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1、【高中数学】数学平面解析几何复习资料【高中数学】数学平面解析几何复习资料一、选择题一、选择题rrrrrrrrrrrrr1已知平面向量a,b,c满足a b ab 2,a c b 2c 1，则b c的最小值为（）A7 52B7 32C5-23D3 12【答案】A【解析】【分析】rrrrr，3，b 2，根据题意，易知a与b的夹角为60，设a=10，c x,y，由rrrr1a c b 2c 1，可得x2 y22x3y 0，所以原问题等价于，圆210之间距离的最小值，利用圆心和点2，0 0上一动点与点2，2的距离与半径的差，即可求出结果.【详解】rrrrrrrra b ab 2a=1，3因为，所以a与b
2、的夹角为60，设，b 2，0，rc x,y，x2 y22x3yrrrr122因为a c b 2c 1，所以x y 2x3y 0，2rr2又b c x2 y2，所以原问题等价于，圆x y 2x3y值，2210之间距离的最小 0上一动点与点2，23151，0与圆又圆x y 2x3y 0的圆心坐标为，半径为，所以点2，22222x2 y22x3y21 0上一动点距离的最小值为2357 52.21222故选：A.【点睛】本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题x22如图，F1,F2是椭圆C1:y21与双曲线C2的公共焦点，A,B分别是C1,C2
3、在第4二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A2【答案】D【解析】【分析】【详解】B3C32D62试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF2|AF1|4，|AF2|AF1|2a(其中 2a 为双曲线的长轴长)，|AF2|a2，|AF1|2a，又四边形 AF1BF2是矩形，|AF1|2|AF2|2|F1F2|2(23)2，a2，e考点：椭圆的几何性质36.223已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD的四个顶点，其中AB 4，BC CD AD 2，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（）A34B32C3D2 3【答案】B【解析】【分析】不妨设抛物线标准方程x2 2py(
4、p 0)，将条件转化为坐标，代入解出p，即得结果.【详解】不妨设抛物线标准方程x2 2py(p 0)，可设C(1,m),B(2,m 3)，31 2pm33 2p 3 p 则，即抛物线的焦点到其准线的距离是，选24 2p(m3)2B.【点睛】本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.x2y24已知双曲线C:221(a 0,b 0)，过其右焦点 F 作渐近线的垂线，垂足为B，交 yab轴于点 C，交另一条渐近线于点A，并且满足点 C 位于 A，B 之间.已知 O 为原点，且|FB|5（）OA a，则|FC|3A45B23C34D13【答案】A【解析】【分析】设出直线AB的方程，联
5、立直线AB方程和渐近线方程，由此求得A,B两点的坐标，以及求得C点的坐标，根据OA【详解】由于双曲线渐近线为y|FB|5a列方程，求得a,b,c的关系，由此求得的值.|FC|3bax，不妨设直线AB的斜率为，故直线AB的方程为abay xc a2abaac by x c.令x 0，得C0,.由解得B,，.由bbccby xaay xca2cabc 5bA,OA a得解得，由2222b3a ba by xaa2c abc b12522222a 4b4a b 0或a，化简得，解得2222a29a ba b22bbb1 2.由于C位于A,B之间，故舍去，所以 2，即b2a.故a2aaab|FB|yB
6、b2b24a24c22.|FC|yCacca b2a24a25b故选：A.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查直线和直线相交所得交点坐标的求法，考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.x2y25已知双曲线21(b 0)的左右焦点分别为F1,F2，其一条渐近线方程为2buuu r uuu u ry x，点P(3,y0)在该双曲线上，则PF1PF2=()A12【答案】C【解析】由题知，故，B2C0D4uuu r uuu u rCPF1PF2(2 3,1)(2 3,1)3410，故选择 x2y26已知F1、F2分别为双曲线1的左、右焦点，M为双曲线右
7、支上一点且满足46uuuu v uuuu vMF1MF20，若直线MF2与双曲线的另一个交点为N，则MF1N的面积为（）A12【答案】C【解析】【分析】B12 2C24D24 2MF1 MF2，可求出m 6，n 2，再设MF1 m，MF2 n，根据双曲线的定义和设NF2t，则NF1 4t根据勾股定理求出t 6即可求出三角形的面积.【详解】解：设MF1 m，MF2 n，x2y2F1、F2分别为双曲线1的左、右焦点，46mn 2a 4，F1F2 2c 2 10.uuuu v uuuu vMF，1MF20MF1 MF2，m2 n2 4c2 40，mn m2n22mn，即2mn 4016 24，mn1
8、2，解得m 6，n 2，设NF2t，则NF1 2at 4t，在RtNMF1中可得4tt 262，解得t 6，MN 628，MF1N的面积S 故选 C22211MN MF186 24.22【点睛】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题x2y27已知双曲线C:1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两124条渐近线的交点分别为P,Q若POQ为直角三角形，则PQ（）A2【答案】C【解析】【分析】由题意不妨假设P点在第一象限、Q点在第四象限，OPQ 90，解三角形即可.【详解】不妨假设P点在第一象限、Q点在第四象限，OPQ 90.则易知POF
9、 30，B4C6D8OF 4，OP 2 3，在n POQ中，POQ 60，OPQ 90，OP 2 3PQ 3 OP 6.故选 C【点睛】本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出P，Q位置，以及VPOQ的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.8已知P是双曲线C上一点，F1,F2分别是C的左、右焦点，若PF1F2是一个三边长成等差数列的直角三角形，则双曲线C的离心率的最小值为（）A2C4【答案】A【解析】【分析】设直角三角形三边分别为3x,4x,5x，分2c 3x，2c 4x和2c 5x三种情况考虑，即可算得双曲线离心率的最小值.【详解】如图，易知该直角三角形三边可设为3x,4x,5x.B3
10、D5若2c 3x，则2a 5x4x x，得e 2c 3；2a2c 2；2a若2c 4x，则2a 5x3x 2x，得e 若2c 5x，则2a 4x3x x，得e 故选：A【点睛】2c 5.2a本题主要考查双曲线的离心率的求法，体现了分类讨论的数学思想.y2x29已知双曲线221(a0，b0)的左顶点与抛物线 y22px(p0)的焦点的距离为 4，ba且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为()A25【答案】A【解析】【分析】【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y22px
11、的准线方程为x 则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（-2，0），即 a=2；点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y 由双曲线的性质，可得 b=1；则c B23C43D45p，则 p=4，21x，25，则焦距为 2c=25；故选 A10已知抛物线 y24x 上的点 P 到抛物线的准线的距离为d1，到直线 3x4y90 的距离为 d2，则 d1d2的最小值是（）5126 B C2 D555【答案】A【解析】A试题分析：根据抛物线的定义可知抛物线y 4x上的点P到抛物线的焦点距离PF d1,所以d1d2 MF d2,其最小值为F1,0到直线3x4y 9 0的距离，由点到直
12、线的2距离公式可知d1d2min MF d2考点：抛物线定义的应用.min39324212，故选 A.511已知F1,F2分别双曲线3x2 y2 3a2(a 0)的左右焦点，是P抛物线y2 8ax与双曲线的一个交点，若PF1 PF212，则抛物线的准线方程为（）Ax 4【答案】C【解析】Bx 3Cx 2Dx 1x2y22222由题得双曲线的方程为221，所以c a 3a 4a,c 2a.a3a所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.PF1 PF212,PF2 6a.由题得PF1 PF2 2aa(舍）或x 3a.3由抛物线的定义得 6-a=3a-(-2a),所以 a=1,所以抛物线的准线方程为x=
13、-2，故选 C.联立双曲线的方程和抛物线的方程得3x 8ax3a 0,x 22点睛：本题的难点在于如何找到关于a 的方程，本题利用的就是抛物线的定义得到6-a=3a-(-2a).在解析几何里，看到曲线上的点到焦点的距离，要联想到圆锥曲线的定义解题,这个技巧大家要理解掌握并做到灵活运用.x2y212已知双曲线C:221(a 0,b 0)，点Px0,y0是直线bx ay 4a 0上任ab意一点，若圆x x0y y01与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）A1,2【答案】B【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0与直线bx ay 0的距离d，根据圆
14、x x0yy01与双曲线C的右支没有公共点，可得d 1，解得即可【详解】2222B1,4C2,D4,bx2y2由题意，双曲线C:221(a 0,b 0)的一条渐近线方程为y x，即aabbx ay 0，Px0,y0是直线bx ay 4a 0上任意一点，则直线bx ay 4a 0与直线bx ay 0的距离d 224aa2b24a，c圆x x0yy01与双曲线C的右支没有公共点，则d 1，4ac1，即e 4，又e1ca故e的取值范围为1,4，故选：B【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C的右支没有公共点得出d 1是解答的关键，着重考查了推
15、理与运算能力，属于基础题x2y213已知椭圆221(a b 0)的焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，abAB F1F2于F2，AB 4，F1F2 2 3，则椭圆方程为（）x2A y213【答案】C【解析】【分析】x2y2B132x2y2C196x2y2D11292b2利用椭圆的性质，根据AB 4，F1F2 2 3可得c 3，4，求解a，b然后a推出椭圆方程【详解】x2y2椭圆22（的焦点分别为F1，F2，点 A，B 在椭圆上，1 a b 0）ab2b2AB F1F2于F2，AB 4，F3，4，1F2 2 3，可得c ac2 a2b2，解得a 3，b 6，x2y2所以所求椭圆方程为：1，故
16、选 C96【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查x2y214已知双曲线221a 0,b 0的左右焦点分别为F1,F2,M为双曲线上一点,若abcosF1MF21,MF1 2 MF2,则此双曲线渐近线方程为()4Ay 3x【答案】A【解析】【分析】By 3x3Cy xDy 2x因为M为双曲线上一点,可得MF1 MF2 2a,在F1MF2使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案.【详解】22xyQ双曲线221a 0,b 0的左右焦点分别为F1,F2,M为双曲线上一点abMF1 MF2 2a,解得:MF1 4a,MF2 2aMF1 2 MF2在F1MF2中,根据余弦
17、定理可得:222F1F2 MF1 MF22 MF1 MF2cosF1MF2可得:(2c)(4a)(2a)24a2a化简可得:c 2a由双曲线性质可得:b2 c2a2 4a2a2 3a2可得:b 3a22214Q双曲线渐近线方程为:y bxa则双曲线渐近线方程为:y 3x故选:A.【点睛】本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.x2y215已知F1F2分别为双曲线221a 0,b 0的左、右焦点，P为双曲线上一ab点，PF2与x轴垂直，PF1F2 30，且焦距为2 3，则双曲线的渐近线方程为（）Ay 3x【答案】BBy 2x
18、Cy 2xDy 3x【解析】【分析】2b先求出c的值，再求出点P的坐标，可得PF2，再由已知求得PF1，然后根据双曲a线的定义可得【详解】b的值，则答案可求a解：由题意，2c 2 3，解得c 3，F2c,0，设Pc,y，x2y2b2221，解得y ，aabb2PF2，aPF1F2 30，2b2PF1 2 PF2，ab2由双曲线定义可得：PF1 PF2 2a，a则2a2 b2，即b2a双曲线的渐近线方程为y 2x故选：B【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，难度一般.求解双曲线的渐近线方程，可通过找到a,b,c中任意两个量的倍数关系进行求解.16O为坐标原点，F为抛物线C:y2 4x的焦点，P
19、为C上一点，若PF 4，则VPOF的面积为A2【答案】B【解析】【分析】B3C2D32由抛物线的标准方程y 4x可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出P(x,y),由 PF=4 以及抛物线的定义列式可得x (1)4,即x 3,再代入抛物线方程可得点P 的纵坐标,再由三角形的面积公式S【详解】由y2 4x可得抛物线的焦点 F(1,0),准线方程为x 1,如图:过点 P 作准线x 1的垂线,垂足为M,根据抛物线的定义可知 PM=PF=4,2设P(x,y),则x (1)4,解得x 3,将x 3代入y 4x可得y 2 3,1|y|OF可得.2所以POF的面积为故选 B.11|y|OF=2 313.22【
20、点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是利用抛物线的定义求P 点的坐标;利用 OF 为三角形的底,点 P 的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.17双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A，B，C且刚好三点共线，已知AB34海里，AC 20海里，现以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建系.现根据船P接收到C点与A点发x27出的电磁波的时间
21、差计算出距离差，得知船P在双曲线y21的左支上，根3664据船P接收到A台和B台电磁波的时间差，计算出船P到B发射台的距离比到A发射台的距离远 30 海里，则点P的坐标（单位：海里）为（）2A907,32 117B1357,32 2732 17,C3【答案】B【解析】【分析】D45,16 2x2y2设由船P到B台和到A台的距离差确定的双曲线方程为221x a，根据双曲线ab的定义得出a15，再得出由船P到B台和到A台的距离差所确定的双曲线为2x2y2x27y1x 15，与双曲线1联立，即可得出点P坐标.225643664【详解】2x2y2设由船P到B台和到A台的距离差确定的双曲线方程为221x
22、 aab由于船P到B台和到A台的距离差为 30 海里，故a15，又c=17，故b 8x2y2故由船P到B台和到A台的距离差所确定的双曲线为1x 1522564x272y21x 2113532 23664P联立，解得7,722yx1 x 1522564故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的应用，属于中档题.18椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经x2y2过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：1，169点 A、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点 A 时，小球经过的最短路程是（
23、）.A20C16【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的光学性质可知，小球从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹到B 点继续前行碰椭圆壁后回到 A 点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，进而根据椭圆的定义可求得答案【详解】依题意可知小球经两次椭圆壁后反弹后回到A 点，根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=44=16故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的应用解题的关键是利用了椭圆的第一定义,是基础题.B18D以上均有可能19如图所示，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F/面A1BE，则F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是(
24、)Aa【答案】D【解析】【分析】Ba2C2aD2a2设H，I分别为CC1、C1D1边上的中点，由面面平行的性质可得F落在线段HI上，再求HI的长度即可.【详解】解：设G，H，I分别为CD、CC1、C1D1边上的中点，则ABEG四点共面，且平面A1BGE/平面B1HI，又Q B1F/面A1BE，F落在线段HI上，Q正方体ABCD A1B1C1D1中的棱长为a，12HI CD1a，22即F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是故选D2a2【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.x2y220已知直线y kxk 0与双曲线221a 0,b 0交于A,B两点，以AB为ab直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为A2【答案】D【解析】【分析】通过双曲线和圆的对称性，将ABF的面积转化为FBF的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立a与b的关系，从而推导出离心率.【详解】由题意可得图像如下图所示：F为双曲线的左焦点B3C2D5Q AB为圆的直径AFB 90o根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF为矩形SABF又SFBF1SAFBF SFBF2b222，可得：c2 5a2 b 4aotan45e2 5 e 5本题正确选项：D【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于a,c的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.