三章 立体几何 第十三章 立体几何1、判定两线平行的方法、判定两线平行的方法
35、：（1）平行于同一直线的两条直线互相平行（公理公理 4 4）（2）垂直于同一平面的两条直线互相平行（线面垂直的性质线面垂直的性质）（3）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行（线面平行的性质线面平行的性质）（4）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平（面面平行的性质面面平行的性质）2、.判定线面平行的方法.判定线面平行的方法：（1）据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点（2）如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行（最常用最常用）（3）两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（4）平面外
36、的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面（5）平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面3、判定面面平行的方法：（1）定义：没有公共点（2）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行（最常用最常用）（3）垂直于同一直线的两个平面平行（4）平行于同一平面的两个平面平行4、面面平行的性质：（1）两平行平面没有公共点（2）两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面（3）两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行（4）垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面5、判定两线垂直的方法：（1）定义：成90 角（2）直线和平面垂直，则该
37、线与平面内任一直线垂直（最常用最常用）（3）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（4）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直（5）一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直6、.判定线面垂直的方法：（1）定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直（2）如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直（最常用最常用）（3）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面（4）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面（5）如果两个平面垂直，那么在一个
38、平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面（6）如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面7、.判定面面垂直的方法：（1）定义：两面成直二面角,则两面垂直（2）一个平面经过另一 12个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面（最常用最常用）8、.面面垂直的性质：（1）二面角的平面角为90（2）在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面（3）相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面规律：线线平行规律：线线平行线面平行线面平行面面平行；线线垂直面面平行；线线垂直线面垂直线面垂直面面垂直；面面垂直；9、三垂线定理及其逆定理是立体几何中应用非常广泛的定理，只要题设条
39、件中有直线和平面垂直时，就往往需要使用三垂线定理及其逆定理.每年高考试题都要考查这个定理.三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.10、线线角0,，平移成角；线面角0,，斜线与射影；二面角0,，22求法有：定义法；垂面法；“两垂一连三垂线”（最重要）最重要）；11.11.空间距离的求法：两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直证明公垂 线,然后再进行计算.求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解.求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此,确定已知面的垂面是关键；二是不
40、作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解.12.棱柱：上下底面平行全等，侧棱平行。最重要的是四棱柱。四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体1 棱锥：最重要的是三棱锥和四棱锥（注意正棱锥的性质）13.S球面=4R;V球=243R.面心距d=R2r2。323631a（a为棱长）a;R外=h;r=h；h=1234414正四面体的相关数据：V=高中数学易错、易混、易忘问题备忘录高中数学易错、易混、易忘问题备忘录在应用条件 ABAB ABBA时，易忽略是空集是空集的情况求解与函数有关的问题易忽略定义域优先定义域优先的原则判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称检验函
41、数定义域是否关于原点对称解对数不等式时，易忽略真数大于、底数大于且不等于真数大于、底数大于且不等于这一条件5用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为讨论二次项的系数是否为 尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略6用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正二定三相等”验证“一正二定三相等”这一条件7用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性换元前后的等价性8求反函数时，易忽略求反函数的定义域求反函数的定义域 139求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“”和“或”在多个单调区间之间添加符号“”和“或”；单调区间不能用集合或不等式集合或不等式表示10用等比数
42、列求和公式求和时，易忽略公比公比的情况11已知 sN求 an时,易忽略 nn的情况12用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时,易忽略斜率不存在斜率不存在的情况13用到角公式时，易将直线直线1 1、2 2的斜率的斜率1 1、2 2的顺序的顺序弄颠倒14在做应用题时,运算后的单位要弄准，不要忘了“答”及变量的取值范围“答”及变量的取值范围；在填写填空题中的应用题的答案时,不要忘了单位单位15在分类讨论时,分类要做到“不重不漏、层次分明不重不漏、层次分明,进行总结进行总结16 在解答题中，如果要应用教材中没有的重要结论，那么在解题过程中要给出简单的证明简单的证明17在求不等式的解集、定义域及值域时，其
43、结果一定要用 集合或区间集合或区间表示；不能用不等式不等式表示18两个不等式相乘时,必须注意同向同正同向同正时才能相乘,即同向同正可乘同向同正可乘；同时要注意“同号同号可倒可倒”即ab0，ab019分组问题要注意区分是平均平均分组还是非平均非平均分组，平均分成n 组问题易忘除以 n！n！同时还要注意区分是定向定向分组还是非定向非定向分组；分配问题也注意区分是平均平均分配还是非平均非平均分配，同时还要注意区分是定向定向分配还是非定向非定向分配20 如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交相交,只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交相交,只有一个交点此时两个方程联立，消
44、元后为一次一次方程21求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为 90，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法证明它们垂直的方法22二项式()展开式的通项公式中与的顺序与的顺序不变23使用正弦定理时易忘比值还等于 2R2R24恒成立问题不要忘了主参换位主参换位以及验证等号是否成立验证等号是否成立25 线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为一个平面内的两条相交直线两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线两条相交直线分别平行而导致证明过程跨步太大27函数的图象的平移、方程的平移以及点的
45、平移公式易混：n 14（）函数的图象的平移为“左+右-,上+下-左+右-,上+下-”；如函数 y2x+4 的图象左移 2 个单位且下移 3 个单位得到的图象的解析式为 y=2（x2）+43即 y=2x+5（）方程表示的图形的平移为“左+右-,上-下+左+右-,上-下+”；如直线2xy+4=0 左移 2 个单位且下移 3 个单位得到的图象的解析式为 2(x2)-(y3)+4=0即 y=2x+5（）点的平移公式：点 P(x,y)按向量=(h，k)平移到点 P(x，y)，则 x x+h，y y+k28椭圆、双曲线、之间的关系易记混对于椭圆应是 ，对于双曲线2 22 22 2应是 29“属于关系”与“
46、包含关系”的符号易用混，元素与集合的关系用a，集合与集合的关系用30“点在直线上”与“直线在平面上”的符号易用混，如：，31 两个向量平行与与两条直线平行易混,两个向量平行(也称向量共线)包含两个向量重合包含两个向量重合,两条直线平行不包含两条直线重合不包含两条直线重合32.各种角的范围:角两条异面直线所成的角直线与平面所成的角斜线与平面所成的角二面角两条相交直线所成的角(夹角)l 1到 l 2的角倾斜角两个向量的夹角锐角第一象限的角范围0900 900 9001800900 1800 18001800 90K360 K360+9002 22 22 2/1533二项式展开式的通项公式、n次独立
47、重复试验中事件 A 发生 k 次的概率与二项分布的分布列三者易记混通项公式：Tr+1=crnrrab(r=0,1,2,n)（它是第项而不是第项）n事件 A 发生 k 次的概率：Pn(k)=ckknkp(1p)n分布列：B(n,p),P(=k)=ckknkp q其中0,1,2,3,n,且 0p1，p+q=1.n34 二项式系数与展开式某一项的系数易混,第项的二项式系数为 第项的二项式系数为系数为系数为nrracnb中 x 的系数.rcrn,第项的第项的35二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混二项式系数最大项二项式系数最大项为中间一项或两项；Tr+1 Tr展开式中系数最大项展开式中系数最大项的求法为用解不等式组T T来确定r+2r+136点 P 在椭圆(或双曲线)上，椭圆中PF椭圆中PF1 1F F 2 2的面积的面积 b tan2 22与双曲线中PF1F 2的面积 bcot2易混(其中点 F1F 2是焦点).16