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1、南京邮电大学应用数学研究生真题,尤其是12,13,14年的数分高代真. 南京邮电大学应用数学研究生真题，尤其是12,13,14 年的数分高代真. 一、选择题 （1 ）设函数 在（-,+）连续，其2 阶导函数 的图形如下图所示，则 f (x ) f (x ) 曲线y f (x ) 的拐点个数为（ ） （A ）0 （B ）1 (C) 2 ( D) 3 1 2x ? 1? x x （2）设 =+ ? 是二阶常系数非齐次线性微分方程 + + 的一个特解， y e ?x ?e y ay by ce 2 ? 3 ? 则： (A)a =?3,b =?1,c =?1. (B)a 3,b 2,c ?1. (C)
2、a =?3,b 2,c 1. (D)a 3,b 2,c 1. (3)若级数 a 条件收敛，则x 为幂级数 na x ?1 n的： n ( ) n n 1 (A)收敛点，收敛点. (B)收敛点，发散点. (C)发散点，收敛点. 3与x 3依次n 1 (D)发散点，发散点. （4 ）设D 是第一象限中曲线2xy 1,4xy 1与直线y x ,y 3x 围成的平面区域， 函数f (x ,y ) 在D 上连续，则f (x ,y )dxdy D - Page 2- 1 （A ）3 d sin 2 f (r cos,r sin)rdr 3 d sin 2 f (r cos,r sin)rdr 1 1 B
3、）1 （ 4 4 2sin 2 2sin 2 1 1 (C) 3 d sin 2 f (r cos,r sin)dr 2 f (r cos,r sin)dr 1 1 4 2sin 2 2sin 2 1 1 1 ? ? ? ? ? 1,2 （5 ）设矩阵 ，集合 ，则线性方程组 A 1 2 a ( D) 3 1 ? ? ? ? b d sin 4 ，若 d Ax b ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 1 4 a d ? ? ? ? 有无穷多个解的充分必要条件为 （A ）a ?,d ? （B ）a ?,d ?（C ）a ?,d ?（D ）a ?,d ? （6 ）设二次型 在正交变换x Py
4、下的标准形为2y 2 +y 2 ?y 2 ，其中 f 1 2 3 1 2 3 (x ,x ,x ) ，若 ，则 在正交变换x Qy 下的标准形为 P (e ,e ,e ) Q (e ,=?e ,e ) f (x ,x ,x ) 1 2 3 1 3 2 1 2 3 2y 2 ?y 2 +y 2 2y 2 +y 2 ?y 2 2y 2 ?y 2 ?y 2 2y 2 +y 2 +y 2 （A ） 1 2 3 （B ） 1 2 3 （C ） 1 2 3 （D ） 1 2 3 A,B （7 ）若 为任意两个随机事件，则 P(AB) P(AB) P(A)P(B) （A （B ） ( ) P(A) +P(B
5、) P A +P B ( P(AB) （ C ） P AB （D ） 2 P(A)P(B) ） ( ) ) 2 (8) 设 随 机 变 量 X,Y 不相关， 且 EX 2,EY 1,DX 3,则E ?X (X +Y ?2)? (A) ?3 (B)3 (C) ?5 二、填空题 ln cosx （9 ） lim 2 x0 x sinx 2 ( +x )dx （10 ）- 1+cosx 2 （11 ）若函数z z(x, y ) 由方程ex x 2 确定，则dz (0,1) . (D)5 +xyz+x +cos - Page 3- （12 ）设 是由平面x +y +z 所围成的空间区域，则 ? (x
6、2y 3z )dxdydz + + ? 2 0 ? 0 -1 2 ? 0 ? ? ? 0 0 ? 2 （13 ） 阶行列式0 0 n 2 2 ? 2 -1 1与三个坐标平面 2 ? ? （14 ）设二维随机变量 (X ,Y ) 服从正态分布 N (1,0;1,1;0) ，则 P(XY ?Y 三、解答题 （15 ）设函数 ， 3 ，若 与 在x 0 f (x ) x =+a ln(1+x ) +bx ?sinx g (x) kx f (x ) g (x) a b k 是等价无穷小，求 ， ，值。 （16 ）设函数f (x ) 在定义域 上的导数大于零，若对任意的x I ，曲线 I 0 y f (
7、x ) (x , f (x ) x x x 在点 0 0 处的切线与直线 0 及 轴所围成的区域的面积为4 ， 且f (0) 2,求f (x ) 的表达式。 （17 ）已知函数 ，曲线 2 2 ，求 在曲线 f (x,y ) x + + C :x +y +xy 3 y f (x,y ) C 上的最大方向导数. （18 ）（本题满分10 分） （）设函数 可导，利用导数定义证明 u(x),v(x) u(x)v(x)=u (x)v(x)+u(x)v(x) u (x),u (x).u (x) f (x ) u (x )u (x ).u xy (x ), （）设函数1 2 n 可导， 1 2 n 写出
8、f (x ) 的求导公式. （19 ）（本题满分10 分） - Page 4- ? 2 2 z 2 =?x ?y , ? B(0,? 2,0) 已知曲线 的方程为 为 ，终点为 L ? z x, A(0, 2,0) 起点 ， ? 计算曲线积分I L (y =+z)dx +(z2 ?x2 +y )dy +(x2 +y2 )dz （20 ）（本题满分11 分） 3 设向量组 是 3 维向量空间基， ， , ? =+2k 2 1 2 3 1 3 2 2 =+(k +1) 。 3 1 3 3 （）证明向量组, 是 的一个基； ? 1 2 3 的一个， 2 1 （）当k 为何值时，存在非零向量在基,与基
9、 , , 下的坐标相同， 1 2 3 并求出所有的 。 （21 ）（本题满分11 分） ?0 2 -3? 0? ? ? 设矩阵A ?-1 ?0 b 0 ?. ?1 -2 a ?1? ? 3 ?3 1 2 3 ?1 -2 ? ?相似于矩阵B ?0 3 ? （）求 的值. a,b （）求可逆矩阵 ，使得 ?1 为对角阵. P P AP （22 ）（本题满分11 分） 设随机变量 的概率密度为 X ?-x 2 ln 2 x 0 f (x )=? ? 0 x 0 对 进行独立重复的观测，直到第2 个大于3 的观测值出现时停止，记 为观 X Y 测次数. （）求 的概率分布； Y - Page 5- （）求 . EY （23 ）（本题满分11 分） 设总体X 的概率密度为 ? 1 x 1 ? f (x ;)= 1 ? ?0 其他 X ，X .X 其中 为未知参数， 1 2 n 为来自该总体的简单随机样本. （）求 的矩估计. （）求 的最大似然估计. ?0 其他 X ，X .X 其中 为未知参数， 1 2 n 为来自该总体的简单随机样本. （）求 的矩估计. （）求 的最大似然估计. 第 14 页 共 14 页