《(完整版)概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(完整版)概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、126【答案】C【经典例题】【经典例题】【例 1】（20122012 湖北）湖北）如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是21121A1-B2-CD【答案】A【解析】令 OA=1，扇形 OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为 S1，围成 OC 为 S2，作对称轴 OD，则过 C 点S2即为以1111-2S18OA 为直径的半圆面积减去三角形 OAC 的面积，S2=2(2)2-222=在扇形 OAD 中2为扇S2S111S2-2-24形面积减去三角形 OAC 面积和2，2=812-8-2=16，S1+S
2、2=，扇形 OAB 面积S=4，选 A【例 2】（20132013 湖北）湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为 X，则 X 的均值 E(X)()A.125【答案】B2754368【解析】X 的取值为 0，1，2，3 且 P(X0)125，P(X1)125，P(X2)125，P(X3)125，故 E(X)0275436861251125212531255，选 B.【例 3】（20122012 四川）四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4
3、秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是()11370 x 4，【解析】设第一串彩灯在通电后第 x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第 y 秒闪亮，由题意0 y 4，满足条件A.46B.2B.5C.4168C.125D.87D.51oodrfoso)menthi的关系式为2xy2.根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为 16 平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为 12 平方单123位，故概率为164.【例 4】（20092009 江苏）江苏）现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5
4、，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为.【答案】0.2【解析】从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10，它们的长度恰好相差 0.3m 的事件数为 2，分别是：2.5 和 2.8，2.6 和 2.9，所求概率为 0.2【例 5】（20132013 江苏）江苏）现有某类病毒记作 XmYn，其中正整数 m，n(m7，n9)可以任意选取，则 m，n 都取到奇数的概率为_20【答案】63【解析】基本事件共有 7963 种，m 可以取 1，3，5，7，n 可以取 1，3，5，7，9.所以 m，n 都取到奇数共有 202
5、0种，故所求概率为63.【例 6】（20132013 山东）山东）在区间3，3上随机取一个数 x，使得|x1|x2|1 成立的概率为_1【答案】3【解析】当 x2 时，不等式化为 x1x21，此时恒成立，|x1|x2|1 的解集为1，).在3113，3上使不等式有解的区间为1，3，由几何概型的概率公式得 P3（3）3.【例 7】（20132013 北京）北京）下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留2 天（1）求此人
6、到达当日空气重度污染的概率；（2）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)21213；13；3 月 5 日【答案】【解析】设 Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市”(i1，2，13)1根据题意，P(Ai)13，且 AiAj(ij)（1）设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则 BA5A8.2beingaregoodrfosomenthi2所以 P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8)13.（2）由题意可知，X 的所有可能取值为 0，1，2，且P(X1)P(A3A6A7A11
7、)4P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)13，P(X2)P(A1A2A12A13)4P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)13，5P(X0)1P(X1)P(X2)13.所以 X 的分布列为【例 8】（20132013 福建）福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为3，中奖可2以获得 2 分；方案乙的中奖率为5，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 X，求 X3 的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或
8、都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？1115；方案甲【答案】22【解析】方法一：（1）由已知得，小明中奖的概率为3，小红中奖的概率为5，且两人中奖与否互不影响记“这 2人的累计得分 X3”的事件为 A，则事件 A 的对立事件为“X5”，22411因为P(X5)3515，所以 P(A)1P(X5)15，11即这两人的累计得分 X3 的概率为15.（2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3X2)222，2，3，X2B5，
9、由已知可得，X1B2424所以 E(X1)233，E(X2)255，812从而 E(2X1)2E(X1)3，E(3X2)3E(X2)5.54412故 X 的期望 E(X)01311321313.（3）从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大2()XP051314132413()3因为 E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大22方法二：（1）由已知得，小明中奖的概率为3，小红中奖的概率为5，且两人中奖与否互不影响记“这两人的累计得分 X3”的事件为 A，则事件 A 包含有“X0”“X2”“X3”三个两两互斥的事件，22122222211113
10、55，P(X2)355，P(X3)3515，因为 P(X0)11所以 P(A)P(X0)P(X2)P(X3)15，11即这两人的累计得分 X3 的概率为15.（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1，都选择方案乙所获得的累计得分为 X2，则 X1，X2 的分布列如下：24P91448所以 E(X1)0929493，912412E(X2)0253256255.因为 E(X1)E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大【例 9】（20132013 浙江）浙江）设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2
11、分，取出一个蓝球得 3 分（1）当 a3，b2，c1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2 个球，记随机变量 为取出此2 球所得分数之和，求 的分布列；55（2）从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量 为取出此球所得分数若 E3，D9，求abc.【答案】321【解析】（1）由题意得，2，3，4，5，6.3 31P(2)6 64，2 3 21P(3)6 63，2 3 12 256 6P(4)18.2 2 11P(5)6 69，1 11P(6)6 636，X1()()()()所以 的分布列为019449X2P09253122564254【答案】P214313451
12、85196136故 abc321.【例 10】（20092009 北京理）北京理）某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第1 114PA113 3327.二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件 A 的概率为（2）由题意，可得可能取的值为 0，2，4，6，8（单位：min）.4
13、3；278（2）由题意知 的分布列为12abPabcabca2b3c5所以 Eabcabcabc3，5a5b5c5D132abc232abc332abc9，2ab4c0，化简得a4b11c0，解得 a3c，b2c，3cabc1，遇到红灯时停留的时间都是 2min.3（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.事件“2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k 0，1，2，3，4），1 2P 2k Ck4 3 3即的分布列是0)2k4kk 0,1,2,3,4，P468168132818278811815AAA的期
14、望是E 016328818246881812781813.【课堂练习】【课堂练习】1.（20132013 广东）广东）已知离散型随机变量 X 的分布列为XP13523103110A.2B2C.2D32.（20132013 陕西）陕西）如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A14B21B22D43在棱长分别为 1，2，3 的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离大于 3
15、的概率为()4323A7B7C7D144（20092009 安徽理）安徽理）考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于5.（20092009 江西理）江西理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（）6.（20092009 辽宁文）辽宁文）ABCD 为长方形，AB2，BC1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为则 X 的数学期望 E
16、(X)()35 B4theirbeinga175234 CD757575BCFEADregood3181B3381C4881D50.81rfoso4B1 C8D18menthi67.（20092009 上海理）上海理）若事件E与F相互独立，且PE PFA0B1，则PE I F的值等于4116C14D12x2y28（20132013 广州）广州）在区间1，5和2，4上分别取一个数，记为 a，b，则方程a2b21 表示焦点在 x 轴上且离心率小3于2的椭圆的概率为()115A2B32C32D329已知数列an满足 anan1n1(n2，nN N)，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1
17、，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为 a，b，c，则满足集合a，b，ca1，a2，a3(1ai6，i1，2，3)的概率是()1111A72B36C24 D1210.（20092009 湖北文）湖北文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是 0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是。11.（20132013 新课标全国）新课标全国）从 n 个正整数 1，2，3，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于 5 的概1率为14，则 n_12.（20132013 福建）福建）利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，则
18、事件“3a10”发生的概率为_13.（20132013 辽宁）辽宁）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_14在长为 10 cm 的线段 AB 上任取一点 C，并以线段 AC 为边作正方形，这个正方形的面积介于 25 cm2与 49 cm2之间的概率为_15.（20132013 全国）全国）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在1下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为2，各局比赛的结果相互独立，第
19、1 局甲当裁判（1）求第 4 局甲当裁判的概率；.（2）X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求 X 的数学期望16.（20132013 辽宁）辽宁）现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答（1）求张同学至少取到 1 道乙类题的概率；3（2）已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题，1 道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是5，答对每道乙类题的4概率都是5，且各题答对与否相互独立用 X 表示张同学答对题的个数，求 X 的分布列和数学期望17.（20132013 江西）江西）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队游戏规则为：以 O 为起点，再从
20、A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图 15)这 8 个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 X.若 X0 就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队（1）求小波参加学校合唱团的概率；（2）求 X 的分布列和数学期望17317AA1图 1518.（20132013 天津）天津）一个盒子里装有 7 张卡片，其中有红色卡片 4 张，编号分别为 1，2，3，4；白色卡片 3 张，编号分别为 2，3，4.从盒子中任取 4 张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）（1）求取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率；（2）在取出的 4 张卡片中，红色卡片编号的最大
21、值设为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望19.（20132013 重庆）重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球，再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下表，其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级（1）求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E(X)20.（20132013 安徽）安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责已
22、知该系共有 n 位学生，每次活动均需该系 k 位学生参加(n 和 k 都是固定的正整数)假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 k 位学生，且所发信息都能收到记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 X.（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（2）求使 P(Xm)取得最大值的整数 m.【课后作业】【课后作业】1.（20092009 江西文）江西文）甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为2.（20092009 广东文）广东文）广州
23、2010 年亚运会火炬传递在 A、B、C、D、E 五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见下表.若以 A 为起点，E 为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是A20.6B21C22D233（20092009 安徽文）安徽文）考察正方体 6 个面的中心，从中任意选 3 个点连成三角形，再把剩下的 3 个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于B16BBC奖级摸出红、蓝球个数3 红 1 蓝3 红 0 蓝2 红 1 蓝获奖金额200 元50 元10 元一等奖二等奖三等奖14Cthe138irbeinDga12regoCodrfoFD 0.EADsomen
24、thiAA4在长为 3m 的线段AB上任取一点P,则点P与线段两端点A、B的距离都大于 1m 的概率是14B.13C12D235在棱长为 2 的正方体ABCD A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于 1 的概率为6甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是A甲B 乙C 丙D丁7.（20082008 山东）山东）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为 1，2，3，18 的 18 名火炬手.若从中任选 3 人，则选出的火炬手的
25、编号能组成 3 为公差的等差数列的概率为（）A8.（20082008 江西）江西）电子钟一天显示的时间是从 00:00 到 23:59 的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为 23 的概率为（）111 CD288360480 x19.（20092009 山东理）山东理）在区间-1，1上随机取一个数 x，cos的值介于 0 到之间的概率为(222112ABCD323AB10.（20102010 湖北理）湖北理）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子向上的点数是 3”为事件 B,则事件 A，B 中至少有一件发生的概率是（）5A1211.（2
26、0092009 安徽）安徽）从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_1 12 212如图，A A,B B两点之间有 4 条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1，2，3，4.从中任取两条网线，则这两条网线通过的最大信息量之和为 5 的概率是13、（20092009 广东）广东）某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2，现要从中抽取 40 名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按 1200 编号，并按编号顺序平均分为 40 组（15 号，610 号，19620012B112C6 D1611B51681180方差s平均环数x2
27、8.63.58.93.58.92.18.25.61B2C11D3064087C1293D4).A A3 34 4B B图图 3 3somenthi号）.若第 5 组抽出的号码为 22，则第 8 组抽出的号码应是用分层抽样方法，则 40 岁以下年龄段应抽取人.，若14某校高三级要从3名男生a、b、c和2名女生d、e中任选3名代表参加学校的演讲比赛.（1）求男生a被选中的概率；（2）求男生a和女生d至少有一人被选中的概率.15.（20132013 湖南湖南）某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物，根据历年的种植经验
28、，一株该种作物的年收获量 Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示：（这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米）.（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望16某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人视觉听觉偏低听觉记忆能力偏低中等偏高超常0120（1）试确定a、b的值；（2）从 40 人中任意抽取
29、 1 人，求此人听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的概率17.（20132013 新课标全国卷）新课标全国卷）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n4.再从这批产品中任取 1 件作检验；若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过1检验假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为2，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品的检验费用为 1
30、00 元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求 X 的分布列及数学期望18.（20132013 山东）山东）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜12的概率是2外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是3.假设各局比赛结果相互独立（1）分别求甲队以 30，31，32 胜利的概率；由于部分数据丢失，只知道从这 40 位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为d25AhlltXY151248345442ingsi视觉记忆能力中等782偏高5301超常1ntheab11irb
31、10eingaregoodrfosomenthi（2）若比赛结果为 30 或 31，则胜利方得 3 分、对方得 0 分；若比赛结果为 32，则胜利方得 2 分、对方得 1分求乙队得分 X 的分布列及数学期望19.（20132013 陕西）陕西）在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在3 至 5 号中随机选 2 名观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手（1）求观众甲选中 3 号歌手且观
32、众乙未选中 3 号歌手的概率；（2）X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求 X 的分布列及数学期望20.（20132013 新课标全国卷）新课标全国卷）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图 14 所示，经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品，以 X(单位：t，100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润（1）将 T 表示为 X 的函数；T（2）根据直方图估计利润 T
33、不少于 57 000 元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量 X100，110)，则取 X105，且 X105 的概率等于需求量落入100，110)的频率)，求 T 的数学期望gsintheirbeingaregoodrfosome11nthi12、313、10114、5194815、；52620、n2【参考答案】【课堂练习】1-9、AABDDBBBD10、0.24；0.7611、826X 的分布列为：16、；428577X 的分布列为17、；718、；随机变量 X 的分布列是X 的数
34、学期望 E(X)13523537475.18X0105035；X 的分布19、642P7351056421从而有 E(X)071035501052001054(元)2knk2（k1）2；2kn21E(X)01251125212531252.XP52211423EX(2)14(1)14071714.XP1421135417243504XP361281252571253361251251514120271273272001105447列为12、【课后作业】1-10、DBABBCBCAD11、0.7513、37；2014、2915、；分布列为Y512P15所求的数学期望为 E(Y)511548154
35、5542516、a 6，b 6；364；X 的分布列为17、X400500111P161611118、甲队以 30 胜利、以 31 胜利的概率都为27，以 32 胜利的概率为27X 的分布列为1339；51001627160475E(X)40016500168004506.25.84841524525442152134649042546.80014113404XP1427442427373327E(X)0271272273279.415；19、XP120754202337533318751814028X 的数学期望 EX0751752753757515.800X39 000，100 X 130，65 000，130 X 150.20、；0.7；59 400)13