《第二讲函数的极限典型例题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二讲函数的极限典型例题.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第二讲函数的极限一内容提要1.函数在一点处的定义xx0lim f(x)A 0,0,使得x:0 x x0，有f(x)A.右极限xx0lim f(x)A 0,0,使得x:0 x x0，有f(x)A.左极限xx0lim f(x)A 0,0,使得x:0 x0 x，有f(x)A.注 1同数列极限一样，函数极限中的同样具有双重性注 2：在数列的“N”定义中，我们曾经提到过，N的的存在性（以x x0为例）存在性重在“存在”，而对于如何去找以及是否能找到最小的N无关紧要；对也是如此，只要对给定的 0，能找到某一个，能使0 x x0时，有f(x)A 即可注 3讨论函数在某点的极限，重在局部，即在此点的某个空心邻
2、域内研究f(x)是否无限趋近于A注 4lim f(x)A limf(x)limf(x)Axx0 xx0 xx0n注lim f(x)A xnxn|xn x0,且xn x0，有lim f(xn)A，称为xx0n归结原则海涅（Heine）定理它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁说明在一定条件下函数极限与数列极限可以相互转化 因此，利用定理必要性的逆否命题，可以方便地验证某些函数极限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用数列极限的现成结果来论证函数极限问题（会叙述，证明，特别充分性的证明）注 6lim f(x)A 0 0,xx0 0，x:0 x x0，有f(x)A 02函数在无穷处的极限设f(x)在a
3、,)上有定义，则lim f(x)A 0,X a,xx使得x:x X，有f(x)A 使得x:x X，有f(x)A 使得x:x X，有f(x)A lim f(x)A 0,X a,lim f(x)A 0,X a,xxx注lim f(x)A lim f(x)lim f(x)Ax1n注lim f(x)A xnxn|xn，有lim f(xn)Axn函数的有界设f(x)在a,)上有定义，若存在一常数M 0，使得xa,)，有f(x)M，则称f(x)在a,)上有界无穷大量xx0lim f(x)G 0,0,使得x:0 x x0，有f(x)G使得x:x X，有f(x)Glim f(x)G 0,X 0,xxx0 xx
4、0类似地，可定义limf(x)，limf(x)，limf(x)，limf(x)等xx0 xx0注若lim f(x)，且 0和C 0，使得x:0 x x0，有f(x)C 0，xx0则lim f(x)g(x)xx0特别的，若lim f(x)，lim g(x)A 0，则lim f(x)g(x)xx0 xx0 xx0无穷小量若lim f(x)0，则称f(x)当x x0时为无穷量xx0注 1 可将x x0改为其它逼近过程注 2lim f(x)A f(x)A(x)，其中lim(x)0由于有这种可以互逆的表xx0 xx0达关系，所以极限方法与无穷小分析方法在许多场合中可以相互取代注 3lim f(x)0，g
5、(x)在x0的某空心邻域内有界，则lim f(x)g(x)0 xx0 xx0注 4lim f(x)0，且当x足够大时，g(x)有界，则lim f(x)g(x)0 xxx0注 5 在某一极限过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零的无穷小量的倒数是无穷大量6 函数极限的性质以下以x x0为例，其他极限过程类似（1）lim f(x)A，则极限A唯一xx0（2）lim f(x)A，则,M 0，使得x:0 x x0，有f(x)Mxx0（3）lim f(x)A，lim g(x)B，且A B，则 0，使得x:0 x x0，xx0 xx0有f(x)g(x)2注这条性质称为函数的“局部保号性”在理论分析论证及判
6、定函数的性态中应用极普遍（4）lim f(x)A，lim g(x)B，且 0当0 x x0时，f(x)g(x)则xx0 xx0A B（5）lim f(x)A，lim g(x)B，则xx0 xx0 xx0limf(x)g(x)A Blim f(x)g(x)ABlimxx0 xx0f(x)A（B 0）g(x)B要求：进行运算的项数为有限项；极限为有限数7 夹逼定理若 0,使得x:0 x x0，有f(x)g(x)h(x)，且xx0 xx0 xx0lim f(x)limh(x)A，则lim g(x)A8Cauchy 收敛准则函 数f(x)在x0的 空 心 邻 域 内 极 限 存 在 0,0,使 得x,
7、x，当0 x x0，0 x x0时，有f(x)f(x)9无穷小量的比较设lim(x)0，limxx0 xx0(x)0，且limxx0(x)k，则(x)（1）当k 0时，称(x)为(x)的高阶无穷小量，记作(x)o(x)；（2）当k 时，称(x)为(x)的低阶无穷小量；（3）当k 0且k 时，称(x)为(x)的同阶无穷小量特别的，当k 1时，称(x)和(x)为等价的无穷小量，记作(x)(x)注 1上述定义中，自变量的变化过程x x0也可用x，x ，x ，x x0，x x0之一代替注 2当x 0时，常见的等价无穷小有：x2x，e 1x，ln(1 x)x，(1 x)m1mxsin xx，tanxx，
8、1cosx2注3在用等价无穷小替换计算极限时，一般都要强调限定对“乘积因式”的等价替换因为：若(x)(x)（P），则3limPf(x)f(x)(x)f(x)limlimPP(x)(x)(x)(x)或limg(x)(x)lim g(x)(x)PP(x)limg(x)(x)（P为某逼近过程）P(x)而对于非乘积因式，这样的替换可能会导致错误的结果注 4在某一极限过程中，若(x)为无穷小量，则在此极限过程，有(x)o(x)(x)10两个重要极限sin x1；（2）lim(1 x)x e（1）limx0 x0 x二、典型例题例 用定义证明下列极限：（1）limx11x(x 1)1；2x 121 2x2
9、1 xx（2）limx4例lim f(x)A，证明：xx0（1）若A 0，则有lim（2）limxx011；22f(x)A3xx0f(x)3A5例设f(x)是a,b上的严格 严格单 调函数，又若对xn(a,b（n 1,2,），有lim f(xn)f(a)，试证明：lim xn ann例函数f(x)在点x0的某邻域I内有定义，且对xn I（xn x0,xn x0），且，有lim f(xn)A，证明：lim f(x)A0 xn1 x0 xn x0（n N）nxx06例设函数f(x)，x(0,1)，满足f(x)0（x 0），且f(x)f()o(x)（x 0）则f(x)o(x)（x 0）x2问：在题设
10、条件下，是否有f(0)0？答：否如f(x)0 x 01x 0例设函数f(x)在(0,)上满足议程f(2x)f(x)，且lim f(x)A，则nf(x)A（x(0,)）7例求下列函数极限（1）limn0 x b（a 0,b 0）；axx b（2）lim（a 0,b 0）；n0ax12 exsin x（3）lim4n0 x1 ex8例求下列极限（1）limn01 tan x 1 tan x；ex1（2）lim1cos xx(1cosx)n0；ln(sin2x ex)x（3）limn0ln(x2e2x)2x9例求下列极限：etan xex（1）lim；n0sin x xcos x1cos x cos2x3cos3x（2）limn0 x210例求下列极限：xx1（1）lim；n1xln x(a x)x ax（2）limn0 x2例求下列极限：1（1）lim(cos x)n0ln(1x2)；11（2）lim(sinn11 cos)x；xx a a an0nx1x2xn（3）设ai 0（i 1,2,n），求limnx例（1）已知lim(1 x ax b)0，求常数a,b；n33ln(1（2）已知limn0f(x)sin2x 5，求limf(x)n0 x23x11213