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1、中考二次函数综合压轴题型归类中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总一、常考点汇总1、两点间的距离公式两点间的距离公式：AB yA yB2xA xB2 xA xByA yB，222、中点坐标中点坐标：线段AB的中点C的坐标为：直线直线y k1x b1（k1 0）与）与y k2x b2（k2 0）的位置关系：）的位置关系：（1）两直线平行k1 k2且b1 b2（2）两直线相交k1 k2（3）两直线重合k1 k2且b1 b2（4）两直线垂直k1k2 13、一元二次方程有整数根问题一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：用和参数的其他要求确定参数的取值范围；解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、
2、二次根式）分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于x的一元二次方程x 2m 1x m 0有两个整数根，m5且m为整数，求m的值。224、二次函数与二次函数与x轴的交点为整数点问题轴的交点为整数点问题。（方法同上）例：若抛物线y mx 3m1x3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定2此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于x的方程mx 3(m1)x2m3 0（m为实数），求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根。解：当m 0时，x 1；当m 0时，m 3 0，x 223m
3、 13，x1 2、x21；2mm综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是1。6、函数过固定点问题函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线y x mx m 2（m是常数），求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。12解：把原解析式变形为关于m的方程y x 2 m1 x；2 y x2 2 0 y 1，解得：；x 11 x 0 抛物线总经过一个固定的点（1，1）。（题目要求等价于：关于m的方程y x 2 m1 x不论m为何值，方程恒成立）2小结：关于x的方程ax b有无数解 a 0b 07、路径最值问题路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线l1、
4、l2，点A在l2上，分别在l1、l2上确定两点M、N，使得AM MN之和最小。（2）如图，直线l1、l2相交，两个固定点A、B，分别在l1、l2上确定两点M、N，使得BM MN AN之和最小。（3）如图，A、B是直线l同旁的两个定点，线段a，在直线l上确定两点E、F（E在F的左侧），使得四边形AEFB的周长最小。28、在平面直角坐标系中求面积的方法：在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如右图，SPAB=1/2 PMx=1/2 ANy9、函数的交点问题：函数的交点问题：二次函数（yax bxc）与一次函数（ykxh）2 yax2bxc（1）解方程组可求出两
5、个图象交点的坐标。ykxh yax2bxc2（2）解方程组，即ax bkxch0，ykxh通过可判断两个图象的交点的个数有两个交点0仅有一个交点 0没有交点010、方程法方程法（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量（3）列方程或关系式11、几何分析法几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求跟平行有关的图形平移勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等利用几何中的全等、中垂线的性质等。利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等几何
6、分析涉及公式应用图形平行四边形矩形梯形直角三角形直角梯形矩形等腰三角形全等等腰梯形y y2l1l2 k1k2、k 1x1 x2跟直角有关的图形AB yA yB2xA xB2yA yB2xA xB2跟线段有关的图形跟角有关的图形AB 3【例题精讲】【例题精讲】一一 基础构图：基础构图：y=y=x 2x 3（以下几种分类的函数解析式就是这个）（以下几种分类的函数解析式就是这个）2y和和最小，差最大最小，差最大在对称轴上找一点P，使得 PB+PC 的和最小，求出 P 点坐标在对称轴上找一点P，使得 PB-PC 的差最大，求出 P 点坐标求面积最大求面积最大连接 AC,在第四象限找一点 P，使得ACP
7、面积最大，求出 P 坐标讨论直角三角讨论直角三角 连接 AC,在对称轴上找一点P，使得ACP为直角三角形，求出 P 坐标或者在抛物线上求点P，使ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形讨论等腰三角讨论等腰三角 连接 AC,在对称轴上找一点P，使得ACP为等腰三角形，求出 P 坐标讨论平行四边形讨论平行四边形1 1、点 E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以 B，A，F，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标4BOAxCDyBOAxCDyBOAxCDyBOAxCD二二 综合题型综合题型例例 1 1(中考变式）中考变式）如图，如图，抛物线抛物线y x bx c与与 x x 轴交
8、与轴交与 A(1,0),B(-3A(1,0),B(-3，0)0)两点，两点，顶点为顶点为 D D。交交 Y Y 轴于轴于 C C(1)(1)求该抛物线的解析式与求该抛物线的解析式与ABCABC 的面积。的面积。(2)(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点在抛物线第二象限图象上是否存在一点 MM，使，使MBCMBC 是以是以BCMBCM 为直角的直角三角形，若存为直角的直角三角形，若存在，求出点在，求出点 P P 的坐标。若没有，请说明理由的坐标。若没有，请说明理由(3)(3)若若 E E 为抛物线为抛物线 B B、C C 两点间图象上的一个动点两点间图象上的一个动点(不与不与 A A、B B
9、 重合重合)，过，过 E E 作作 EFEF与与X X轴垂直轴垂直，交，交BCBC 于于 F F，设，设 E E 点横坐标为点横坐标为 x.EFx.EF 的长度为的长度为 L L，求求 L L 关于关于 X X 的函数关系式？关写出的函数关系式？关写出 X X 的取值范围？的取值范围？当当 E E 点运动到什么位置时，线段点运动到什么位置时，线段 EFEF 的值最大，并求此时的值最大，并求此时 E E 点的坐标？点的坐标？(4)(4)在（在（5 5）的情况下直线）的情况下直线 BCBC 与抛物线的对称轴交于点与抛物线的对称轴交于点 H H。当。当 E E 点运动到什么位置时点运动到什么位置时,
10、以点以点 E E、F F、H H、D D 为顶点的四边形为平行四边形？为顶点的四边形为平行四边形？(5)(5)在（在（5 5）的情况下点）的情况下点 E E 运动到什么位置时，使三角形运动到什么位置时，使三角形 BCEBCE 的面积最大？的面积最大？52例例 2 2考点：考点：关于面积最值关于面积最值 3)，点 B 在 x 轴上已知某如图，在平面直角坐标系中，点A、C 的坐标分别为(1，0)、(0，二次函数的图象经过 A、B、C 三点，且它的对称轴为直线 x1，点 P 为直线 BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与 B、C 不重合），过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 F（1）
11、求该二次函数的解析式；（2）若设点 P 的横坐标为 m，试用含 m 的代数式表示线段 PF 的长；（3）求PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标AOCx1BxyFP例例 3 3考点：讨论等腰考点：讨论等腰1如图，已知抛物线yx2bxc 与 y 轴相交于 C，与 x 轴相交于 A、B，点 A 的坐标为（2，0），2点 C 的坐标为（0，1）（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DEx 轴于点 D，连结 DC，当DCE 的面积最大时，求点 D 的坐标；（3）在直线 BC 上是否存在一点 P，使ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由
12、yyDxBOAABOECC6x备用图例例 4 4 考点：讨论直角三角考点：讨论直角三角 如图，已知点A（一1，0）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）(A）2个（B）4个（C）6个（D）7个 已知：如图一次函数 ybxc 的图象与一次函数 y11x1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；二次函数 yx2221x1 的图象交于 B、C 两点，与 x 轴交于 D、E 两点且 D 点坐标为（1，20）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形 BDEC 的面积 S；（3）在 x 轴上是否存在点 P，使得PBC 是以 P 为直角顶点的直
13、角三角形？若存在，求出所有的点 P，若不存在，请说明理由yC2BxAODE例例 5 5考点：讨论四边形考点：讨论四边形已知：如图所示，关于 x 的抛物线 yax2xc（a0）与x 轴交于点 A（2，0），点B（6，0），与 y 轴交于点 C（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；（3）在（2）中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M，抛物线上有一动点 P，x 轴上有一动点 Q 是否存在以 A、M、P、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由7yCAOB
14、x综合练习：综合练习：21、平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y ax 4ax4ac与 x 轴交于点 A、点 B，与 y 轴的正半轴交于点 C，点 A 的坐标为(1,0)，OBOC，抛物线的顶点为 D。(1)求此抛物线的解析式；(2)若此抛物线的对称轴上的点P 满足APBACB，求点P的坐标；(3)Q 为线段 BD 上一点，点 A 关于AQB 的平分线的对称点为A，若QAQB 2，求点 Q的坐标和此时QAA的面积。3，与x2、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y ax+2axc的图像与y轴交于点C0，20。轴交于 A、B 两点，点 B 的坐标为3，（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；
15、（2）点 M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形 ACDB 分成面积为 1：2 的两部分，求出此时点M的坐标；（3）点 P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标。83、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y 且对称轴与x轴交于点C。（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；（2）D为OB中点，直线AD交y轴于E，若E（0，2），求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M在直线OB上，且使得AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。22x 2
16、x与x轴负半轴交于点A，顶点为B，m4、已知关于x的方程(1m)x(4 m)x3 0。（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若正整数m满足82m 2，设二次函数y (1m)x(4m)x3的图象与x轴交于22A、B两点，将此图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线y kx3与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）。95 如图，抛物线 y=ax2+2ax+c（a0）与 y 轴交于点 C（0，4），与 x 轴交于点 A（4，0）和 B（1）求该抛物线的解析式；（2）点 Q
17、是线段 AB 上的动点，过点 Q 作 QEAC，交 BC 于点 E，连接 CQ当 CEQ 的面积最大时，求点Q 的坐标；（3）平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点 P，与直线 AC 交于点 F，点 D 的坐标为（2，0）问是否有直线l，使 ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由三、中考二次函数代数型综合题三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与题型一、抛物线与x x轴的两个交点分别位于某定点的两侧轴的两个交点分别位于某定点的两侧例 1已知二次函数yx(m1)xm2 的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且2x1x2（1）若x1x20
18、，且m为正整数，求该二次函数的表达式；（2）若x11，x21，求m的取值范围；（3）是否存在实数m，使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C（0，2），若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；11MD（4）若过点D（0，）的直线与（1）中的二次函数图象相交于M、N两点，且，求该直2DN3线的表达式题型二、题型二、抛物线与 x 轴两交点之间的距离问题例 2 已知二次函数 y=x+mx+m-5，（1）求证：不论 m 取何值时，抛物线总与x 轴有两个交点；（2）求当 m 取何值时，抛物线与x 轴两交点之间的距离最短102题型三、抛物线方程的整数解问题题型三、抛物线方程的整数解问题例1已知抛物线y x
19、2(m1)x m 0与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 m5，则整数 m 的值为_2例 2已知二次函数 yx2mx4m8（1）当 x2 时，函数值 y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围；2（2）以抛物线yx2mx4m8 的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正AMN（M，N 两点在拋物线上），请问：AMN的面积是与 m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；y2（3）若抛物线 yx2mx4m8 与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m 的值题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称
20、性、数形结合22OAx例 1已知抛物线y x2bx c（其中 b0，c0）与 y 轴的交点为 A，点 A 关于抛物线对称轴的对称点为 B(m,n)，且 AB=2.(1)求 m,b 的值(2)如果抛物线的顶点位于 x 轴的下方，且 BO=20。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：请画图思考）题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）例 1已知：二次函数y x 4x m的图象与 x 轴交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0）（x1x2），其顶点是点 C，对称轴与 x 轴的交于点
21、D（1）求实数 m 的取值范围；（2）如果（x1+1）（x2+1）=8，求二次函数的解析式；（3）把（2）中所得的二次函数的图象沿y 轴上下平移，如果平移后的函数图象与x 轴交于点A1、2B1，顶点为点 C1，且A1B1C1是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式综合提升综合提升111已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），且|AB|23，图象的对称轴为x1（1）求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图象都在直线yxm的下方，求m的取值范围2已知二次函数yxmxm2（1）若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB5，求m的值；（2）设该二次函数
22、图象与y轴的交点为C，二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N，且SMNC27，求m的值3.已知关于x的一元二次方程x2(k1)xk0 有两个整数根，k5 且k为整数（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数yx2(k1)xk的图象沿x轴向左平移 4 个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；（3）根据直线yxb与（2）中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围4已知二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；（3）若二次函数
23、的图象截直线yx1 所得线段的长为 22，求m的值四、中考二次函数定值问题四、中考二次函数定值问题12222221.1.如图，已知二次函数L1：y=x 4x+3 与 x 轴交于 AB 两点（点 A 在点 B 左边），与y 轴交于点C（1）写出二次函数 L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数 L2：y=kx 4kx+3k（k0）写出二次函数 L2与二次函数 L1有关图象的两条相同的性质；若直线 y=8k 与抛物线 L2交于 E、F 两点，问线段 EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由222.2.如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(2，O)、B(2，
24、0)、C(0，l)三点，过坐标原点O 的直线 y=kx 与抛物线交于 M、N 两点分别过点 C、D(0，2)作平行于 x 轴的直线l1、l2 (1)求抛物线对应二次函数的解析式；(2)求证以 ON 为直径的圆与直线l1相切；(3)求线段 MN 的长(用 k 表示)，并证明 M、N 两点到直线l2的距离之和等于线段 MN 的长133.3.如图 1，已知直线 y=kx 与抛物线y=4222x+x交于点 A（3，6）273（1）求直线 y=kx 的解析式和线段 OA 的长度；（2）点 P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线 PM，交 x 轴于点 M（点 M、O 不重合），交直线 OA 于点 Q
25、，再过点 Q 作直线 PM 的垂线，交 y 轴于点 N试探究：线段 QM 与线段 QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图 2，若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点，点 E 在线段 OA 上（与点 O、A 不重合），点 D（m，0）是 x 轴正半轴上的动点，且满足BAE=BED=AOD继续探究：m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是 1 个、2 个？4孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线 y=ax2(a0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点 O，两直角边与该抛物线交于 A、B 两点，请解答以下问题：（1）若测得 OA=OB=2 2（如图 1），求 a 的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图 2 所示位置时，过B 作 BFx 轴于点F，测得 OF=1，写出此时点 B 的坐标，并求点 A 的横坐标；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点 O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点 A、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标yEOFBxA14