《高二数学排列、组合和二项式定理小结复习 人教版171246.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学排列、组合和二项式定理小结复习 人教版171246.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！用心 爱心 专心 122 号编辑 1 高二数学排列、组合和二项式定理小结复习 人教版 一.本周教学内容：排列、组合和二项式定理小结复习 二.重点、难点：重点：1.排列、组合和二项式定理知识结构 2.分类计数原理、分步计数原理意义及它们区别和联系；排列和组合意义以及它们区别和联系；3.二项式定理内容及应用；二项式展开式的通项公式的应用。4.解排列和组合问题的基本方法 难点：1.两个原理所体现的解决问题的方法。2.分类计数原理、分步计数原理区别和联系及排列和组合区别和联系是贯穿本章内容的难点。3.克服
2、在解决排列和组合问题上的重复和遗漏情况是这部分内容的又一难点。三.复习与小结 1.知识结构 知识体系表解 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！用心 爱心 专心 122 号编辑 2 2.解题常用的几种思考方法(1)直接法：根据加法原理及乘法原理，直接把一个复杂的事件分解成为简单的排列组合问题，这种解题方法为直接法。(2)间接法：不管限定条件，全部的排列数或组合数，必含两类情况，一类是符合题意限定条件的种数，另一类不符合题意限定条件的种类，用全部种类减去不符合题意限定条件的种类可得符合题意限定条件的种类，此种方法属数学中常用的间接法。当
3、符合题意限定条件中的种类不易求，或情况多样易出错，而不符合题意条件的种类易求时，常采用此法。(3)插空法：若题目限制某些元素必“不相邻”，可将无此限制的元素进行排列，然后在它们的空格处，插入不能相邻元素，此方法叫插空法。(4)捆绑法：关于某些元素必“相邻”的问题，可把这些元素看作一个整体，当成一个元素和其它元素进行排列，然后这些元素自身再进行排列，这种方法叫做捆绑法。3.分组问题 分组问题显然属于组合问题。分组问题中情况多种多样，大体上有不均分到人，不均分不到人，均分到人，均分不到人等几种。4.二项式定理 二项式系数的性质(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。(2)
4、如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。(3)二项式系数的和为 2n，即(4)奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数的和，即 二项展开式系数的规律杨辉三角 二项展开式的系数可以由下表求出：欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！用心 爱心 专心 122 号编辑 3 其中这边上的各数都是 1，除 1 以外，每个数都等于它“肩上”两数之和。当 n 较小时，用它写出(a+b)n展开式更为方便。以上结果是由我国宋代数学家杨辉首先发现的(1261 年)，所以称为杨辉三角。关
5、于通项公式 题时通项公式应用较多，但必须注意，它是(a+b)n展开式的第 r+1 项，而 (1+)n的近似计算 在(1+)n的展开式中，当的绝对值与 1 相比很小且 n 不很大时，2项、3项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，这样就有近似计算公式：(1+)n1+n 在使用这个公式时，要注意问题对精确度的要求。【典型例题】例 1 在 1，3，5，7，9 中任取 3 个数字，0，2，4，6，8 中任取两个数字，可组成多少个不同的五位数偶数。解法一 因为零不能作首位数，所以是特殊元素，因此可以根据选零不选零为分类标准。解 第一类：五位数中不含数字零。第二类：五位数中含有数字零 欢迎
6、您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！用心 爱心 专心 122 号编辑 4 第二步：排顺序又可分为两小类：符合条件的偶数个数为 答：可组成 4560 个位偶数 解法二：间接解法 分析 从 1，3，5，7，9 中任取 3 个数字，从 0，2，4，6，答：符合条件中的五位偶数有 4560 个 例 2.某小组 6 个人排队照相留念(1)若分成两排照相，前排 2 人，后排 4 人，有多少种不同的排法？(2)若分成两排照相，前排 2 人，后排 4 人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少
7、种不同的排法？(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照相，其中有 3 名男生3 名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？分析 (1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第 36 个位子看成是第二排而已，所以实际上是 6 个元素的全排列问题。(2)先确定甲的排法，有 P21种；再确定乙的排法，有 P41种；最后确定其他人的排法，有P44种因为这是分步问题，所以用乘法原理，有 P21P41P44种不同排法。(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有 P55种不同排法然后甲、乙
8、两人之间再排队，有 P22种排法。因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有 P55P22种排法。(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有 P66种排法。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！用心 爱心 专心 122 号编辑 5 (5)采用“插入法”，把 3 个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进 4 张椅子，如_女_女_女_，再把 3 个男生放到这 4 个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了 这样男生有 P43种排法，女生有 P33种排法因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有 P43P33种排法。(6)符合条件的排法可分两
9、类：一类是乙站排头，其余 5 人任意排有 P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的 4 人中任选 1 人有 P41种排法，排尾从除乙以外的 4 人中选一人有 P41种排法，中间 4 个位置无限制有 P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有 P41P41P44种排法。解 (1)P66=720(种)(2)P21P41P44=2424=192(种)(3)P55P22=1202=240(种)(4)21P66=360(种)(5)P43P33=246=144(种)(6)P55+P41P41P44=120+4424=504(种)或法二：(淘汰法)P66-2P
10、55+P44=720-240+24=504(种)说明 (1)“相邻”问题，n 个元素排成一排，其中有 m 个元素相连 (2)“相间”问题中，若两类元素个数相同(都是 n 个)，则排列总数为 2Pn+1nPnn；若两类元素个数不同(一类 n 个，另一类 n+1 个)，则排列总数是 Pn+1n+1Pnn(3)“次序”一定问题中，n 个元素排成一行，其中有 m 个元素次序一定的排法数是 Pnn/Pmm(4)“不相邻”问题中，n 个元素排成一行，其中有 m 个元素两两不 例 3(1)从 1，2，3，12 中任选 4 个数相加，其和为奇数的共有多少种？(2)从 9 所中学选派 12 名教师组成代表团，每
11、校至少 1 人参加，问有多少种不同选派方法？(3)由 12 人组成文娱小组，其中 5 人只会唱歌，5 人只会跳舞，2 人又会唱歌又会跳舞。现从这 12 人中选派 4 人会唱歌 4 人会跳舞的去排练节目，共有多少种选法？解：(1)分两类：3 个奇数，1 个偶数，共有 C63C61种选法。1 奇，3 偶，不同选法也是C61C63种。故所求总数为 2C61C63种。(2)每校选 1 人已定，只剩 3 个名额尚须选派。分三类：3 名全从同一个学校选，共有 C91种选法；从两个学校选派 3 人，可以是甲 2 乙 1 或甲 1 乙 2，故不同选法总数为 2C92；从 3个不同学校各选 1 人，有 C93种
12、选法。故所求总数为 C91+2C92+C93。(3)关键在于 2 个既会唱歌又会跳舞的人是否被选，并且选中后，他们表演什么节目(唱歌还是跳舞)。分 6 类：这 2 人被选为唱歌人选，其他 6 人选法有 C52C54种；2 人被选为跳舞人选，也有 C52C54种选法；2 人被选，其中一人唱歌一人跳舞，共有 2C53C53种选法；2 人中只选 1 人唱歌，有 C21C53C54种选法；2 人中只选 1 人跳舞，也有 C21C53C54种选法；这 2人都没选上，那么有 C54C54种选法。故所求总数为 2C52C54+2C21C53C54+2C53C53+C54C54=525。例 4.四面体的顶点和
13、各棱中点共 10 个点，在其中取四个不共面的点，不同的取法共有多少种？分析：用直接法考虑：设四面体为 ABCD，底面 BCD 为平面分四类情况考虑：类：恰有 2 个点在内，可分两种情况：该两个点在四面体的同 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！用心 爱心 专心 122 号编辑 6 类：恰有 1 个点在内，可分两种情况：该点是棱的中点，有)1(3413 CC(种)；该点是棱的端点，有)2(3413 CC(种)类：4 个点全不在内，只有 1 种取法，由加法原理，可得：解：682730961141(种)所取 4 点是共面的情况可分为两类：
14、类：4 点不在四面体的同一个面内，可分两种情形：4 点位于相对的两条棱上，这时必然 3 点位于某棱，而另一是对棱的中点，共有 6 种取法；4 点不位于相对的棱上，这时 4 点必然全为棱的中点，且是平行四边形的顶点，共有 3 种取法。答：不同的取法共有 141 种 例 5.现有张、王、李三位教师分别到 6 个班任课，求下列情况下不同的分班法各有多少种？(1)分给张、王、李老师依次 1 个班，2 个班，3 个班；(2)每位教师都 2 个班；(3)6 个班分成 3组，两个组各 1 个班，另一组 4 个班；(4)分配给三位教师，某一人 1 个班，一个人 2 个班，一人 3 个班；(5)分配给三位教师，
15、一人 4 个班，另 2 人各 1 个班。师，又不限定老师任课的任教，每位教师都会有各种任教法，所以有顺序问题，因此，分完组的步骤完成后再完成排序的步骤，这样符合题意的不同分法种数为 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！用心 爱心 专心 122 号编辑 7 例 6.求(3-2x)9展开式中系数绝对值最大的项。其系数为 设 ak绝对值最大项为第 k+1 项，那么 因此 k=3 或 k=4。实际上 a4=-489888，a5=489888 即|a4|=|a5|=max|a1|，|a10|注 求系数最大项的方法是先写出通项公式，再设最大项为
16、第 k 项，由它大于等于左右两个系数，得出两个不等式的不等式组，解此不等式求出 k 的值。例 7.(1)求多项式(3x4-x3-2x-3)102(3x-5)4(7x3-5x-1)67展开式各项系数和。(2)多项式 x1000-x+(-x3-2x2+2)1000展开式中 x 的偶次幂各项系数和与 x 奇次幂各项系数和各是多？分析 利用多项式 f(x)的系数和等于 f(1)的性质求解。解：设 f(x)=(3x4-x3-2x-3)102(3x-5)4(7x3-5x-1)67=a0+a1x+a2x2+anxn(nN)其各项系数和即是 a0+a1+a2+an 又f(1)=a0+a2+an 欢迎您阅读并下
17、载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！用心 爱心 专心 122 号编辑 8 =(3-1-2-3)102(3-5)4(7-5-1)67=3102161=163102 所以各项系数和为 163102(2)设 f(x)=x1000-x+(-x3-2x2+2)1000=a0+a1x+a2x2+anxn f(1)=a0+a1+a2+=1 f(-1)=a0-a1+a2-a3+=3 说明 由上面的解题过程可知，上述解法适用于一般的多项式系数而与次数无关一般地，多项式 f（x）的各项系数和为 f（1），奇（偶）次项系数的和为f（1）f（-1）2（f（1）+f（-1
18、）2）例 8.（1）求 199911除以 8 的余数（2）求 0.9986的近似值，使误差小于 0.001（1）解 1999=2000-1=8250-1 199911=(8250-1)11 由上面展开式可知 199911除以 8 的余数是 7（2）分析 求 0.9986的近似值一般都是把它化为(1-0.002)6，再用二项式定理展开 解 0.9986=(1-0.002)6=1+6(-0.002)+15(-0.002)2+(-0.002)6 1+6(-0.002)=1-0.012=0.988 说明 展开式的第三项 T3=15(-0.002)2=0.000060.001第三项以后的绝对值就更小了，
19、所以从第三项起可以忽略不计。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！用心 爱心 专心 122 号编辑 9 1.nN*，则（20-n）(21-n)(100-n)等于 A80100 nA BnnA20100 C81100 nA D8120 nA 2.若 集 合fNzyxM,1,0,1,集合是 从M到N的 映 射，则 满 足0)()()(zfyfxf的映射有 A6 个 B7 个 C8 个 D9 个 3.有三张卡片，正反面分别写有 6 个不同的数字 1，3，5 和 2，4，6，将这三张卡片上的数字排成三位数，共能组成不同的三位数的个数是 A24
20、 B36 C48 D64 4.（1-x）2n-1展开式中，二项式系数最大的项是 A第 n-1 项 B第 n 项 C第 n-1 项与第 n+1 项 D第 n 项与第 n+1 项 5.设有编号为 1，2，3，4，5 的五个茶杯和编号为 1，2，3，4，5 的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有 A30 种 B31 种 C32 种 D36 种 6.从 6 名学生中，选出 4 人分别从事 A、B、C、D 四项不同的工作，若其中，甲、乙两人不能从事工作 A，则不同的选派方案共有 A96 种 B180 种 C240 种 D280 种 7.书架上有不同的数学书与不同的外
21、文书共 7 本，现取 2 本数学书，1 本外文书借给 3 位同学，每人一本，共有 72 种不同的借法，则数学书与外文书的本数分别为 A4，3 B3，4 C5，2 D2，5 8.1003)32(的展开式中，无理数项的个数是 A84 B85 C86 D87 9.4 名男生 3 名女生排成一排，若 3 名女生中有 2 名站在一起，但 3 名女生不能全排在一起，则不同的排法种数有 A2880 B3080 C3200 D3600 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！用心 爱心 专心 122 号编辑 10 10.从 1，2，3，4，5 这五个数
22、字中，任取三个组成无重复数字的三位数，但当三个数字中有 2 和 3 时，2 需排在 3 前面（不一定相邻），这样的三位数有 A9 个 B15 个 C42 个 D51 个 11.已知|,)31(72107722107aaaaxaxaxaax则 .12.把 13 个乒乓球运动员分成 3 组，一组 5 人，另两组各 4 人，但 3 个种子选手每组要选派1 人，则不同的分法有 种.13.3131312321312421CCC的值的个位数是 .14.在 1 到 100 这 100 个自然数中，选取 20 个，要求这 20 个数两两不相邻，则共有 种选法.15.已知)0,()1()(*212mNnmxmx
23、nn与的展开式中含 xn项的系数相等，求实数 m的取值范围。16.一个口袋内有 4 个不同的红球，6 个不同的白球，（1）从中任取 4 个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记 2 分，取一个白球记 1 分，从中任取 5 个球，使总分不少于 7 分的取法有多少种？17.3 名老师带领 6 名学生平均分成三个小组到三个工厂进行社会调查，每小组有 1 名老师和2 名学生组成，求不同的分配方法有多少种？18.求（2x-1）5的展开式中（1）各项系数之和；（2）各项的二项式系数之和；（3）偶数项的二项式系数之和；（4）各项系数的绝对值之和；（5）奇次项系数之和 19.某市 A 有
24、四个郊县 B、C、D、E。（如图）现有 5 种颜色，若要使每相邻的两块涂不同欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！用心 爱心 专心 122 号编辑 11 颜色，且每块只涂一种颜色，问有多少种不同的涂色方法？20.已知：*,1,NnnRba，求证：nnnbaba)2(2 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！用心 爱心 专心 122 号编辑 12 参考答案 1.C 2.B 3.C 4.D 5.B 6.C 7.B 8.A 9.A 10.D 11.47 12.12600 种 提示：
25、种126002363641033CCCA 13.7 14.2081C 15.解：32,21(3221,32,1,21,),1211(21121:1,12,)(21112111212121112的取值范围是故时又当的减函数为由题意知项的系数为故此展开式中得令则的展开式通项公式为设mmmnmNnnmnnnmmCmCmCxnrnrnmxCTTmxnnnnnnnnnnrrnrnrrn 16.解（1）将取出 4 个球分成三类情况 1）取 4 个红球，没有白球，有44C种 2）取 3 个红球 1 个白球，有1634CC种；3）取 2 个红球 2 个白球，有,2624CC 种符合题意的取法种数有或或则个白球
26、个红球设取种186142332)60(72)40(5,)2(1151644263436242624163444CCCCCCyxyxyxyyxxyxyxCCCCC 17.解：分三步 1）将 6 名学生平均分成三组有种33222426ACCC.2）将 3 名老师分到三组之中有33A种 3）将 3 个不同的组分配到三个不同的工厂，有33A种由分步计数原理得：540333333222426AAACCC种.18.解 243)3(,1)4(16221)3(322)2(;11)12()1(5543210555351555515055105522105aaaaaaxCCCCCCaaaxxaxaxaax则令和偶
27、数项的二项式系数之各项的二项式系数之和得各项系数之和令设 122224312)()()5(5210510531aaaaaaaaaa 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！用心 爱心 专心 122 号编辑 13 19.解：符合题意的涂色至少要 3 种颜色，分类如下 种共有不同的涂色方法由分类计数原理种有种颜色涂有种有种颜色涂用种有种颜色涂用42060240120,60,3)3(240,4)2(120,5)1(3335222312144555ACACCCCA 20.证明 nnnnnnnnnnnnnnnnnnbabababaCbabaCbabaCbaCbabababababababaNnnRba)2(2)2(2)2()2()2()2()2()2(2)22()22(0)2(,02,0,1,4442220故则不妨设