《中考数学专题训练5.二次函数压轴题(含解析).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学专题训练5.二次函数压轴题(含解析).pdf（36页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】二次函数压轴题1.如图，抛物线 yax2(a2)x2(a0)与 x 轴交于点 A(4，0)，与 y轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 P(m，0)(0m4)过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 M.(1)求 a 的值；(2)若 PNMN13，求 m 的值；(3)如图，在(2)的条件下，设动点P 对应的位置是 P1，将线段OP1绕点 O3逆时针旋转得到 OP2，旋转角为(090)，连接 AP2、BP2，求 AP22BP2的最小值图图第 1 题图解：(1)A(4，0)在抛物线上，1016a4(a2)
2、2，解得 a2；13(2)由(1)可知抛物线解析式为 y2x22x2，令 x0 可得 y2，1OB2，OPm，AP4m，PMx 轴，OABPAN，OBPN2PNOAPA，即4，4m1PN2(4m)，M 在抛物线上，13PM2m22m2，PNMN13，PNPM14，1312m22m242(4m)，解得 m3 或 m4(舍去)，即 m 的值为 3；OQ3(3)如解图，在 y 轴上取一点 Q，使OP2，22第 1 题解图由(2)可知 P1(3，0)，且 OB2，OP23OB2，且P2OBQOP2，P2OBQOP2，QP2OP23BPOB2，293当 Q(0，2)时，QP22BP2，3AP22BP2A
3、P2QP2AQ，当 A、P2、Q 三点在一条直线上时，AP2QP2有最小值，9又A(4，0)，Q(0，2)，921454（2）2，2AQ3145即 AP22BP2的最小值为2.2.如图，已知二次函数 yax2bx4 的图象与 x 轴交于A(2，0)，B(4，0)两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D，点 P 是 x轴上方抛物线上的一个动点，过 P 作 PNx 轴于 N，交直线 BC 于 M.3(1)求二次函数表达式及顶点 D 的坐标；(2)当 PMMN 时，求点 P 的坐标；(3)设抛物线对称轴与 x 轴交于点 H，连接 AP 交对称轴于 E，连接 BP 并延长交对称轴于 F，试证明
4、HEHF 的值为定值，并求出这个定值第 2 题图解：(1)A(2，0)，B(4，0)在二次函数的图象上，将 A，B 点代入二次函数表达式中，4a（2）b40得，16a4b40a12，解得b11二次函数的表达式为 y2x2x4，192将其化为顶点式为 y2(x1)2，9顶点 D 的坐标为(1，2)；(2)由抛物线表达式得点 C 的坐标为(0，4)，设直线 BC 的解析式为 ykxc(k0)，将点 B(4，0)，点 C(0，4)代入得44kc0kc4，解得1c4，直线 BC 的解析式为 yx4，(5 分)点 P 在 x 轴上方的抛物线上，设点 P 的坐标为(t，12t2t4)(2t4)，PNx 轴
5、于 N，点 N 的坐标为(t，0)，PN 交 BC 于 M，点 M 的坐标为(t，t4)，(7 分)PMMN，点 P 在点 M 的上方，PN2MN，即12t2t42(t4)，解得 t12，t24(与 B 重合舍去)，当 PMMN 时，点 P 的坐标为(2，4)；(8 分)第 2 题解图(3)如解图，过点 P 作 PGx 轴于点 G，设点 P 的坐标为(t，512t2t4)，DHx 轴于点 H，PGDH，AHEAGP，BGPBHF，EHAHPGBGPGAG，FHBH，AHPGBHPGEHAG，FHBG，(10 分)当点 G 在 BH 上时，12AHBH3，AGt2，BG4t，PG2t t4，4t
6、t2PGPG1EHFH3()3(2)(t2)(t4)9，t24t（t2）（4t）同理，当点 G 在 AH 上，由抛物线对称性可知，结果相同综上可知，HEHF 的结果为定值，且这个定值为 9.(14 分)13.如图，在平面直角坐标系中，直线 y2x1 与抛物线 yax2bx3 交于 A、B 两点，点A 在 x 轴上，点B 的纵坐标为 3.点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点(不与点 A、B 重合)，过点P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 C，作 PDAB 于点 D.(1)求 a、b 及 sinACP 的值；6(2)设点 P 的横坐标为 m.用含 m 的代数式表示线段 PD 的长，并求出
7、线段 PD 长的最大值；连接 PB，线段PC 把PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为 9 10？若存在，直接写出 m 的值；若不存在，说明理由第 3 题图解：(1)由12x10，得 x2，A(2，0)，由12x13，得 x4，B(4，3)yax2bx3 经过 A、B 两点，2（2）a2b3042a4b33，a1解得2，b12如解图，设直线 AB 与 y 轴交于点 E，则 E(0，PCy 轴，ACPAEO.71)OAsinACPsinAEOAE22 5；2252 1(2)由(1)知，抛物线的解析式为121y2x 2x3，121P(m，2m 2m3)，1C(m，
8、2m1)，1111PC2m1(2m22m3)2m2m4.122 55在 RtPCD 中，PDPCsinACP(2m m4)55(m1)29 55.550，9 5当 m1 时，PD 有最大值5；532存在，m2或9.【解法提示】如解图，分别过点 D、B 作 DFPC，BGPC，垂足分别为点 F、G.8第 3 题解图由图中几何关系可知FDPDCPAEO，OE15cosFDPcosAEOAE225，2 1512在 RtPDF 中，DFcosFDPPD5PD5(m 2m8)又BG4m，15（m22m8）m2DFBG5.4mSPCDSPBCm295SPCD当510时，解得 m2；SPBCm21032SP
9、CD当59时，解得 m9.SPBC532m2或9.4.如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，OA3，AB4，在 OC 上取一点 E，使 OAOE，抛物线 yax2bxc 过 A，E，B 三点(1)求 B，E 点的坐标及抛物线表达式；(2)若 M 为抛物线对称轴上一动点，则当|MAME|最大时，求M 点的坐标；(3)若点 D 为 OA 中点，过 D 作 DNBC 于点 N，连接 AC，若点 P 为线段9OC 上一动点且不与 C 重合，PFDN 于 F，PGAC 于 G，连接 GF，是否存在点 P，使PGF 为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的 P 点坐标；若不存在，请说明理由第
10、 4 题图解：(1)OA3，AB4,OAOE，A(0，3)，B(4，3),E(3，0)将 A，B，E 三点坐标代入 yax2bxc 中，c3a1得16a4bc3，解得b4，9a3bc0c3抛物线的表达式为 yx24x3；(3 分)(2)抛物线 yx24x3 的对称轴为直线 x2，点 A 关于对称轴的对称点为点 B，当|MAME|最大时，M 在直线 BE 与直线 x2 的交点处，即连接 BE并延长交直线 x2 于点 M，M 点即为所求，如解图，(5 分)第 4 题解图设直线 BE 的解析式为 ykxb(k0)，直线过 B(4，3)，E(3，0)，104kb3，3kb0k3，b9直线 BE 的解析
11、式为 y3x9.当 x2 时，y3，M(2，3)；(7 分)(3)设 P(x，0)(x0)，如解图，过点 P 分别作 PFDN 于点 F，PGAC于点 G，过点 G 作 GHOC 于点 H，交 DN 于点 Q，连接 GF，第 4 题解图OA3，AB4，AOC90，AC5，D 为 OA 的中点，DNBC，3PGOAPF2，sin1PCAC，PG35，x4113（x4）PG，5CGOCcos1PCAC，CG4，x454（x4）CG.5CGHCAO，GHCGCHAOCACO，GHCGCH354，334（x4）12（x4）GH5CG5，525444（x4）16（x4）CH5CG5，(9 分)52516
12、（x4）9（x4）PHQFOCCHOP4x，252512（x4）3GQGHQH2，25在 RtGQF 中，2212（x4）81（4x）9（x4）36（x4）9322GF 2 4.25625252512要使PGF 为等腰三角形，可分三种情况讨论：()当 GFGP 时，GF2GP2，9（x4）236（x4）99（x4）225254x3916，P391(16，0)；(11 分)()当 FGFP 时，FG2FP2，9（x4）236（x254）259944，x14，x20.点 P 不与 C 重合，x4(舍去)，P2(0，0)；(12 分)()当 PGPF 时，3（x4）352，x32，P33(2，0)(
13、13 分)25，13393综上所述，存在 P1(16，0)，P2(0，0)，P3(2，0)使PFG 为等腰三角形(14分)1125.已知：直线 y2x3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B，抛物线 y3x bxc 经过点 A、B，且交 x 轴于点 C.(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 为抛物线上一点，且点 P 在 AB 的下方，设点 P 的横坐标为 m.试求当 m 为何值时，PAB 的面积最大；当PAB 的面积最大时，过点P 作 x 轴的垂线 PD，垂足为点D，问在直线 PD 上是否存在点 Q，使QBC 为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的 Q 点的坐标，若不存在，请说明理由第 5 题
14、图备用图1解：(1)直线 y2x3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B，则 A(6，0)，B(0，3)，12又抛物线 y3x bxc 经过点 A、B，01626bc则3，3cb32，解得c314123抛物线的解析式为 y3x 2x3；123(2)点 P 的横坐标为 m，P(m，3m 2m3)，点 P 在直线 AB 下方，0m6，第 5 题解图如解图，过点 P 作 x 轴的垂线，交 AB 于点 E，交 x 轴于点 D，1则 E(m，2m3)，1131PE2m3(3m22m3)3m22m，1SPABSBPESPEA2PEOA1122(3m 2m)6(m3)29，当 m3 时，PAB 的面积最大；9
15、在直线 PD 上存在点 Q，使QBC 为直角三角形；点 Q 的坐标为(3，4)3或(3，2)153【解法提示】直线 PD 的解析式为：x3，易得 C(2，0)，D(3，0)，COQD当BCQ90时，如解图，易证COBQDC，则OBDC，可得 Q(3，94)；第 5 题解图1当CBQ90时，如解图，易知 Q 在 AB 上，将 x3 代入直线 y2x333，得 y2，Q(3，2)；第 5 题解图92CDDQ当BQC90时，如解图，易证CDQQRB，则QRBR，即3DQDQ3，无解第 5 题解图综上所述，在直线 PD 上存在点 Q，使QBC 为直角三角形，点 Q 的坐标93为(3，4)或(3，2)1
16、66.如图，抛物线 yx24x5 与 x 轴交于 A，B 两点(点 B 在点 A 的右侧)，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D.(1)求 A，B，C 三点的坐标及抛物线的对称轴；(2)如图，点 E(m，n)为抛物线上一点，且 2m5，过点 E 作 EFx 轴，交抛物线的对称轴于点 F，作 EHx 轴于点 H，求四边形 EHDF 周长的最大值；(3)如图，点 P 为抛物线对称轴上一点，是否存在点 P，使以点 P，B，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由图图第 6 题图解：(1)把 y0 代入 yx24x5，得 x24x50，解得
17、x11，x25，点 B 在点 A 的右侧，A，B 两点的坐标分别为(1，0)，(5，0)，把 x0 代入 yx24x5，得 y5，点 C 的坐标为(0，5)，17yx24x5(x2)29，抛物线的对称轴为直线 x2；(4 分)(2)由题意可知，四边形 EHDF 是矩形，抛物线的对称轴为直线 x2，点 E 坐标为(m，m24m5)，EHm24m5，EFm2，矩形 EHDF 的周长为 2(EHEF)2(m24m5m2)2(m25m52373)2(m2)2，20，2m5，537当 m2时，矩形 EHDF 的周长最大，最大值为2；(8 分)第 6 题解图(3)存在点 P，使以点 P，B，C 为顶点的三
18、角形是直角三角形如解图，设点 P 的坐标为(2，k)，B 和 C 两点的坐标分别为(5，0)，(0，5)，BC 52525 2，当CBP90时，18BC2BP2CP2，(5 2)2(52)2(k)222(k5)2，解得 k3，P1(2，3)；(10 分)当PCB90，BC2PC2BP2，(5 2)222(k5)2(52)2(k)2，解得 k7，P2(2，7)；(12 分)当CPB90时，PC2PB2BC2，22(k5)2(52)2k2(5 2)2，解得 k1 或 k6，P3(2，1)，P4(2，6)，综上所述，满足条件的点 P 的坐标为(2，3)，(2，7)，(2，1)或(2，6)(14分)1
19、7.如图，抛物线 y4x2bxc 经过 A(2，0)，B(4，0)两点，直线 y192x2 交 y 轴于点 D，过点 B 作 BCx 轴交直线 CD 于点 C.(1)求抛物线的解析式；(2)求点B关于直线y2x2对称的点E的坐标，判断点E是否在抛物线上，并说明理由；(3)点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 CE 于点 F，是否存在这样的点 P，使以点P、B、C、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 7 题图12解：(1)抛物线 y4x bxc 的图象经过点 A(2，0)，B(4，0)两点，1442bc0，14164b
20、c0b12，解得c2121抛物线的解析式为 y4x 2x2；(2)点 E 在抛物线上，理由如下：如解图，设直线 CD：y2x2 与 x 轴交于点 N，过点 E 作 EMx 轴，20垂足为点 M，令 y2x20，解得 x1，点 N 的坐标为(1，0)，点 D 的坐标为(0，2)，BN225，BD220，DN25，BN2BD2DN2，BDCD，点 B 和点 E 关于点 D 对称，BE2BD，BE4 5，当 x4 时，y2x210，点 C 的坐标为(4，10)，BN5，BC10，CN5 5，又MBEBCN，CBNBME，CBNBME，BEME4 5MECNBN，即，5 55ME4，根据勾股定理得 B
21、M BE2ME2 80168，BM8，OM4，21点 E 的坐标为(4，4)，当 x4 时，12111y4x 2x24162424，点 E 在抛物线上；第 7 题解图5 329 3 3291515 3299(3)存在，点 P 的坐标为(1，)或(，4)或(2823 329151)8【解法提示】如解图，设直线 CE 的解析式为 ykxb，k4kb10由(2)得点 C(4，10)，E(4，4)，解得44kb4第 7 题解图3直线 CE 的解析式为 y4x7.3，b71213PFx 轴，设点 P 的坐标为(a，4a 2a2)，则点 F 的坐标为(a，4a7)，221213125PF|4a 2a2(4
22、a7)|4a 4a9|，要使以点 P、B、C、F 为顶点的四边形为平行四边形，PFBC，PFBC10.15当4a24a910 时，解得 a14(舍去)，a21，9点 P 的坐标为(1，4)，15当4a24a910 时，5 329解得 a1，25 329a2，25 3293 3291515 329点 P 的坐标为(，)或(，2823 329151)，8综上所述，存在点 P，使以点 P、B、C、F 为顶点的四边形为平行四边形，5 3293 3291515 3299点 P 的坐标为(1，4)或(，)或(，282233 329151)88.如图，已知抛物线yax2bx(a0)过点 A(3，3)和点 B
23、(3 3，0)，过点 A 作直线 ACx 轴，交 y 轴于点 C.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上取一点 P，过点P 作直线 AC 的垂线，垂足为D.连接 OA，使得以 A，D，P 为顶点的三角形与AOC 相似，求出相应点 P 的坐标；1(3)抛物线上是否存在点 Q，使得 SAOC3SAOQ？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由第 8 题图解：(1)将点 A(3，3)，B(3 3，0)分别代入 yax2bx 中，得33a 3b，027a3 3b解得，3 3b2123 3抛物线的解析式为 y2x 2x；13 3(2)设 P 点的坐标为 P(m，2m22m)，则 D(m，3)，
24、241a213 3PD|2m22m3|，AD|m 3|，ACOADP90，ACAD当ACOADP 时，有OCPD，|m 3|3即3，123 3|2m 2m3|13 3 3|m 3|2m22m3|，123 3123 3 3(m 3)2m 2m3 或 3(m 3)2m 2m3，整理得m25 3m120 或 m2 3m0，解方程 m25 3m120 得：m14 3，m2 3(点 P 与 A 点重合，APD不存在，舍去)；解方程 m2 3m0 得：m30，m4 3(点 P 与 A 点重合，APD 不存在，舍去)；此时 P 点的坐标为 P(0，0)或 P(4 3，6)；ACPD当ACOPDA 时，有OC
25、AD，123 3|m 2m3|32即3，|m 3|2513 3 3|2m22m3|m 3|，13 313 3 3(2m22m3)m 3或 3(2m22m3)m 3，整理得 3m211m8 30 或 3m27m4 30，8 3解方程 3m211m8 30，得：m13，m2 3(点 P 与 A 点重合，APD 不存在，舍去)；4解方程 3m 7m4 30，得：m133，m2 3(点 P 与 A 点重合，2APD 不存在，舍去)；8 344 310此时 P 点的坐标为 P(3，3)或 P(3，3)，综上可知：以点 A、D、P 为顶点的三角形与AOC 相似时，点 P 的坐标为：8 344 310P(0
26、，0)或 P(4 3，6)或 P(3，3)或 P(3，3)；(3)存在在 RtAOC 中，OC3，AC 3，根据勾股定理得 OA2 3，13 31SAOC2OCAC2，SAOC3SAOQ，9 3SAOQ2，9OA2 3，AOQ 边 OA 上的高为2，269如解图，过点 O 作 OMOA，截取 OM2，第 8 题解图过点 M 作 MNOA 交 y 轴于点 N，AC 3，OA2 3，AOC30，又MNOAMNOAOC30，在 RtOMN 中，ON2OM9，即 N(0，9)，过点 M 作 MHx 轴交 x轴于点 H，199 39 3MNO30，MOH30，MH2OM4，OH4，即 M(4，94)，设
27、直线 MN 的解析式为 ykx9(k0)，99 3把点 M 的坐标代入得44k9，即 k 3，y 3x9，27y 3x9联立得123 3，y2x 2xx3 3x2 3解得或，即 Q(3 3，0)或(2 3，15)y0y159.如图，抛物线经过原点 O(0，0)，与 x 轴交于点 A(3，0)，与直线 l 交于点 B(2，2)(1)求抛物线的解析式；(2)点 C 是 x 轴正半轴上一动点，过点 C 作 y 轴的平行线交直线 l 于点 E，交抛物线于点 F，当 EFOE 时，请求出点 C 的坐标；(3)点 D 为抛物线的顶点，连接 OD，在抛物线上是否存在点 P，使得BODAOP？如果存在，请直接
28、写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由第 9 题图备用图解：(1)由题意可设抛物线的解析式为 yax2bx，将 A(3，0)，B(2，2)代入 yax2bx 中，9a3b0a1得，解得，4a2b2b3抛物线的解析式为 yx23x；28(2)设直线 l 的解析式为 ykx，将 B(2，2)代入 ykx 中，得22k，解得 k1，直线 l 的解析式为 yx，设点 C 的坐标为(n，0)，则点 E 的坐标为(n，n)，点 F 的坐标为(n，n23n)当点 C 在点 A 的左侧时，如解图所示，EFn(n23n)n22n，OE n2（n）2 2n，EFOE，n22n 2n，解得 n10(C，E，F 三
29、点均与原点重合，舍去)，n22 2，点 C 的坐标为(2 2，0)；当点 C 在点 A 的右侧时，如解图所示，EFn23n(n)n22n，OE n2（n）2 2n，EFOE，n22n 2n，解得 n10(C，E，F 均与原点重合，舍去)，n22 2，点 C 的坐标为(2 2，0)；29综上所述，当 EFOE 时，点 C 的坐标为(2 2，0)或(2 2，0)；14141616(3)存在点 P 使得BODAOP，点 P 的坐标为(5，25)或(5，25)329【解法提示】抛物线的解析式为 yx 3x(x2)4，239顶点 D 的坐标为(2，4)，设抛物线的对称轴交直线l 于点 M，交x 轴正半轴
30、于点 N，过点 D 作 DGOB 于点 G，过点P 作 PHx 轴于点 H，如解图所示，直线 l 的解析式为 yx，MON45，33 2ONM 为等腰直角三角形，ONMN2，OM 2ON2，933DM424，在 RtDGM 中，DMGNMO45，RtDGM 为等腰直角三角形，323 2MGDG428，3 23 215 2OGOMMG288.30设点 P 的坐标为(c，c23c)，当点 P 在 x 轴下方时，如解图所示，OHc，HP3cc2，第 9 题解图HOPBOD，tanHOPtanBOD，3 283cc2HPDGOHOG，即c，15 2814解得 c10(P 点与 O 点重合，舍去)，c2
31、5，1414点 P 的坐标为(5，25)；当点 P 在 x 轴上方时，如解图所示，OHc，HPc23c，第 9 题解图3 28c23c同理可得c，15 2816解得 c10(P 点与 O 点重合，舍去)，c25，311616P 点的坐标为(5，25)141416综上所述，存在点P 使得BODAOP，点P 的坐标为(5，25)或(5，1625)110.在平面直角坐标系中，直线 y2x2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，12二次函数 y2x bxc 的图象经过 B，C 两点，且与 x 轴的负半轴交于点A，动点 D 在直线 BC 下方的二次函数图象上(1)求二次函数的表达式；(2)如图，
32、连接 DC，DB，设BCD 的面积为 S，求 S 的最大值；(3)如图，过点 D 作 DMBC 于点 M，是否存在点 D，使得CDM 中的某个角恰好等于ABC 的 2 倍？若存在，直接写出点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由图图第 10 题图1解：(1)直线 y2x2 中，令 y0，解得 x4，令 x0，解得 y2，32点 B(4，0)，C(0，2)，84bc012将点 B(4，0)，C(0，2)代入 y2x bxc 中，得，解得c2b32，c2123二次函数的表达式为 y2x 2x2；第 10 题解图(2)如解图，过点 D 作 DEy 轴，交 BC 于点 E，1231设点 D 的坐标为(x
33、，2x 2x2)(1x4)，则点 E(x，2x2)，112312DE2x2(2x 2x2)2x 2x，11SSCDESBDE2(2x22x)4x24x(x2)24，当 x2 时，S 有最大值，S 的最大值为 4；29(3)存在，满足条件的点 D 的横坐标为 2 或11.13【解法提示】令 y0，则2x22x20，解得 x11，x24，33A(1，0)，B(4，0)，C(0，2)，AB25225，AC212(2)25，BC2422220，AB2AC2BC2，ABC 是以ACB 为直角的直角三角形，如解图，取 AB 的中点 P，第 10 题解图3P(2，0)，5PAPCPB2，CPO2ABC，OC
34、tanCPOOP4tan2ABC3，过点 D 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 R，交 BC 的延长线于点 G，连接 CR，当DCM2ABCDGCCDG，DGx 轴，34DGCABC，CDGABC，OC1CR1tanCDGtanABCOB2，即DR2，123设点 D(x，2x 2x2)，13DRx，RC2x22x，132x22x12，解得 x10(舍去)，x22，x点 D 的横坐标为 2；当MDC2ABC，4tanMDC3，设 MC4k，DM3k，DC5k，3k1tanDGCMG2，MG6k，CG2k，DG3 5k，MGDRGC，DMGCRG90，DMGCRG，35DMDGCRCG，2 54 5CR5k，RG2CR5k，3k3 5k4 511 5即CR2k，DR3 5k5k5k，11 55kDRxCR1，32 52x22xk529解得 x10(舍去)，x211，29点 D 的横坐标为11，29综上所述，满足条件的点 D 的横坐标为 2 或11.36