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1、数数学学复复习习要要点点1数学学业水平复习提纲数学学业水平复习提纲第一章第一章 集合与简易逻辑集合与简易逻辑1 1、集合集合（1）、定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用。（2）、集合的表示法：列举法（）、描述法（）、图示法（）；（3）、集合的分类：有限集、无限集和空集（记作，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）；（4）、元素 a 和集合 A 之间的关系：aA，或 aA；（5）、常用数集：自然数集：N；正整数集：N；整数集：Z；整数：Z；有理数集：Q；实数集：R。2 2、子集、子集（1）、定义：A 中的任
2、何元素都属于B，则 A 叫 B 的子集；记作：AB，注意：AB 时，A 有两种情况：A与 A（2）、性质：、A A,A；、若A B,B C，则A C；、若A B,B A则 A=B；3 3、真子集、真子集（1）、定义：A 是 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于A；记作：A B；（2）、性质：、A,A；、若A B,B C，则A C；4 4、补集、补集、定义：记作：CUA x|xU,且x A；CUAA（CUA）A；、性质：ACUA，ACUA U，CU5 5、交集与并集、交集与并集（1）、交集：A B x|x A且x B性质：、A A A,A、若A B B，则B A（2）、并集：A B x|x
3、 A或x B性质：、A A A,A A、若A B B，则A B2ABAB6 6、一元二次不等式的解法：、一元二次不等式的解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）判别式：=b2-4acy二次函数 0Oy 0 0yf(x)ax2 bx c(a 0)的图象一元二次方程x1x2xOx1=x2xOx有两相异实数根有两相等实数根没有实数根Rax2 bx c 0(a 0)的根一元二次不等式x1,x2(x1 x2)x1 x2 x|x x1,x x2“”取两边b2abx|x 2aax2 bx c 0(a 0)的解集一元二次不等式x|x1 x x2“”取中间ax2 bx c 0(a 0)的解集不等式
4、解集的边界值是相应方程的解含参数的不等式 ax b xc0 恒成立问题含参不等式 ax b xc0 的解集是 R；其解答分 a0(验证 bxc0 是否恒成立)、a0（a0 且1yy=ax0a1yy=logax0a”取两边,“”取两边,“，或|F1F2|）离之差的绝对值等于定值2a的点的轨迹。（02a1)e(e1)的点的的点的轨迹。轨迹。xy1(a 0,b 0)2222第二定义第二定义平面内到定点平面内到定点 F F 和定直线和定直线 L L 的的距离之比为常数距离之比为常数 e(0e1)e(0e1)的点的点的轨迹。的轨迹。标准方程标准方程图象图象线线 L L 的的距距离离之之比比为为常常数数e
5、(e=1)e(e=1)的点的轨迹。的点的轨迹。y2 2px(p 0)x2y221(a b 0)2ababy0 xy0 xy0 xFFFFF圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质曲线曲线图象图象焦点焦点顶点顶点对称轴对称轴离心率离心率准线准线渐近线渐近线e 椭圆椭圆yF1双曲线双曲线y抛物线抛物线y0F2x22F10F2x02Fx(c,0),c a b(c,0),c a b2(a,0),(0,b)x x轴，轴，y y轴轴c(0,1)a(a,0)e c(1,)abxa(0,0)p,0)2x x轴轴e 1x p2a2x cy20由双曲线求渐进线：由双曲线求渐进线：x2y2x2y2y2x2yxba2b2
6、 1 a2b2 0 b2a2b a y axbyxy2x2x2y2x2由渐进线求双曲线：由渐进线求双曲线：y ax b ay2b2a2a2b2 0 a2b22 2、求离心率、求离心率e：方法一：用e的定义e ca；法二：得到与a、b、c有关的方程，解方程，求ca；b2b2（离心率e与a、b、c的关系可以互相表示：椭圆e 1a2，双曲线e 1a2）3 3、直线和圆锥曲线的位置关系：、直线和圆锥曲线的位置关系：（1 1）、判断直线与圆锥曲线的位置关系的方法（基本思路、判断直线与圆锥曲线的位置关系的方法（基本思路）联立直线方程圆锥曲线方程消元一元二次方程判别式（方程的思想）（2 2）、求弦长的方法：
7、、求弦长的方法：求交点，利用两点间距离公式求弦长；弦长公式l 1 k2x1 x2(1 k2)(x1 x2)2 4x1x2（消y）1 1k2|y1 y2|(1 1k2)(y1 y2)2 4 y1y2（消x）（3 3）、与弦的中点有关的问题常用“点差法”、与弦的中点有关的问题常用“点差法”：把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，作差弦的斜率与中点的关系；（弦的中点弦的中点与弦的斜率弦的斜率可以相互表示）（4 4）、与双曲线只有一个交点的直线、与双曲线只有一个交点的直线：一相切，二与渐近线平行与抛物线只有一个交点的直线与抛物线只有一个交点的直线：一相切，二与对称轴平行4 4、圆锥曲线的最值问题：、圆锥曲
8、线的最值问题：（1）、利用第二定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离求最值；（2）、结合曲线上的点的坐标，利用点到直线的距离公式转化为二次函数求最值；在y2 2px上的点常设(y2x222p,y)，在x 2py上的点常设(x,2p)（3）、利用数形结合求最值；基本思路：与直线平行，与曲线相切.（椭圆中，长轴是最长的弦；双曲线中，实轴是最短的弦。）第九章第九章 直线直线 平面平面 简单的几何体简单的几何体lB1 1、平面的性质：平面的性质：A公理 1：如果有一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。21公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点
9、的集合是一条直线。（两平面相交，只有一条交线）P l且Pl公理 3：不在同一直线上的三点确定一个平面。(强调“不共线”不共线”)（三个推论：1、直线和直线外一点，2、两条相交直线，3、两条平行直线，确定一个平面）空间图形的平面表示方法：斜二测画法（水平长不变，竖直长减半）2、两条直线的位置关系两条直线的位置关系：平行，相交，异面：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线（1）、异面直线判断方法：定义，判定：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面不经过此点的直线是异面直线（两在两不在）（2）、两条直线垂直：两条异面直线所成的角是直角，这两条直线互相垂直垂直相交（共面）、异面垂直，都叫两条直
10、线互相垂直（3）、空间平行直线：公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行。3 3、直线与平面的位置关系、直线与平面的位置关系：直线在平面内直线在平面外直线与平面相交，记作a=A直线与平面平行，记作a/a/aaAa=AaP4 4、直线与平面平行：、直线与平面平行：定义：直线和平面没有公共点。（1）、判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（线线平行（线线平行线面平行）线面平行）l,m,且l/ml/（2）、性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行（线面平行（线面平行线线平行）线线平行）l/,l,m
11、l/m5 5、两个平面平行：、两个平面平行：定义：两个平面没有公共点。（1）、判定定理：如果一个平面内有两条相交相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（线面平行（线面平行面面平行）面面平行）lm推论：如果一个平面内有两条相交相交直线分别平行与另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。（2）、性质定理：两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行（面面平行线线平行）线线平行）两个平面平行，其中一个平面内的直线，平行于另一个平面；（面面平行（面面平行线面平行）线面平行）夹在两个平行平面间的两条平行线段相等。平行间的相互转化关系：线线平行平行间的相互转化关系：线线平
12、行线面平行线面平行面面平行面面平行6 6、直线和平面垂直：、直线和平面垂直：定义：如果一条直线和一个平面相交，且和这个平面内的任意一条直线都垂直，叫22直线和平面垂直。（常用于证明线线垂直：线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直）（1）、判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线和这个平面垂直。（线线垂直线线垂直线面垂直）线面垂直）（2）、性质定理：过一点和已知平面垂直的直线只有一条，过一点和已知直线垂直的平面只有一条。如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面。线段垂直平分面内的任意一点到线段两端点距离相等。（3）正射影：自一点P 向平面引垂线，垂足 P 叫点 P
13、 在内的正射影（简称射影）斜线在平面内的射影：过斜线上斜足外一点，作平面的垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的射影。（4）三垂线定理：在平面内的一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直。逆定理：在平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线的射影垂直。aOAPaADECB7 7、两个平面垂直：、两个平面垂直：定义：平面角是直角的二面角叫直二面角，相交成直二面角的两个平面垂直。（1）、判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直线面垂直面面垂直）面面垂直）（2）、性质定理：两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一
14、个平面。（面面垂直（面面垂直线面垂直）线面垂直）垂直间的相互转化关系：线线垂直垂直间的相互转化关系：线线垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直8 8、空间向量：、空间向量：在空间具有大小和方向的量，空间任意两个向量都可用同一平面内的有向线段表示。（1）、共线向量定理：空间任意两个向量a，b（b 0），a/b a b（R）空间直线的向量参数表达式（P 在面 MAB 内的充要条件）：PBaAOP OAta或OP OAtAB (1t)OAtOB（a叫直线 AB 的方向向量）当t 11时，点 P 是线段 AB 的中点，则OP(OAOB)22O（2）、共面向量定理：两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共
15、面 p xa yb（x,yR）平面的向量表达式（P 在面 MAB 内的充要条件）：MP xMA yMB或OP OM xMA yMBO 为空间任一点，当OP xOA yOB zOC且x y z 1时，P、A、B、C 四点共面。（3）、空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个的唯一有23序实数组 x，y，z，使p xa yb zc，a，b，c叫基底，a、b、c叫基向量。如果三个向量a、b、c不共面，那么空间向量组成的集合为p|p xa yb zc,x,y,zR。（4）、两个向量的数量积：ab|a|b|cos a,b，向量a的模|a|：|a|2 aa向量a在单位
16、向量e方向的正射影是一个向量，即ae|a|cos a,e，ab ab 0（5）、共线向量或平行向量：所在的直线平行或重合的向量；直线的方向向量：和直线平行的向量；共面向量：平行于同一平面的向量；平面的法向量：和平面垂直的向量。法向量的求法：设是a (a1,a2,a3),b (b1,b2,b3)平行于平面的两个不共线向量，zan 0。n (x,y,z)是平面的法向量，则：bn 09 9、空间直角坐标系：空间直角坐标系：单位正交基底常用i,j,k来表示。（如图）22yx2i（1，0，0）j（0，1，0）k（0，0，1）其中：i 1，j 1，k 1，i j 0，ik 0，jk 0，1、空间向量的坐标
17、运算：设a (a1,a2,a3)，b (b1,b2,b3)，则（1）a b (a1b1,a2b2,a3b3)；（2）a b (a1b1,a2b2,a3b3)；（3）a(a1,a2,a3)(a1,a2,a3)（R）；（4）ab a1b1,a2b2,a3b3（即a1a2a3）；b1b2b3（5）a b ab 0 a1b1 a2b2 a3b3 0（6）ab a1b1 a2b2 a3b3；ab|a|b|cosa，b222222ab=a1b1 a2b2 a3b3a1 a2 a3b1b2b3cosa，b由此可以得出：两个向量的夹角公式两个向量的夹角公式 cosa，ba1b1 a2b2 a3b3a a a2
18、12223b b b212223当 cosa a、b b1 时，a a 与 b b 同向；当cosa a、b b1 时，a a 与 b b 反向；当cosa a、b b0 时，a ab b在空间直角坐标系中，已知点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，AB (x2 x1,y2 y1,z2 z1)A、B 两点间的距离公式两点间的距离公式：dA、B(x2 x1)2(y1 y2)2(z1 z2)224A、B 中点 M 坐标公式：OM 1010、角、角1x x2y1 y2z1 z2(OA OB)(1,)2222（1）、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个
19、角相同。（2）、最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的公式：cos cos1cos2；（3）、角的范围：、异面直线所成的角的范围：0 两条直线所成的角的范围：0 2O2两个向量所成的角的范围：0、斜线与平面所成的角的范围：0 1A2B2直线与平面所成的角的范围：0 2C、二面角的范围：0（4）、定义及求法：、异面直线所成的角：已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作aa，bb，a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）范围：(0,2求法一：作平行线；求法二：（向量）两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹
20、角的余弦。、斜线和平面所成的角：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角；斜线和平面不垂直，不平行。如果直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角是0 的角。求法一：公式cos cos1cos2；求法二：解直角三角形，斜线、斜线的射影、垂线构成直角三角形；求法三：向量法：已知PA为平面的一条斜线，n n 为平面的一个法向量，过P 作平面的垂线 PO，连结OA 则PAO为斜线 PA和平面所成的角为，则。Pn nAOBOBOAAsin|sin(OP,AP)|2|n PA|cos OP,AP|cos n,AP|n|PA|、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，直线叫二面角的棱
21、；二面角的平面角：垂直于二面角的棱，且与两个半平面的交线所成的角。求法一：几何法：一作二证三计算.利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角，再解直角三角形；25求法一：向量法：二面角的两个半平面的法向量所成的角（或其补角）n n1 1和 n n2 2分别为平面和的法向量，记二面角l 的大小为，则An1,n2或n1,n2(依据两平面法向量的方向而定)nOn2，总有|cos|cosn1,n2|=|n1n2|n1|n2|AB若该二面角为锐二面角 则 arccosl|n1n2|n1|n2|AA若二面角l 为钝二面角则arccos1111、距离、距离（满足最小值原理）|n1n2|OB|n1|n2|（1）
22、、点到平面的距离：一点到它在平面内的正射影的距离；求法一：解直角三角形；求法二：等积法，利用体积相等；求法三：向量法：如图点P 为平面外一点，点 A 为平面内的任一点，平面的法向量为 n,n,过点 P 作平面的垂线 PO，记 PA和平面所成的角为，则点 P 到平面的距离d|PO|PA|sin|PA|n nPOA|n PA|n PA|n|PA|n|（2）、直线到平行平面的距离：直线上任一点到与它平行的平面的距离；求法：转化为点到平面的距离求。（3）、两个平行平面的距离：两个平行平面的共垂线段的长度；求法：转化为点到平面的距离来求。（4）、异面直线的距离：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分；
23、（公垂线是唯一的，必须垂直相交）求法一：解直角三角形；求法二：异面直线上任意两点的距离公式：l d m n 2mncos求法三：向量法：先求两条异面直线的一个公共法向量，再求两条异面直线上两点的连线在公共法向量上2222的射影长。设 E、F 分别是两异面直线上的点，n是公共法向量，则异面直线之间的距离d EF nn1212、棱柱、棱柱（1）、定义：有两个面互相平行，其余相邻两个面的交线互相平行的多面体叫棱柱。斜棱柱（侧棱不垂直底面）直棱柱（侧棱垂直底面）正棱柱（底面是正多边形的直棱柱）（2）、性质：、棱柱的侧面是平行四边形，所有侧棱都相等；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的各个侧面
24、都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。26cba、棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形。（3）、平行六面体直平行六面体长方体正方体，平行六面体四棱柱、平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；、长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和；l a b c、正方体的对角线长l 1313、棱锥、棱锥（1）、定义：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫棱锥；底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥。PC22223a，正方体的面对角线可构成一个正四面体（如图）。ShVh（2）、性质：、棱锥被平行于底面的平面所截，则
25、112,113；中截面。AS2h2V2h2、正棱锥各侧棱相等，斜高相等，各侧面是全等的等腰三角形；、正棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成直角三角形，高、侧棱和侧棱在底面的射影组成直角三角形。1414、正多面体：、正多面体：每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点都有相同的棱数。正多边形正多边形正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体顶点数顶点数V V面面 数数 F F48620124681220棱棱 数数 E E612123020以各面的中心为顶点的正多面体以各面的中心为顶点的正多面体四八六二十十二A23OBCOB欧拉公式：V+F-E=21515、球、球：（1）、定义：与顶点的距离等于或小
26、于定长的点的集合叫球体；与顶点的距离等于定长的点的集合叫球面；（2）、性质：、截圆：一个平面截一个球面，截面是一个圆面；圆心是球心在圆面上的射影，r ORdOrPR2d2；过球心的截圆叫大圆，过球面上任意两点的大圆有一个或无数个；不过球心的截圆叫小圆。平行于赤道的小圆叫纬线或纬圆。B、纬度：纬线上一点的球半径与赤道面所成的线面角的度数；图中：AOC,BOA都是纬度；常用O AO AOCNOAOTDC27S经度：以南北轴 SN 为棱的二面角的度数；图中：TOD,TOC都是经度；常用经度差COD AOB（3）、两点的球面距离：经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，是球面上两点的最短连线的长度。求
27、法：球心角的弧度数乘以球半径，即l R。（4）、球的体积公式：V 41R3，球的表面积公式：S 4R2，柱体V sh，锥体V sh33 mn.（每步都能完成）mn.（多步才能完成）第十章第十章 排列排列 组合组合 二项式定理二项式定理1 1、计数原理：、计数原理：分类计数原理（加法原理）N m1m2分步计数原理（乘法原理）N m1m22 2、排列排列：（1）定义：从n 个不同元素中取出 m（nm）个元素，按照一定的顺序排成一列，与顺序有关。m（2）、排列数公式：An=n(n 1)(n m 1)=n！.(n，mN N*，且m n)(n m)！nnn1nn1n；nAn An1 An（3）、全排列：
28、n 个不同元素全部取出的一个排列；An n!；An nAn1（4）、价乘：正整数 1 到 n 的连乘积；n!n(n 1)(n 2)321 n(n 1)!；0！=13 3、组合：、组合：（1）定义：从 n 个不同元素中取出 m（nm）个元素，并成一组，与顺序无关；（组合完成了排列的第一步：Anmnmmm。Cn Am）n！Anmn(n 1)(n m1)0*（2）、组合数公式：C=m=(n，mN N，且m n)；Cn1；m！(n m)！12mAm（3）组合数的两个性质：Cn=Cnmnm；Cn+Cnmm1mrrrrr1=Cn1；例如Cr Cr1 Cr2 Cn Cn1.n0n1n12n22rnrrnn4
29、 4、二项式定理、二项式定理：（1）、定理：(a b)Cna Cnab Cnab Cnab Cnb;例：(1 x)n1CnxCnx2CnxrCnxn；熟练公式的顺用和逆用。rnrr（2）、二项展开式的通项公式（第r+1 项）：Tr1 Cnab(r 0，1，2，n)，处理常数项等有关的问12rn题。（3）、二项式系数：、定义：二项展开式中的系数Cn(r 0,1,2,n)叫二项式系数；、性质：对称性：Cnmrr=Cnnm；，直线r 是函数f(r)Cn(r 0,1,2,n)的对称轴；n2n12n12）n2增减性与最大值：（当 n 为偶数时，中间一项最大：Cn；当n 为奇数时，中间两项最大：Cn Cn
30、各二项式系数和：Cn+Cn1+Cn2+Cn3+Cn4+Cnr+Cnn=2n（表示含 n 个元素的集合的所有子集的个数）。奇数项二项式系数的和偶数项二项式系数的和：Cn+Cn+Cn+Cn+Cn+Cn+Cn+Cn+=2n-1n23n（4）、多项式各项系数（赋值法）：f(x)(ax b)a0 a1x a2x a3x anx，则a0 f(0)，28n各项系数和：a0 a1 a2 a3 an f(1)，另外a0 a1 a2 a3(1)an f(1)偶数项系数和：a0 a2 a4第十一章：概率第十一章：概率：f(1)f(1)f(1)f(1)，奇数项系数和：a1 a3 a5221 1、概率（范围）、概率（范
31、围）：必然事件：P(A)=1，不可能事件：P(A)=0，随机事件：0P(A)1。2 2、等可能性事件的概率：、等可能性事件的概率：P(A)m.n3 3、互斥事件有一个发生的概率：、互斥事件有一个发生的概率：互斥事件 A，B 分别发生的概率的和P(AB)=P(A)P(B)n个互斥事件分别发生的概率的和：P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)“至 少 有 一 个 发 生”：P(AB AB AB)1 P(AB)，“至 多 有 一 个 发 生”P(AB AB AB)1 P(AB)对立事件：事件 A、B 不可能同时发生，但 A、B 中必然有一个发生；即 A、B 对立：P（A）+P(B)4 4、独立事件同时发生的概率：、独立事件同时发生的概率：独立事件 A，B 同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B).n 个独立事件同时发生的概率 P(A1 A2 An)=P(A1)P(A2)P(An)kknkn 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率Pn(k)CnP(1 P).29