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1、专题3 均值不等式基础方法15类总结目录一、热点题型归纳【题型一】对勾型【题型二】 添加常数构造“对勾型”【题型三】“和定求积”型3【题型四】“积定求和”型4【题型五】单元（单变量）分离常数型4【题型六】“常数”因子法：5【题型七】“单分母”构造因子法6【题型八】“双分母”构造法6【题型九】有和有积无常数型7【题型十】有和有积有常数型：求“积”型8【题型十一】 有和有积有常数型：求“和”型8【题型十二】多元分离型9【题型十三】反解消元型9【题型十四】换元型【题型十五】较简单的三元均值11培优第一阶基础过关练11培优第二阶能力提升练13培优第三阶培优拔尖练14知识点综述：1. 基本不等式：a2b
2、2 2ab(a，bR)；2.常用不等式：；(1) 基本不等式成立的条件：a0，b0； (2)等号成立的条件：当且仅当ab.简称为“一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可3.基本不等式的变形：ab2，常用于求和的最小值；ab2，常用于求积的最大值；4.重要不等式链： ；【题型一】对勾型【典例分析】（2021江苏高一专题练习）不等式（x-2y）+2成立的前提条件为（）Ax2yBx2yCx2yDx0，则当取得最小值时，a的值为（）ABCD3【题型二】 添加常数构造“对勾型”【典例分析】（2022吉林延边高一期末）已知，则函数的最小值是（）ABC2D 【提分秘籍】基本规律对于形如，则把cx+d转化
3、为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化【变式训练】1.（2021黑龙江牡丹江市第三高级中学高一阶段练习）若在处取得最小值，则（）A1B3CD42.（2022全国高一课时练习）若实数，则的最小值为（）ABCD3.（2021江苏高一专题练习）设，则的最小值为（）ABC4D 【题型三】“和定求积”型【典例分析】（2022全国高一专题练习）已知，则的最大值为（）AB4C6D8 【提分秘籍】基本规律如果xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)【变式训练】1.（2021福建泉州市第六中学高一期中）若，则当取得最大值时，x的值为（）A1BCD2.（2021全国高一课
4、时练习）若，则的最大值为（）ABC1D3.（2021湖北华中科技大学附属中学高一阶段练习）已知x0，y0，且x2y4，则(1x)(12y)的最大值为（）A36B4C16D9【题型四】“积定求和”型 【典例分析】（2021浙江省杭州学军中学高一期中）已知，且，则的最小值为（）A5B6C7D8【提分秘籍】基本规律如果xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)【变式训练】1.（2021江苏沭阳县修远中学高一阶段练习）若实数满足，则的最小值是（）A1B2C4D82.（2021新疆巴楚县第一中学高一期中）已知为正实数，且，则的最小值是（）A4B8C16D32【题型五】单元（单
5、变量）分离常数型【典例分析】（2022福建莆田一中高一期末）函数有（）A最大值B最小值C最大值2D最小值2【提分秘籍】基本规律分离常数可以从两方面考虑：1.以分母为主元构造分子2.直接换元分母（一般式一次型）【变式训练】1.（2021全国高一课时练习）若，则有（）A最小值2B最大值2C最小值D最大值2.（2021河北藁城新冀明中学高一阶段练习）已知x1，则的最小值是（）A22B22C2D23.（2020江苏省南京市第十二中学高一阶段练习）已知，函数的最大值是（）A1B2C3D4【题型六】“常数”因子法：【典例分析】（2022全国高一专题练习）若正数满足，则的最小值是（）ABC5D6【提分秘籍】
6、基本规律利用常数代换法。多称之为“1”的代换【变式训练】1.（2022全国高一专题练习）已知，若不等式恒成立，则的最大值为（）ABCD2.（2022全国高一专题练习）已知，且，则的最小值是（）AB2C9D43.（2021广东阳春市第二中学高一阶段练习）已知，且，则的最小值是（）A10B15C18D23【题型七】“单分母”构造因子法【典例分析】（2022全国高一课时练习）已知正实数满足，则的最小值是（）ABCD 【提分秘籍】基本规律以分式分母为主元进行构造【变式训练】1.（2022安徽省舒城中学高一阶段练习）若，则的最小值为（）A4B3C2D12.（2021全国高一单元测试）若，且，则的最小值为
7、（）A2BCD3.（2021河南濮阳一高高一期中）若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（）A或B或CD【题型八】“双分母”构造法【典例分析】（2022全国高一课时练习）已知，且，则的最小值为（）A2B3C4D5 【提分秘籍】基本规律一般情况下，可以把分母相加（或者倍系数后再相加），与条件所给的 等式，存在倍数关系【变式训练】1.（2022全国高一单元测试）已知，且，则的最小值为（）A4B8C16D322.（2021浙江高一期中）若实数，则的最小值为（）AB1CD23.（2022全国高一课时练习）若，且，则的最小值为（）ABCD【题型九】有和有积无常数型 【典例分析】（2021江苏赣
8、榆一中高一阶段练习）若两个正实数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD【提分秘籍】基本规律利用同除，可以得到“1”的代换形式均值【变式训练】1.（2022全国高一专题练习）若正实数x，y满足，则的最小值为（）A8B9C10D112.（2021黑龙江铁人中学高一期中）已知，则和的最小值分别是（）A16 ，32B16 ，64C18，32D18，64【题型十】有和有积有常数型：求“积”型【典例分析】（2021重庆市实验中学高一阶段练习）设，则ab的最小值是（）A4B9C16D25【提分秘籍】基本规律求积，对“和”用均值，化为关于“积”的一元二次不等式，解不等式可得。【变式训练】1.（
9、2022广东广州高一期末）设，若，则ab的最小值是（）A5B9C16D252.已知，且，则的最大值为_ 【题型十一】 有和有积有常数型：求“和”型【典例分析】（2021安徽霍邱县第一中学高一阶段练习）若，且，则的取值范围（）ABCD【提分秘籍】基本规律求“和”，对“积”用均值，化为关于“和”的一元二次不等式，解不等式可得。此类题型的基础形式，多是所求的“和”与所给的“和”是相同的。不然，此法不成立。【变式训练】1.（2021河南高一阶段练习）已知，则的最小值为（）ABCD2.（2021安徽合肥一中高一期中）若正实数，满足，且存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围为（）ABCD3.已知，则（
10、多选题 ）A的最大值为2B的最小值为4C的最小值为3D的最小值为 【题型十二】多元分离型 【典例分析】（2022四川省绵阳南山中学高一阶段练习）已知，且，则的最小值是（）A11B9C8D6【提分秘籍】基本规律多元分式型，构造分母达到分离的目的。1. 换元构造2. 常数代换狗仔3. 凑配构造【变式训练】1.（2022全国高一课时练习）若，则的最小值是（）A16B18C20D222.（2022广东韶关实验中学高一阶段练习）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（）A1B6C7D3.（2022辽宁丹东高一期末）已知，则的最小值为（）ABCD3【题型十三】反解消元型【典例分析】（2021浙江高一期中）正
11、实数，满足，则的最小值是（）AB1CD【提分秘籍】基本规律反解代入：1. 多元变量有二次有一次，反解一次代换消元为单变量式子2. 有些高次可以因式分解，然后再反解代入。达到消元的目的【变式训练】1.（2021全国高一专题练习）已知实数a0，b0，且满足aba2b20，则（a+1）（b+2）的最小值为（）A24B313C913D252.（2021江苏高一专题练习）已知，则的最小值为（）AB2CD13.（2021浙江省杭州第二中学高一期中）已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（）ABCD【题型十四】换元型 【典例分析】（2021山西太原市第五十六中学校高一阶段练习）对任意正数x，y，
12、不等式恒成立，则实数k的取值范围是（）ABCD【提分秘籍】基本规律1.复杂的分式型，可以把分母换元（双换元），达到化简的目的。2.能因式分解的高次多元式子，可以借助因式分解后再换元化简【变式训练】1.（2022全国高一课时练习）已知实数，满足，则的最小值为（）ABCD2.（2021江苏高一专题练习）已知实数满足，且，则的值最小时，实数（）ABCD1【题型十五】较简单的三元均值 【典例分析】（2022全国高一课时练习）已知都是正实数，若，则 的最小值为（）A2B4C6D8【变式训练】1.（2021安徽泾县中学高一阶段练习）设正实数、满足，则的最大值为（）ABCD2.（2021辽宁沈阳二中高一阶段
13、练习）若a，b，c均为正实数，则三个数，（）A都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于23.（2021天津耀华中学高一期中）正实数满足，当取得最大时，的最大值为（）ABCD分阶培优练培优第一阶基础过关练1.（2022全国高一课时练习）当时，的最小值为（）A3BCD2.（2022福建省龙岩第一中学高一开学考试）函数的最小值为（）A3B2C1D03.（2021全国高一课时练习）已知，且，则的最小值为（）A B C D4.（2021全国高一专题练习）已知x0，y0，且xy=10，则的最小值为（）A2B3C4D65.（2021湖北宜都二中高一期中）已知则函数的最小值为（）ABCD6
14、.（2022全国高一专题练习）已知，则的最小值为（）ABCD67.（2021福建莆田一中高一期中）已知，则的最小值为（）A1BCD8.（2022陕西长安一中高一阶段练习）已知都是正数，且，则的最小值为（）AB2CD39.（2022山东薛城区教育局教学研究室高一期末）已知，且，则的最小值为（）A3B4C6D910.（2021全国高一专题练习）已知，则的最大值为（）A1B2C3D411.（2021全国高一期中）已知，且，则的最小值为（）ABC4D612.（2021全国高一专题练习）已知正数满足，则的最大值是（）ABC1D13.（2022贵州遵义高一期末）负实数、满足，则的最小值为（）ABCD14.
15、（2022全国高一课时练习）已知正数x，y满足，则的最小值（）ABCD15.（2022全国高一）设x，y，z为正实数，满足，则的最小值是（）A4B2CD培优第二阶能力提升练1.（2021广东广州市真光中学高一期中），在处取最小值，则（）A1BC3D92.（2021天津油田三中高一阶段练习）函数y3x2的最小值是()A33B3C6D633.（2021全国高一课时练习）已知m，nR，m2+n2=100，则mn的最大值是（）A25B50C20D4.（2020广东深圳市南山外国语学校（集团）高一期中）已知正数，满足，则的最小值是（）A10B20C15D255.（2021湖北黄石高一期中）若，则函数的最
16、小值为（）A4B5C7D96.（2021浙江高一单元测试）已知，.且，若恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD7.（2021河北正中实验中学高一期中）已知，且 ，则的最小值为（）A4B3C2D18.（2022全国高一单元测试）设，为正数，且，则的最小值为（）ABCD9.（2021全国高一课时练习）若正数x，y满足x+4y-xy=0，则当x+y取得最小值时，x的值为（）A9B8C6D310.（2022内蒙古巴彦淖尔高一期末）若，且，则的最小值为（）A9B16C49D8111.（2021广东执信中学高一期中）已知正实数，满足等式，若对任意满足条件的，求的最小值（）ABCD12.（2021河南濮阳一
17、高高一阶段练习）已知两正实数a，b满足，则的最小值为（）A7BCD13.（2021广东华南师大附中高一期中）已知a0，且a2b40，则（）A有最大值B有最大值C有最小值D有最小值14.（2021湖北黄石高一阶段练习）实数a，b满足，则的最小值是（）A4B6CD15.（2022全国高一专题练习）若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（）A2B4C6D8培优第三阶培优拔尖练1.（2022重庆巫山高一期末）已知命题，若为假命题，则的取值范围为（）ABCD2.（2021全国高一专题练习）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为（）A（1，4B（0，4）C（0，4D（1，43.（2022
18、全国高一单元测试）设正实数，满足(其中为正常数)，若的最大值为3，则（）A3BCD4.（2022全国高一课时练习）已知，则的最大值为（）ABCD5.（2022全国高一课时练习）若不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（）ABCD6.（2021江苏泗阳县实验高级中学高一阶段练习）设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式yM都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界若a，b为正实数，且ab1，则的上确界为（）ABCD47.（2021福建省龙岩第一中学高一期中）若，则的最小值为（）ABCD48.（2022全国高一专题练习）已知正实数满足，则的最小值为（）A6B8C10D129.（2022全国高一课时练习）已知，条件，条件，则是的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10.（2021江苏高一单元测试）若正实数，满足，则的取值范围为（）ABCD11.（2020江苏省震泽中学高一阶段练习）若实数满足，则的取值范围是（）ABCD12.（2021全国高一专题练习）若，且，则的最小值为（）A3BCD13.（2022浙江浙江高一期中）已知正数，满足，则的最小值为（）A1B2C3D414.（2021全国高一专题练习）已知实数，则的最小值是（）A6BCD15.（2021江苏高一专题练习）已知，则的最小值为（）ABCD 16 / 16