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1、 专题01 导数之构造函数一、 考情分析 函数与导数是高考必考的知识点，考试形式有选择题也有填空题，并且都以压轴题为主。题目难度都偏大，对学生的思维能力考查都要求比较高。构造函数，是我们高中数学处理和研究函数与导数的一种有效方法，通过分离变量和参数，构造新的函数去研究其新函数的单调性，极值点，从而使问题得到解决。二、 经验分享（常见函数构造类型）（1）.常见函数的变形1. 对于不等式，构造函数.2. 对于不等式，构造函数3. 对于不等式，构造函数4. 对于不等式，构造函数5. 对于不等式，构造函数6. 对于不等式，构造函数7. 对于不等式，构造函数8. 对于不等式，构造函数（2）.双变量函数的
2、变形1.形如的函数，构造函数，令，求；2.对于,形如 的函数，要结合图像构造函数的切线方程，求斜率；3.形如或的函数不等式， （1）.可以构造函数，然后求的最大值和最小值；（2）.如果，我们也可以构造函数，求的最值 .三、题型分析(一) 与函数基本性质有关的构造函数例1.（1）定义在R上的可导函数满足，记的导函数为，当时恒有若，则m的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】构造函数，所以构造函数，所以对称轴为，所以，是增函数；是减函数。，解得：【点睛】压轴题，考查导数与函数，涉及到构造函数以及对称轴的性质。难度比较大。（2）（2021安徽高二月考（理）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，
3、且有，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】A【分析】构造函数，利用它的导数确定单调性后可得不等式的解集【详解】由条件，在上单调递减，所求不等式可化为，故，.故选：A【点睛】本题考查用导数解不等式，解题关键是构造函数，利用函数的单调性解不等式构造函数时一是根据已知导数的不等式，确定构造出的函数求导后能利用已知不等式确定正负，二是根据结论不等式的形式（一般需要适当变形）（3）（2021甘肃省武威第二中学高二期中（理）对任意，不等式恒成立，则下列不等式错误的是（）ABCD【答案】D【分析】构造函数，对其求导后利用已知条件得到的单调性，将选项中的角代入函数中，利用单调性化简，并判断正误，由此得出选项
4、.【详解】解：构造函数，则，即在上为增函数，由，即，即，故A正确；，即，即，故B正确；，即，即，故C正确；由，即，即，即，故错误的是D故选D【点睛】本小题考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法.构造函数法主要应用于题目所给已知条件中含有，也含有其导数的不等式，根据不等式的结构，构造出相应的函数.如已知是，可构造，可得.（4）（2020广州市育才中学高二月考）函数的导数为，对任意的正数都有成立，则（ ）ABCD与的大小不确定【答案】A【分析】构造函数，求出，得到在上单调递减，由即可得到答案.【详解】由，得，设，则，因为是正数，所以，又，所以，所以在上单调递减，
5、所以，即，即.故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，并利用函数的单调性解不等式，注意构造函数的应用，考查学生的分析转化能力，属于中档题.【变式训练1-1】、 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为为偶函数，所以，构造函数，所以函数是R上的减函数.根据题意：，因为所以，解之得，.【变式训练1-2】、（2015新课标）设函数是奇函数的导函数，当时，则使得f (x)0成立的的取值范围是（ ）A BC D【答案】A【解析】令，因为为奇函数，所以为偶函数，由于，当时， ，所以在上单调递减，根据对称性在上单
6、调递增，又，数形结合可知，使得成立的的取值范围是【变式训练1-3】、已知函数满足：，则时，（ ）A. 有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值C.既有极大值，又有极小值 D.无极大值，也无极小值【答案】D【解析】由题意得：整理所以，构造函数，则，再次构造函数,令，所以，所以最大值，所以恒成立所以单减，既没有极大值也没有极大值小值。【变式训练1-4】、 （2020全国高三专题练习）已知是定义在上的可导函数，满足，则不等式，中一定成立的个数为（ ）A1B2C3D4【答案】A【分析】根据题意构造函数x，并判断其在（0，+）上单调递减，然后分别算出g（1）、g（2）和g（），并利用单调性比较大小，即
7、可判断每个选项【详解】令x，则1，xf（x）f（x）x2，g（x）0在（0，+）上恒成立，即g（x）在（0，+）上单调递减，f（1）1，对于，即f（2）4，错误，正确；对于，即，和均错误；因此一定成立的只有，故选：A (二) 与双参数有关的构造函数例1.（1）、设椭圆的左右顶点为A,B.P是椭圆上不同于A,B的一点，设直线AP,BP的斜率分别为m,n，则当取得最小值时，椭圆C的离心率为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，点P在双曲线上，得，所以，化简原式所以设，构造函数，求导可以得到： 时，函数取得最小值=，。【点评】（1）椭圆上关于原点对称的两点另一个动点，则；（2）双曲线上关
8、于原点对称的两点另一个动点，则（2）、已知，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则的取值范围是 . 【答案】【解析】由题意得：恒成立，恒成立令，易得，所以，所以（3）、（2021黑龙江鹤岗一中（理）已知函数，且，恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【分析】先由恒成立，得到恒成立，令，得到在上恒成立，所以函数在区间上单调递减，对函数求导，得到在上恒成立，推出在上恒成立，令，用导数的方法研究其单调性，求出最值，即可得出结果.【详解】解：，恒成立，即恒成立，即恒成立，令，则在上恒成立，即函数在区间上单调递减，又，在上恒成立，当时，不等式可化为显然成立；当时，不等式可化为，令，则在区间上恒成立，函数在
9、区间上单调递减，即实数a的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.【变式训练2-1】、设实数，满足则代数式（ ）A.有最大值 B.有最小值 C有最大值1 D.有最大值【答案】B【解析】：由已知得：代数式，设，原代数式，两边同时除以，故，设，原代数式，当，最大值为；当,最大值为【变式训练2-2】、（2021江西南昌高安中学高二月考）函数，若对任意两个不等的正实数，都
10、有恒成立，则实数的取值范围是_【答案】a4【分析】设,由题意得，令，且是增函数，原问题转化为恒成立，然后利用参变分离法，有在恒成立，求出函数在上的最大值即可【详解】不妨设，由，得，设，时，则单调递增，由，则，则即在上恒成立，设，函数的对称轴为，则当时，取最大值，最大值为，所以.故答案为：.【变式训练2-3】、已知函数，则，的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D【解析】由已知得：函数表示的是焦点在y轴上的双曲线的上支，渐近线方程为，故此函数上任意两点的连线的斜率范围在上，所以，四、迁移应用 A组 基础巩固1（2021东莞市东华高级中学高二期末）已知函数为上的偶函数，且对于任意的满足，则下列
11、不等式成立的是（ ）ABCD【答案】B【分析】令，依题意知为偶函数，且在区间上是减函数，再由，结合条件分别判断四个选项即可【详解】解：偶函数对于任意的满足，令，则，即为偶函数又，故在区间上是减函数，所以，即，故B正确；，故A错误；，故C错误；，故D错误；故选：B【点睛】关键点睛：根据导函数不等式构成函数，利用函数的单调性进行判断是解题的关键.2（2021河南平顶山高二期末（文）已知定义在上的函数满足（为常数）且，若，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】先求出a的值，判断出y=f（x）的单调性，解不等式即可求出的取值范围.【详解】由，可得，又由，可得：，所以所以当时，单调递减；当时，单
12、调递增因为，所以，解得或故选：A【点睛】方法点睛：解不等式的常见类型：(1)一元二次不等式用因式分解法或图像法；(2)指对数型不等式化为同底的结构，利用单调性解不等式；(3)解抽象函数型不等式利用函数的单调性；(4)三角函数型不等式用图像法.3（2021吉林长春外国语学校高二期末（文）已知定义在上的偶函数的导函数为，函数满足：当时， ，且则不等式的解集是（ ）ABCD【答案】C【分析】由已知条件构造函数，则，在R上为奇函数，且单调递增，而由，可得，然后分和对化简，再利用的单调性可解得不等式【详解】当时，令，为上的偶函数，则，在R上为奇函数，且单调递增，且，则当时，即，即，；当时，即，综上，不等
13、式的解集为故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数判断函数的单调性，再利用函数的单调性解不等式，解题的关键是由构造函数，可得，从而可得在R上为奇函数，且单调递增，然后利用其单调性解不等式，属于中档题4（2020六盘山高级中学高三期末（文）函数的导函数，对，都有成立，若，则满足不等式的x的范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】构造函数，根据的性质，求得的性质，再利用的性质，求解不等式即可.【详解】构造函数，则；因为对，都有成立，故可得在上恒成立，故是上的单调增函数.又因为，故可得，又不等式等价于，根据的性质，容易得不等式解集为.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调
14、性，涉及构造函数法，属中档题.5（2019云南曲靖（文）已知偶函数的定义域是，其导函数为，对定义域内的任意，都有成立，若，则不等式的解集为ABCD【答案】B【分析】构造新函数，由已知可确定其导函数的正负，从而确定的单调性，同时确定的奇偶性，利用奇偶性和单调性可解不等式【详解】当时，由得，令，则在上也为偶函数，且当时，总成立，在区间上是增函数.可化为，则，又，解得.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性不等式，解题关键是构造新函数6（2019鄂尔多斯市第一中学高二月考（文）定义域为的可导函数的导函数，满足，且，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】C【分析】构造函数，利用导数可判断出
15、函数为上的增函数，并将所求不等式化为，利用单调性可解出该不等式.【详解】构造函数，所以，函数为上的增函数，由，则，可得，即，因此，不等式的解集为.故选：C.【点睛】本题考查函数不等式的求解，通过导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7（2020贵州贵阳高三月考（理）已知是函数的导数，且满足对恒成立，是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（ ）ABCD【答案】C【分析】先令，求导，根据题意，得到在区间上单调递增，再由题意，得到，进而可得出结果.【详解】令，则，因为对恒成立，所以对恒成立，在区间上单调递增；又，是锐角三角形的两个内角，因此，即，
16、.故选：C.【点睛】本题考查由导数的方法研究函数单调性，以及由函数单调性比较大小，解决此类问题，通常需要构造函数，结合题中条件，用导数的方法研究函数单调性即可，属于常考题型.8（2021全国高二课时练习）已知定义在上的函数的导函数为，对任意，有，且.设，则（ ）ABCD【答案】D【分析】根据可构造函数,再利用单调性判断函数值的大小即可.【详解】构造函数,则,又,故.在上单调递减.又,故为奇函数,故为偶函数.又.又偶函数在上单调递减.故.故.故选：D【点睛】本题主要考查了构造函数判断函数值的大小问题,需要根据题意构造合适的函数,并分析单调性与奇偶性,从而求得函数值大小的关系等.属于中等题型.9（
17、2020全国高三一模（文）已知定义在上的偶函数的导函数为，函数满足：当时，且则不等式的解集是（ ）ABCD【答案】B【分析】构造函数，由确定单调性，利用的单调性解题设不等式【详解】设，则，当时，即，在上是增函数，又是偶函数，不等式化为且，即且，故选：B10（2021广西（文）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式成立的是ABCD【答案】D【分析】先构造函数，再求导，再利用已知条件可得在上单调递减，再利用函数增减性可得，即可得解.【详解】解：令，则，即，在上单调递减，故，即，即，故选D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及利用函数单调性判断函数值的大小关系，属中档题.12（202
18、0安徽六安市立人中学高二期末（文）已知是的导函数，且，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】C【分析】根据题意构造函数，借助函数的单调性解不等式即可.【详解】令，则，在R上为增函数，可化为，故选C【点睛】本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键.13（2021江西省莲花中学高二月考（理）定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为ABCD【答案】C【详解】构造函数，根据可知，得到在上单调递减；根据，可将所求不等式转化为，根据函数单调性可得到解集.【解答】令，则在上单调递减 则不等式可化为等价于，即 即所求不等式的解集为：本题正确
19、选项：【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性求解不等式，关键是能够构造函数，将所求不等式转变为函数值的比较，从而利用其单调性得到自变量的关系14（2020湖南衡阳市一中高二期末）已知函数，若，使得成立，则实数a的取值范围是_.【答案】【分析】求得导函数后，代入不等式则可将不等式化为，根据能成立的思想可得，利用基本不等式可求得最小值，进而得到结果.【详解】，即为，整理得到，即，使得成立，（当且仅当，即时取等号），即实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数解决能成立的问题，关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为变量和函数最值之间大小关系的比较问题，进而通过求解函数最值得到结果.1
20、5（2019山东泰安）已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且当 时，则不等式的解集为_【答案】【分析】首先根据已知构造函数， ，根据导数可知函数单调递增，即，再结合奇偶性得到不等式的解集.【详解】令，则当 时， 单调递增，且 .因为等价于，即g(x)g()，又为偶函数，所以，故，故不等式的解集为 .【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数与方程，函数与不等式，导数的应用，涉及函数与方程思想，数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力，等价转化能力，运算求解能力，综合性较强，本题的关键是构造函数，根据导数分析函数的单调性，并且判断是偶函数.16（2018通榆县第一中学校高三期中（理）设函数是定义在
21、上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集是_【答案】 【分析】根据题意，构造函数g（x）=x3f（x），x（，0），利用导数判断g（x）的单调性，再把不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（3）0化为g（x+2015）g（3），利用单调性求出不等式的解集【详解】根据题意，令g（x）=x3f（x），其导函数为g（x）=3x2f（x）+x3f（x）=x23f（x）+xf（x），x（，0）时，3f（x）+xf（x）0，g（x）0，g（x）在（，0）上单调递增；又不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（3）0可化为（x+2015）3f（x+2015）（3）3f（3），即g
22、（x+2015）g（3），0x+20153；解得2015x2018，该不等式的解集是为（2018，2015）故答案为（2018，2015）【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了利用函数的单调性求不等式的解集的问题，是综合性题目(2)解答本题的关键有两点，其一是构造函数g（x）=x3f（x），其二是把不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（3）0化为g（x+2015）g（3），利用单调性求出不等式的解集17（2019山东淄川中学高二期中）已知函数的导函数为，且满足，则_【答案】-1.【解析】分析：先求导数，解得，代入解得.详解：因为，所以所以因此，点睛：利用导数的几
23、何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.18（2017贵州遵义四中（理）已知函数为定义在上的连续可导函数，且，则不等式的解集是_【答案】【解析】令 ，则，所以等价于 ，即解集是19（2021江苏常州市高二期中）已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数记为，且与满足：，则不等式的解集为_【答案】【分析】构造函数，求结合已知条件可得的单调性，原不等式等价于，根据单调性结合定义域即可求解.【详解】令，则，所以在上单调递增，因为函数是定义是，所以，由可得，即，因为在上单调递增，所以，解得：，所以原不等式的解集为：故答案为：.20（2022全国高三专题练习）已知，若对任意两
24、个不等的正实数、都有成立，则实数a的取值范围是_；【答案】【分析】先将条件对任意两个不等的正实数、都有成立，转化为，令，根据增减性求出导函数，然后利用参变量分离的方法求出实数a的取值范围【详解】解：因为对任意两个不等的正实数、都有成立，所以，即任意两个不等的正实数、恒成立，令，则在上为增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，因为，当时，等号成立，所以，所以实数a的取值范围为，故答案为： B组 能力提升21（2021江西景德镇一中高三月考（理）已知函数满足，当时，下列说法正确的是（ ）有两个零点；只有一个零点；有极小值；有极大值ABCD【答案】D【分析】令,则,得到由得到，利用导数判断f(x
25、)的单调区间和极值即可得到正确答案.【详解】令,则,即,所以因为所以C=0,所以，当0xe时, ，f(x)单调递减.所以f(x)在x=e处取得极大值,无极小值,即错误,正确;又f(1)=0,且当xe时, f(x)0恒成立,f(x)只有一个零点为x=1,即正确, 错误正确的有.故选：D【点睛】（1）函数的单调性与导数的关系：已知函数在某个区间内可导，如果0，那么函数在这个区间内单调递增；如果0，那么函数在这个区间内单调递减；函数在这个区间内单调递增，则有；函数在这个区间内单调递减，则有；（2）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：利用最值或极值研究；利用数形结合思想研究；构造辅助函数硏究
26、.22（2021广州市北大附中为明广州实验学校高二月考）已知对任意实数都有，若恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】由导数的运算求出，然后用分离参数法得出时，时，再设，求出在时最小值，在时的最大值，从而可得的范围【详解】因为，所以，即，所以（为常数），由，不等式为，时，不等式为，成立，时，时，设，则，当或时，当或时，所以在和上是减函数，在和上是增函数，时，在时取得极小值也最小值，由恒成立得，时，在时取得极大值也是最大值，由恒成立得，综上有故选：D【点睛】本题考查导数的运算，考查用导数研究不等式恒成立问题，用分离参数法转化为求函数的最值是解题关键，解题时注意分类讨论思想的应用23
27、（2020湖北黄冈高三其他模拟（文）设在上可导的函数满足并且在上有实数满足则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】根据这种形式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，再判断函数奇偶性，最后利用的单调性和奇偶性进行求解即可.【详解】设，则故在区间上单调递减.，故为偶函数，在区间上单调递增.故原不等式等价于，即平方解得故选：A【点睛】本题考查了通过构造新函数，利用新函数的单调性和奇偶性求解不等式解集问题，考查了导数的应用，考查了函数奇偶性的判断，考查了数学运算能力.24（2020吉林高三月考（理）已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，则不等式的解集为（）ABCD【答案】B【
28、分析】由题意构造函数，由可得在上恒成立，所以函数在为上单调递减函数，由为偶函数，可得，故要求不等式的解集等价于的解集，即可得到答案.【详解】由题意构造函数，则，定义在上的可导函数的导函数为，满足在上恒成立，函数在上为单调递减函数；又为偶函数，则函数 ，即关于对称， ，则，由于不等式的解集等价于的解集，根据函数在上为单调递减函数，则，故答案选B【点睛】本题考查函数的构造，利用导数研究函数的单调性、利用函数单调性解不等式、函数的奇偶性以及对称性的综合应用，属于较难题25（2021江苏高二月考）已知定义在R上的函数的导函数为，满足，若恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】【分析】令，由可得，所以在R
29、上单调递增，由，得，所以，则在R上恒成立，所以，从而可求出的取值范围【详解】解：令，则，因为，所以，所以在R上单调递增，因为，所以，所以，所以，所以，即在R上恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围为，故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查一元二次不等式恒成立问题，解题的关键是利用构造函数，求导后可得函数在R上单调递增，再利用函数的单调性解不等式即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题26（2019山东德州高三二模（理）已知函数有两个极值点、，则的取值范围为_.【答案】【分析】确定函数的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求的取值范围【详解】函数的定
30、义域为，依题意，方程有两个不等的正根、（其中），则，由韦达定理得，所以，令，则，当时，则函数在上单调递减，则，所以，函数在上单调递减，所以，.因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将的取值范围转化为以为自变量的函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.27（2019山东泰安高三月考）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为_.【答案】【分析】构造函数,求导利用题中条件证明函数在定义域上为单调递增函数,然后将不等式转化为进行求解.【详解】令,定义域为,所以因为函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有,所以恒成立,所以恒成立,则函数在定义域上为单调递增函数,所以由不等式可得即得解得,即不等式的解集为.故答案为:.【点睛】本题考查了导数的应用,利用导数的知识判断函数的单调性,然后利用函数单调性解决不等式的问题,准确的构造函数并转化不等式是解决本题的关键,属于中档题. 32