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1、新状元教育罗老师专用新状元教育罗老师专用第 1 讲集合【课标要求】【课标要求】1集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用 Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念
2、的作用【要点精讲】【要点精讲】1集合：某些指定的对象集在一起成为集合（1）集合中的对象称元素，若 a 是集合 A 的元素，记作a A；若 b 不是集合 A 的元素，记作b A；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的
3、元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作 N；*正整数集，记作 N 或 N+；整数集，记作 Z；有理数集，记作 Q；实数集，记作 R。2集合的包含关系：（1）集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集（或 B 包
4、含 A），记作 AB（或A B）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若 AB 且 BA，则称 A 等于 B，记作 A=B；若 AB 且 AB，则称 A 是 B 的真子集，记作 AB；（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若 AB，BC，则 AC；4）若集合 A是 n 个元素的集合，则集合A 有 2n个子集（其中 2n1 个真子集）；3全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；第 1 页 共 13 页新状元教育罗老师专用新状元教育罗老师专用（2）若 S 是一个集合，AS，则，CS=x|xS且x A称 S 中子集 A 的补集；（3）简单性质：1）CS(CS
5、)=A；2）CSS=，CS=S4交集与并集：（1）一般地，由属于集合A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与 B 的交集。交集A B x|x A且xB。（2）一般地，由所有属于集合A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合A 与 B的并集。并集A B x|x A或xB注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合 Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。5集合的简单性质：（1）A A A,A ,A B B A;（2）A A
6、,A B B A;（3）(A B)(A B);（4）A B A B A;A B A B B；（5）CS（AB）=（CSA）（CSB），CS（AB）=（CSA）（CSB）。四四【典例解析】【典例解析】题型 1：集合的概念(2009 湖南卷理)某班共 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱兵乓球运动，8 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12_答案：12解析设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有(15 x)人，只喜爱乒乓球的有(10 x)人，由此可得(15 x)(10 x)x8 30，解得x 3，所以15 x 12，即所求人数为 12 人。例 1（2
7、009 广东卷理）已知全集U R，集合M x 2 x12和N x x 2k 1,k 1,2,的关系的韦恩（Venn）图如图 1 所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()第 2 页 共 13 页新状元教育罗老师专用新状元教育罗老师专用A.3 个 B.2个C.1 个 D.无穷多个答案 B解析由M x 2 x12得1 x 3，则M N 1,3，有 2 个，选 B.2例 2(2009 山东卷理)集合A0,2,a,B 1,a,若AB 0,1,2,4,16,则a的值为A.0 B.1 C.2 D.4答案 D2()a216解析A0,2,a,B 1,a,AB 0,1,2,4,16a 4,故选 D.a 4【命题立
8、意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.题型 2：集合的性质2例 3(2009 山东卷理)集合A0,2,a,B 1,a,若AB 0,1,2,4,16,则a的值为A.0 B.1 C.2 D.4答案 D2()a216解析A0,2,a,B 1,a,AB 0,1,2,4,16a 4,故选 D.a 4【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.随堂练习1.(广东地区 2008 年 01 月份期末试题汇编)设全集 U=R，A=xN1x10，B=xR 2x+x6=0，则下图中阴影表示的集合为（）A2B3C
9、3，2 D2，32.已知集合 A=y|y-(a+a+1)y+a(a+1)0,B=y|y-6y+80，若2222AB，则实数 a 的取值范围为（）第 3 页 共 13 页新状元教育罗老师专用新状元教育罗老师专用分析分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想 本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答解解：由题知可解得 A=y|ya2+1 或 ya,B=y|2y4,
10、我们不妨先考虑当AB 时 a 的范围如图a 2a 2由2，得a 3或a 3a 1 4a24 a2+1a 3或3 a 2.即 AB 时 a 的范围为a 3或3 a 2.而 AB 时 a 的范围显然是其补集,从而所求范围为a|a 2或3 a 3.评注评注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”例 4 已知全集S 1,3,x3 x22x，A=1,2x1如果CSA 0，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x，若不存在，说明理由解：CSA 0；0S且0 A，即x x 2x0，解得x1 0,x2 1,x3 2当x 0时，2x1 1，为 A
11、 中元素；当x 1时，2x 1 3S当x 2时，2x1 3S这样的实数 x 存在，是x 1或x 2。另法：CSA 00S且0 A，3 Ax x 2x0 且2x1 3x 1或x 2。点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当x 0时，3232第 4 页 共 13 页新状元教育罗老师专用新状元教育罗老师专用不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号CSA 0是两层含义：2x1 1”0S且0 A。变式题：已知集合Am,md,m2d,B m,mq,mq2，其中m 0,且A B,求q的值。解：由A B可知，m d mqm d mq2（1），或（2）2m 2d mqm 2d m
12、q解（1）得q 1，解（2）得q 1,或q 1，2又因为当q 1时，m mq mq2与题意不符，所以，q 1。2题型 3：集合的运算例 5(2008 年河南省上蔡一中高三月考)已知函数f(x)x1的定义域集合是 A,函数x2g(x)lgx2(2a1)xa2a的定义域集合是 B（1）求集合 A、B（2）若 AB=B,求实数a的取值范围解解（1）Ax|x 1或x 2Bx|x a或x a1a 1（2）由 ABB 得 AB，因此a1 2所以1 a 1,所以实数a的取值范围是1,1例6（2009 宁 夏 海 南 卷 理）已 知 集 合A 1,3,5,7,9,B 0,3,6,9,12,则AI CNB()A
13、.1,5,7 B.3,5,7 C.1,3,9 D.1,2,3第 5 页 共 13 页新状元教育罗老师专用新状元教育罗老师专用答案 A解析易有ACNB 1,5,7，选 A点评：该题考察了集合的交、补运算。题型 4：图解法解集合问题2y2xxy例 7（2009 年广西北海九中训练）已知集合 M=x|1，N=y|1，9432则MN（）AC3,3答案答案C例 8湖南省长郡中学 2008 届高三第六次月考试卷数学（理）试卷设 全 集 R，函 数f(x)lg(|x1|a1)(a 1)的 定 义 域 为A，集 合B(3,0),(2,0)D3,2B x|c osx 1，若(CA)B恰好有 2 个元素，求a的取
14、值集合。解：|x1|1a 0|x1|1aa 1时，1a 0 x a或x a 2A(,a2)(a,)cosx 1,x 2k，x 2k(kz)B x|x 2k,kz当a 1时，C Aa2,a在此区间上恰有 2 个偶数。a 1 2 a 0a a 24 a2 22、Aa1，a2，2，k)，由A中的元素构成两个相，ak(k2)，其中aiZ Z(i 1，应的集合：S(a，b)a A，b A，a b A，T(a，b)a A，b A，a b A其中(a，b)是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n若对于任意的a A，总有a A，则称集合A具有性质P第 6 页 共 13 页新状元教育罗老师专用新状元教育罗
15、老师专用（I）对任何具有性质P的集合A，证明：nk(k 1)；2（II）判断m和n的大小关系，并证明你的结论解：（I）证明：首先，由A中元素构成的有序数对(ai，aj)共有k个因为0 A，所以(ai，ai)T(i 1，2，k)；又 因 为 当a A时，a A时，a A，所 以 当(ai，aj)T时，2(aj，ai)T i，(j ，1，2k从而，集合T中元素的个数最多为12k(k 1)(k k)，22k(k 1)2（II）解：mn，证明如下：即n（1）对于(a，b)S，根据定义，a A，b A，且a b A，从而(ab，b)T如果(a，b)与(c，d)是S的不同元素，那么a c与b d中至少有一
16、个不成立，从而a b c d与b d中也至少有一个不成立故(ab，b)与(cd，d)也是T的不同元素可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即mn，（2）对于(a，b)T，根据定义，a A，b A，且a b A，从而(ab，b)S如果(a，b)与(c，d)是T的不同元素，那么a c与b d中至少有一个不成立，从而a b c d与b d中也不至少有一个不成立，故(ab，b)与(cd，d)也是S的不同元素可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即nm，由（1）（2）可知，mn例 9向50 名学生调查对 A、B 两事件的态度，有如下结果 赞成 A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的
17、比赞成 A 的多 3 人，其余的不赞成；另外，对A、B 都不赞成的学生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人。问对 A、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？解：赞成A 的人数为 503=30，赞成B 的人数为5A AX X30-X30-XU UB B33-X33-XX X+1+13 330+3=33，如上图，记50 名学生组成的集合为 U，赞成事件 A 的学生全体为集合A；赞成事件B 的学生全体为集合 B。设对事件 A、B 都赞成的学生人数为 x,则对 A、B第 7 页 共 13 页新状元教育罗老师专用新状元教育罗老师专用x+1,赞成 A 而不赞成 B 的人数为 30 x，
18、赞成 B 而不赞成 A 的人数3x为 33x。依题意(30 x)+(33x)+x+(+1)=50,解得 x=21。所以对 A、B 都赞成的同学有3都不赞成的学生人数为21 人，都不赞成的有 8 人。点评：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。例 10求1 到 200 这 200 个数中既不是 2 的倍数，又不是3 的倍数，也不是5 的倍数的自然数共有
19、多少个？解：如图先画出 Venn图，不难看出不符合条件的数共有（2002）（2003）(2005)5的倍数(20010)(2006)(20015)2的倍数(20030)1463的倍数所以，符合条件的数共有20014654（个）点评：分析 200 个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。题型 7：集合综合题例 11（1999 上海，17）设集合A=x|xa|2，B=x|2x11，若AB，求实数ax 2的取值范围。解：由|xa|2，得 a2xa+2，所以 A=x|a2xa+2。由2x1x31，得0，即2x3，所以 B=x|2x0,
20、Sn0，这时集n合 A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=10 如果 AB，4a1a x032那么据(2)的结论，AB 中至多有一个元素(x0,y0),而 x0=0,y0=12a15240，这样的(x0,y0)A,产生矛盾，故 a1=1,d=1 时 AB=，所以 a10 时，一定有 AB是不正确的。点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。变式题：解答下述问题：（）设集合A x|x 2x 2m 4 0,B x|x 0,，若A B,求实数 m的取值范围.分析：关键是准确理解A B 的具体意义，首先要从数学意义上解释A B 的意义，然后才能提出解决问题的具
21、体方法。解：22命题 方程x22x 2m 4 0至少有一个负实数根,设M m|关于x的方程x2 2x 2m 4 0两根均为非负实数,4(2m3)03则x1 x2 2 0 2 m ,2x1x2 2m 4 033M m|2 m 设全集U m|0m|m 22m的取值范围是UM=m|m-2.(解法二)命题 方程的小根x 1 2m 3 0 2m 3 1 2m 3 1 m 2.第 9 页 共 13 页新状元教育罗老师专用新状元教育罗老师专用（解法三）设f(x)x22x 4,这是开口向上的抛物线，其对称轴x 1 0，则二次函数性质知命题又等价于f(0)0 m 2,注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了
22、关键作用，否则解答没有这么简单。（）已知两个正整数集合A=a1,a2,a3,a4,B a1,a2,a3,a4,其中a1 a2 a3 a4若A B a1,a4,且a1 a410,且A B的所有元素之和是124,求集合A、B.分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用，22221 a1 a2 a3 a4,a1 a2 a3 a4,AB a1,a4,只可能有a1 a1 a11,2而a1a410,a49,a4 a4,2(1)若a2 a4,则a23,AB 1,3,a3,9,a3,81,222222a3a394 124 a35;(2)若a3
23、 a4,则a33,同样可得a25 a3,与条件矛盾,不合;综上,A1,3,5,9,B 1,9,25,81.（）设集合A(x,y)|y2 x 1,B(x,y)|4x2 2x 2y 5 0,22C(x,y)|y kx b,问是否存在自然数k,b,使(A B)C 试证明你的结论.分析：正确理解(A B)C,并转化为具体的数学问题.,必须AC 且B C,要使(A B)C (AC)(B C)y2 x 1 k2x2(2kb 1)x b21 0,由y kx b当 k=0 时，方程有解x b 1,不合题意；24k21当k 0时由1(2kb 1)4k(b 1)0得b 4k2224x2 2x 2y 5 0 4x2
24、 2(1 k)x 5 2b 0,又由y kx b20(k 1)2由2 4(1 k)16(5 2b)0得b，82第 10 页 共 13 页新状元教育罗老师专用新状元教育罗老师专用由、得b k 1201,而b,4k8b 为自然数，b=2，代入、得 k=1点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。题型 6：课标创新题例 13七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法？解：设集合 A=甲站在最左端的位置，B=甲站在最右端的位置，C=乙站在正中间的位置，D=丙站
25、在正中间的位置，则集合 A、B、C、D 的关系如图所示，765不同的排法有A74A6 4A5 2640种.点评：这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容易错，若考虑运用集合思想解答，则比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些应用，在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。例 14A 是由定义在2,4上且满足如下条件的函数(x)组成的集合：对任意x1,2，都有(2x)(1,2)；存在常数L(0 L 1)，使得对任意的x1,x21,2，都有|(2x1)(2x2)|L|x1 x2|（1）设(x)31 x,x2,4，证明：(x)A（2）设(x)A,如果存在x0(1,2),使得
26、x0(2x0),那么这样的x0是唯一的;（3）设(x)A,任取xl(1,2),令xn1(2xn),n 1,2,证明:给定正整数 k,对任意的正整数 p,成立不等式|xkl解：对任意x1,2,(2x)31 2x,x1,2,33(2x)35,133 35 2,所以(2x)(1,2)对任意的x1,x21,2，Lk1 xk|x2 x1|H。1 L|(2x1)(2x2)|x1 x2|231 2x1231 2x11 x231 x22，3 312x12312x11 x231 x2，第 11 页 共 13 页新状元教育罗老师专用新状元教育罗老师专用3 所以 02312x122312x11 x231 x2222
27、,3令312x12312x11 x21 x23=L，0 L 1，|(2x1)(2x2)|L|x1 x2|所以(x)A(1,2),x0 x0使得x0(2x0),x0(2x0)。反证法：设存在两个x0,x0则由|(2 x0)(2 x0)|L|x0 x0|，得|x0 x0|L|x0 x0|，所以L 1，矛盾，故结论成立。/x3 x2(2x2)(2x1)L x2 x1，所以xn1 xn Ln1x2 x1Lk1|xkp xk|xkp xkp1xkp1 xkp2xk1 xk|x2 x1|1 L xk p xk p1 xk p1 xk p2 xk1 xkLkp2x2 x1 Lkp3x2 x1+Lk1x2 x
28、1LK1x2 x1。1 L点评：函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新颖思维总结】思维总结】集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。1 学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、=、CSA、，等等；2强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之
29、间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；3确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决第 12 页 共 13 页新状元教育罗老师专用新状元教育罗老师专用问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。区别与、与、a 与a、与、(1,2)与1,2；AB 时，A 有两种情况：A 与 A若集合 A 中有 n(n N)个元素，则集合 A 的所有不同的子集个数为2，所有真子集的个数是21,所有非空真子集的个数是2 2区分集合中元素的形式：如A x|y x2 2x 1；B y|y x2 2x 1；nnnC(x,
30、y)|y x2 2x 1；D x|x x2 2x 1；E(x,y)|y x2 2x 1,xZ,yZ；F(x,y)|y x2 2x 1；yG z|y x2 2x 1,z。x空集是指不含任何元素的集合。0、和的区别；0 与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为A B，在讨论的时候不要遗忘了A 的情况。符号“,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力第 13 页 共 13 页