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1、 第二章 高：善于用四大数学思想武装自己知识可分成两类，一类是陈述性知识，一类是程序性知识陈述性知识是知识的事实，如定义、定理、公式、法则等，对它们的学习主要是理解和记忆；程序性知识是怎样认知的知识，主要表现为数学思想和数学方法，相比陈述性知识而言，它是“活知识”，能实现知识的迁移和转换，是创造性思维的基础通常认为，“数学方法”就是为解决问题而采用的手段、步骤或程序，属于过程性的知识；而“数学思想”则是数学的基本观点，是对数学的概念、原理、方法，法则本质的认识，对于解题，数学思想就是解题策略，它能沟通问题与知识、方法间的联系，调节解题，它是解题的指导思想，属于策略性知识由于数学思想常常表现为数
2、学方法的形式，所以通常把二者统称为“数学思想方法”数学思想是数学方法的概括和提炼，思想比方法有更高的层次；数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与操作化的特点。在数学学习中，单纯靠题海战术盲目操练是很难获得理想成绩的，我们必须将自已置身于解题的更高境界高中数学学习的更高境界主要就是指运用数学思想武装自己，并有效地指导解题考试大纲中指出，数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想则是数学意识，只能领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决中学数学中主要的数学思想
3、有：函数与方程的思想，分类讨论思想，数形结合思想，化归与转化思想，在解决问题的过程中把变量之间的联系用函数关系反映出来，便形成了函数思想，把一系列字母或待求的量通过列方程解方程求值，就是方程的思想，方程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃；对于不同性质的同题用不同的方法或不同的知识加以解决，便有了分类讨论的思想；把代数问题与几何向中的“形”结合起来，或借助于数的精确性来阐明形，或利用”形“的几何直观性来表示数，这就是数形结合的思想把复杂的问题转化为简单的问题，把一般的问题转化为特殊的间题，把尚未解决的问题转化为已解决的间题，把抽象的问题转化为具体的问题等，便形成了转化的思想。数学思想方法与数学
4、基本方法常常在学习，掌握数学知识的同时获得，与此同时，它们又直接对知识的形成起指导作用。因此在平时的学习中，我们应对数学思想方法进行认真的梳理与总结，逐个认识它们的本质特征，逐步自觉地，灵活地将其运用于所需要解决的问题当中。2.1 函数与方程的思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题，方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解，方程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃，有时，还可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问题的目的。函数描述了自然界中数量之
5、间的关系，函数思想通过揭示问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点运用函数与方程思想解题时，往往需要将字母看作变量，将代数式看作函数，利用函数的性质做工具进行分析，或者将一个等式看作某一个未知数的方程，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式，哪里有等式哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的等等；不等式向意也与方程密切相关，面函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数，就可以看作是关于的二元方程可以说，函数的研究离不开方程列方程解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需
6、要重点考虑的一般地，函数思想是通过构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：定义域、值城、单调性奇偶性、同期性、最大值和最小值，图像变换等，要求我们熟练练的是一次函数、二次函数、函数，指数、对数函数、三角西数的其体特性，在解题中，善于挖题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关，对所给的问观察、分析、判断比较深入、充分，全面时。才能产生由此及的联系，构造出函数原型，另外，方程问题、不等式问题和某些代数问也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方i面面t一是借助有关初等函数的性质，解有关求值，解（
7、证明）不等式、解方程以及过论数的取值等问题；二是在同题的研究中，通过建立函数关系成构中间函数，把所研究的题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的，函数是方程与与不等式的中介，他们既有区别又有联系，高考数学试题既有考查函数方程思想的基本概念与基本性质的客视试题，又有从深层次上对于函数与方程思想进行综合考察的主观性试题，解答问题时，没有函数，有时候需要构造函数，再利用导数，探究函数的单调性，最值性，因此，函数的特色是，将问题放置与一个动态的环境去考察，去处理。2.1.1 显化函数关系在方程 不等式 最值数列 圆锥曲线等数学问题当中，将原有隐含的函数关系显现处理，从而充分运用函数知识
8、或函数方法使得问题顺利获解。例题1：设等差数列的前项和为，已知 求中的最大项。讲解：由得到所以所以 由 是关于 的二次函数，知对称轴方程为 又由 得 ，所以当 时 最大评注：数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式，前n项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成n的函数在解等差数列、等比数列问题时，有意识地凸现其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便的解法，且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平当然，本题也可利用等差数列的性质，得 ，从而得 ，由此推测 最大【例2】(2010年高考浙江卷第15题）设为实数，首项为，公差为的等差数列 的前 项和为 ，
9、满足 则的取值范围是_讲解：本题考查等差数列的前项和公式及方程有根的判定，体现了函数与方程的思想由得（ ，即 关于的一元二次方程有解， ，解得 或 【例3】(2008年高考江苏卷第13题）满足条件 的三角形ABC的面积的最大值是_讲解:可设 ，则，根据面积公式得 由余弦定理得 由上两式得 由 得 故当 时， 的最大值为 2.1.2转换函数关系在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切人问题本质，从而使原问题获解【例4】已知函数 ，其中
10、a为常数，若当 时， 有意义，求实数 的取值范围讲解参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把分离出来，重新认识与其他变元的依存关系，利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明”.由 且 得 ，故 。 当 时， 与 都是减函数，因此，函数在 上是增函数，所以故 的取值范围是 评注 发掘、提炼多元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现。本题主客换位后，利用新建函数的单调性巧妙地求出实数 的取值范围。此法也叫主元法。【例5】已知抛物线 的
11、焦点为 是抛物线上的两动点，且 过 两点分别做抛物线的切线，设其交点为 （1） 证明为定值（2） 设 的面积为 ，写出 的表达式，并求出的最小值讲解 （1）证明：由已知条件，得 设 由，得 即 将式两边平方并把 带入得 解式得 ，且有 抛物线方程为 ，求导得 所以过抛物线 上两点的切线方程分别是 即 解出两条切线的交点 的坐标为 ，所以 所以为定值，其值为0（2）由（1）知在 中， 因而 因为分别等于A,B到抛物线准线 的距离，所以 于是 ，由 知 且当 时 取得最小值4评注 ： 在解析几何中考查三角形面积的最值问题是高考的重点和热点，求解的关键是建立面积的目标函数，再求函数最值，至于如何求最
12、值，应视函数式的特点而定，本题运用的方法是利用均值定理放缩。2.1.3 构造函数关系在数学各分支形形色色的问题和综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现，特别要注意的是，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移。【例6】设 ,比较 的大小关系讲解 如果比较 与0或 与1的大小，即用做差法、做商法来解，会较繁杂，不易判断，根据 两数的结构特点可构造函数 ，则 ，若能判断出此函数的单调性，那么就可简捷地比较出的大小， 因为 在 上单调递增，所以 在
13、上单调递减，由此得在上单调递减，故 ，即 【例7】求方程 的解讲解 显然 是方程的一个解，记 ，易证 是偶函数。下面探讨 上的单调性，先考察在 上（除去 外） 是否还有其他解。因为 在 上是增函数，只需考察 在是否是增函数任取 且则因为所以因此得又所以即所以即因此在上为增函数。故 在上为增函数，而所以在 上只有一解 又为偶函数， 在 上只有一解 所以原方程的解集为 评注 是超越方程，此类方程在中学阶段没有一般解法，通过构造函数 ，然后从函数性质的研究中得出结论这是本题的巧妙之处。【例8】设数列 满足 且（1） 证明 （2） 记的前项和分别为 证明 讲解 由知，故，构造函数 则其导数 当时故在上
14、为增函数。所以即所以。构造函数则导数为 当 时 在 上为减函数，故 所以即 故 综上所述 （2）由 得 故数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，所以 因为 ，由（1）的结论有 所以 所以 用错位相减法得 所以 评注通过构造函数，证明不等式 ，本题综合考查了函数、数列、不等式及导数的有关内容。2.1.4 转换方程形式把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸现其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理（如韦达定理，判别式，实根分布的充要条件）使原问题获解，这是方程思想应用的又一方面【例9】直线 与抛物线 交于 两点，过 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 ，求梯形 的面积。讲解 直
15、线 与抛物线 交于 两点，过 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，联立方程组得 消元得 解得 和 所以 梯形的面积为48.【例10】已知函数 满足条件 求讲解 用 代换条件中的 得 因此， 与 满足方程组2- 得 解得 评注 本例实际上是把看作未知数，通过解方程组求得，是方程思想的具体应用。【例11】已知 ，求 的值解法一 由已知条件及正弦的和（差）公式得 所以 从而 解法二 令 ，因为 且 所以得到方程 解这个方程得 评注 上述解法二运用了方程的思想，把已知条件通过变形看作关于 与 （或 ）的方程来求解，从而获得所求的三角表达式的值。【例12】已知函数，当点在函数 图像上时，点 在函数 图
16、像上（1）求 的表达式（2）若为函数 图像上的三点，且满足的实数有且只有两个不同的值，求实数的取值范围讲解 易求出的解析式，问题可转化为一元二次方程的根的分布问题，利用图像可获解。（1）由题意，得令 则并且所以（2）由，于是，上式可化为 问题等价于方程 有且仅有两个不等的实根。记 ，则 在上有两个不等实根的充要条件为 解得评注 本题利用图像法及根与系数关系也可获解，一般涉及一元二次方程的根的分布问题，要结合二次函数的图像进行系统转化，并且要求具体问题具体分析，常见的一元二次方程根的分布规律有：设 的两根为 设 （1）若 则等价条件为 一般地，若 ，则等价条件为 （2）若 ，则等价条件为 特别地
17、，若 ，则等价条件为 若 ，则等价条件为（3）若二次方程在上有且只有一根，则等价条件为 或 或2.1.5构造方程形式分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的方程（组），使原问题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想解决问题非方程问题的极富创造力的一个方程。【例13】已知，且关于的方程 有实根，求与夹角的取值范围。讲解 已知，且关于的方程 有实根，则 ，设与的夹角为， ，所以设与的夹角为的范围是 【例14】已知 ，求函数 的最小值讲解 将原函数变形为 设，该方程有解的充要条件为（1） 或（2） 解得 所以 此时 或评注 本例体现了函数与方程思想的相互转化，相互补充，提供了构造方程（或
18、函数）解题的又一途径，拓展了解题思维的空间，应用方程思想解题时，易误认为方程有两个实根，而从判别式考虑，未注意到是在区间 上有实根，必须用区间上的根的原理解决，审题时应注意两类情况的区别，不可混为一谈。 当然，本题也可利用配方法解： ，其中，根据二次函数的性质可知，当时， 【例15】已知直线与抛物线交于不同的两点 ，问：是否存在，使以为直径的圆过抛物线的焦点？讲解 显然的坐标为 设则，当时只有一个交点不合题意，因此， 将代入得，依题意，是的不想等的两个根。则 以为直径的圆过把 代入中得 ，经检验，适合式。综上所说，为所求。评注 “是否存在符合条件的”，按思路的自然流向应变为“关于的方程是否有解
19、”，另外，解得后，必须经过式的检验，就是说时，与要确实有两个不同的交点。2.1.6 联用函数与方程思想 在解综合题时，解决一个问题常常不止需要一种数学思想，而是多种数学思想方法的联用。例如函数思想与方程思想的联用，它们之间的相互转换使问题一步步获得解决，转换的途径为“函数+方程+函数”或“方程+函数+方程”。 【例16】已知 则有（ ） 解法一 依题设条件有 则是实系数一元二次方程 的一个实根。得 所以 故选 解法二 去分母，移项，两边平方，得 则 故选评注 解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为是的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。【
20、例17】设，若仅有一个常数，使得对于任意的 ，都有 满足方程，这时的取值的集合为_讲解 方程是一个不定方程，可视为函数加以分析解决。由已知得，单调递减，所以当时所以 因为有且只有一个常数符合题意，所以，解得所以的取值的集合为 评注 主要是综合考查数学素养，“对于任意的 ，都有”的意义是“函数在的值域是的子集”，不等式“夹逼原则”求出唯一的常数。【例18】已知函数在区间上有两个零点，则的范围是_ 讲解 设两个零点分别为。则 所以 根据零点的已知范围易得，所求范围为 。变式 求 的范围。讲解 评论 本题若用根的分布列不等式组来做会比较麻烦，以上解法简捷明了。【例19】设为实数，记函数 的最大值为
21、（1） 设 求得取值范围，并把表示为的函数 （2） 求 （3） 试求满足 的所有实数讲解（1）因为所以要使得有意义，必须有 且，即 ，又 且 所以的取值范围是 ，由得 故 （3） 由题意知即为函数的最大值，因为直线 是抛物线的对称轴，所以可分以下几种情况进行讨论；（）当时，函数的图像是开口向上的抛物线的一段，由知，在 上单调递增，故 （）当 时，有 （）当 时，函数的图像是开口向下的抛物线的一段，若 即若 即时，若 ，即时，综上所述：有 （3）当 时， 当时 故 故当 时， 当 时， ，由 知 ，故 当 时，故或 从而有或，从而使必须有即，此时 综上所述，满足 的所有实数为 或评注 本题主要考
22、查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力。【例20】已知直线过点和点 （1）若直线与双曲线 相交于 两点，且线段 的重点坐标为，求 的值（2）对于平面上任一点，当点在线段上运动时，称的最小值为与线段的距离，已知点在轴上运动，写出点到线段的距离关于的函数关系式。讲解 （1）由 得 设 （2）解法一 设线段上任意一点的坐标 记 当 即 时， 当 即时，在1,4上单调递减，当 即时，在1,4上单调递增，；综上所述，解法二过A，B两点分别作线段AB的垂线，交x轴于如图2-1-1所示。 当点P在线段上，即-1t5时,由点到直线的距离公式得； 当点P在
23、点的左边，t-1时， 当点P在点的右边，时，综上所述，评注 第(1)问是运用了方程的思想，解方程组即可，第(2)问实质上是二次函数在限定区间上的最值问题，注意分类求解。【例21】已知（1）若能表示成一个奇函数和一个偶函数的和，求和的解析表达式。（2）若和在区间上都是减函数，求m的取值范围。（3）在(2)的条件下，比较的大小。讲解第(1)小题可从方程的观点解出和；在第(2)小题中，由式和的单调性可得到关于m的一个不等式组；第(3)小题则可借助于函数的单调性进行灵活转化。由题意得所以由得(2)由为减函数得又由在上为减函数，得所以由得，此时故取值范围是（3）易证在上为增函数故又 故评注 一般地，定义
24、在对称区间上的函数总能表示成一个奇函数和一个偶函数之和，实际上，易证 为奇函数， 为偶函数。2.2 分类讨论思想在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合分合”的解决问题的过程，就是分类讨论的思想方法。分类讨论是许多考生的弱点，是高考的热点和难点。分类讨论思想在函数、数列、不
25、等式、解新几何、立体几何、排列组合、概率等数学问题求解中有广泛的应用。2.2.1 分类讨论的原则与方法分类讨论思想是以概念的划分、集合的分类为基础的思想方法，对分类讨论思想要特别注意以下几个方便：1.明确引起分类的原因根据引起分类的原因确定分类的标准才能有的放矢。引起分类的原因主要有：(1)某些概念、定理、性质、法则、公式分类定义或分类给出；(2)含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的“量变”而导致结果发生“质变”；(3)在研究几何问题时，由于图形的变化（图形位置不确定或形状不确定），引起问题结果有多种可能；(4)排列组合问题中含有特殊情况或特殊要求。2.掌握准确分类的方法.能够进行科学
26、的分类，分类时要注意标准统一，不重不漏。正确分类，有以下几个原则：(1) 要有明确的分类标准；(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏；(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行，分大类时有一个统一的标准，每一大类中再分几小类另有统一的标准。3.注意分类结论的整合.分类讨论思想具有明显的逻辑特征，解决这类问题需要有一定的分析能力和分类技巧。但是，在重视分类讨论思想应用的基础上，也应防止“逢参就论”的倾向，能整体处理、可免讨论的就不必自讨苦吃，非“论不可了。【例1】设集合。选择的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有 （ ）A.50种 B.49种 C.48种 D
27、.47种讲解 这是一个计数问题，关键在于对题目的条件如何思考，(1)A和B是非空子集，（2）B中最小的数大于A中最大的数，怎样实现这两个条件?最好的方法是分类讨论。从条件（2）上的“B中最小的数”人手，显然有四种情形：B中最小的数为2。此时A仅有1种选法，即A，而B可以有8种选法，即3，4，5三个元素可以在B中，也可以不在B中。B中最小的数为3，此时A有3种选法，即A ，而B有4种选法，即4，5两个元素可以在B中，也可以不在B中。 B中最小的数为4，此时A有7种选法，即A为的非空子集，面B有2种选法，即5可以在B中，也可以不在B中。 B中最小的数为5，此时A有15种选法，即A为的非空子集，面B
28、仅有1种选法，即5在B中。由以上分析，不同的选择方法共有18+34+72+15x1=49种。【例2】“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的正整数(如34689)，则五位“渐升数”共有126个，若把这些数按从小到大的序排列，则第100个数为_.讲解 按首位来分类：(1)首位是1的五位“渐升数”有个；(2)首位是2的五位“渐升数”有个，其中首位是2,第2位是3的有个，首位是2,第2位是4的有个，故第100个数应是首位是2，第2位是4的五位“渐升数”中最大的一个，即为24789.评注 本题定义了一个新概念“渐升数”。从这一概念可知,0不能成为“渐升数”中的数码。因此，只需考虑19这九个数，按首位从
29、小到大分类，注意到首位是1的有个，首位是2的有个，两者相加已超过100个，因此，可以确定第100个数应是首位为2的，于是再按第2位来分类，从而求得结果。【例3】对有(4)个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体和 (是给定的正整数，且)，再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本。用表示元素和同时出现在样本中的概率，则_;所有 的和等于_.第二空格可分以下情况讨论: 当时; 当时, ; 当,时,，所以.【例4】已知函数的图像与函数 (且)的图像关于直线对称， .若在区间上是增函数，则 实数的取值范围是 讲解 已知函数的图像与函数 (且)的图像关于直线对称，则，记 (1)当时,在区间上是增函
30、数，为增函数，令,要求对称轴,矛盾；(2)当时,在区间上是增函数，为减函数，令,要求对称轴，解得，所以实数的取值范围是，选.【例5】设，函数，试讨论函数的单调性。讲解 对于 当时，函数在上是增函数：当时，函数在上是减函数，在上是增函数对于 ，当时，函数在上是减函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数综上所述：当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数；当时，在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数。【例6】设为实数，函数。 (1)讨论的奇偶性；(2)求的最小值。讲解 (1)当时，函数，此时，为偶函数。当时, 此时既不是奇函数，也不是偶函数(2)当时, ，
31、 (i)若，则函数在单调递减，从而函数在上的最小值为。(ii)若，则函数在在上的最小值为，且。当时，函数.(i)若，则函数在上的最小值为，且。(ii)若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为。综上，当时，函数的最小值为，当时，函数的最小值为：当时，函数的最小值为。评注本题是2002年全国高考题，它的完整解答经历了三次分类讨论的过程：第一次为讨论函数的奇偶性，按，分类；第二次为去掉绝对值符号，按和分类第三次为了求函数的最小值，按，和，分类。【例7】数列的前项和，又，求的前项和。讲解 当时，当时，所以当时，当时，【例8】已知是首项为2，公比为的等比数列，为它的前项和。（1） 用表示;( 2
32、) 是否存在正整数和，使得成立？讲解 (1)由得。（2）要使，只要。因为，所以故只要因为，所以。又，故要使成立，只能取2或3。当时，因为，所以当时，不成立，从而不成立当时，因为，由得故当时，从而不成立。当时，因为所以当时，不成立，从而不成立因为，又，所以当时，从而成立。综上所述，不存在正整数，使成立。评注 本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型，在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想，即对双参数，轮流分类讨论，从而获得答案。【例9】已知其中，。 (1)当时，在上是否存在，使得成立?(2)当方程的根在(0,1)上时，试求的最小值。讲解(1)由，得，则在一1,1上递增
33、且，因此。当时，此时有，即存在，使得成立；当时，此时有，即存在，使得成立；当时，不存在使得成立。（2）设的两根为，则，由于，其中时上述等号成立，所以，由于方程根在(0,1)上，所以，又已知为整数，则，则，则。经检验，的最小值为4。评注 第(1)小题在得到时，针对进行分类讨论，从而使原问题明确化；第(2)小题利用二次函数与二次方程的关系，巧炒地设“两点式”，并且对进行合理搭配后，运用均值不等式将“四元”问题转化为“二元”问题，从而顺利解决难点。【例10】已知函数。（1）设，讨论的单调性；（2）若对任意恒有，求的取值范围讲解(1)的定义域为。对求导数得。当时，在，(0,1)和均大于0，所以在，为增
34、函数；当时，)在，为增函数；当时, 。令解得。当变化时，和的变化情况如下表+-+在，上为增函数，在上为减函数。(2)当时，由(1)知：对任意恒有。当时，取 恒有。当时，对任意恒有且，得。综上，当且仅当时，对任意恒有。评注 含参数的不等式的求解，含参数的二次函数在某区间的最值问题（要考虑开口方向和二次项系数为0这一特殊情形，有时还要讨论对称轴的位置)等，这类由参数值的变化引起的分类讨论问题，一直是高考的热点。导数内容进入高考以来，每年都有多个高考题需要就参数的变化讨论函教的单调性，另外，的单调性的讨论可归结为解不等式，若去掉这一条件，则首先要考虑不等式两边同乘以(除以)正数与负数对不等号方向的影
35、响，按，三类考虑。当时，解不等式，又要考虑，两类。【例11】 如图图2-2-1所示，射线OA为，射线OB为，动点P(x，y)在AOx的内部，PMOA于M，PNOB于N，四边形ONPM的面积恰为.(1)当为定值时，动点P的纵坐标是其横坐标的函数，求这个函数的解析式；(2)根据的取值范围，确定的定义域。讲解 (1)设则，。由动点P在AOx的内部，得.所以，所以 所以。又，代人式消去，并化简得.由，得.(2) 由，得 (i)当时，由不等式解得.(i i)当时，由不等式得,故。(i i i)当时，由不等式得,且，解得，但垂足N必须在射线OB上，否则O，N，P，M四点不能组成四边形，所以还必须满足条件，
36、将它代人函数解析式，得。解得综上所述，当时，定义域为；当时，定义域为；当时，定义域为2,2,2简化或避免分类讨论的途径分类讨论是一种重要的数学思想方法，但有些题若按部就班地分类讨论，解题过程往往复杂、繁琐，若在解题前注意思维策略，适当作一点“技术处理”简化或避免分类讨论，往往能给解题带来事半功倍之效，下面介绍几种常用的简化或避免分类讨论的策略或方法1整体把握，避免分类【例12】(2006年高考北京卷第19题)已知点M(-2,0)，N(2,0)，动点P满足条件，记动点P的轨迹为W.1)求W的方程2)若A、B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.讲解 (1)由知，动点P的轨迹是以M、N为焦点
37、的双曲线的右支，实半轴长。又半焦距，故虚半轴长，所以W的方程为。(2)设A、B坐标分别为，。通常需要对AB与x轴垂直、AB与x轴不垂直进行分类讨论，根据本题特点我们可从整体上把握曲线方程，进而进行适当放缩，避免分类。由已知可得，两式相乘，得，展开并配方，得，于是。当且仅当即时，也即ABx轴时，的最小值为2。【例13】(2011年高考江苏卷第19题)已知是实数，函数，和是，的导函数，若0在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致。(1)设，若函数和在区间上单调性一致，求实数的取值范围；(2) 设且，若函数和在为端点的开区间上单调性一致，求实数的最大值讲解 (1)因函数和在区间上单调性一致，所以
38、，在区间上恒成立，即在区问上恒成立，因，所以在区向上恒成立，所以b2。(3) 因函数和在为端点的开区间上单调性一致，所以在区间I上恒成立，这里I=或I=.令，则.因，所以有两个符号相异的实根，不妨设，。若，由知此时I=，因，而，这与在上恒成立相矛盾,故。所以开区间I应在的左侧，在I内的单调性要么递增，要么递减，要么先增后减。从整体上看，不管哪种情形，只需且即可，由且，并结合，的最大值为。评注 本题由于区间端点不确定，通常需要分三类进行讨论，由于涉及的字母较多，无形之中增加了计算量，这里提供的解法，是从整体上把握问题，有效地避免了繁杂的分类。【例14】(2010年高考全国卷I(文)第21题)已知
39、函数. (1)当时，求的极值；(2)若在(-1,1)上是增函数，求的取值范围。讲解(1)当时，所以在上递减，在上递增。故当时，函数无极大值。(2)因,要使在(-1,1)上是增函数，只需在(-1,1)上恒成立，也即在(-1,1)上恒成立。接下来，如果用二次函数来处理，需对进行分类讨论，如果分离参数，就需要对进行分类讨论。如果能从整体上的最值来把握，则可避免分类。令，则，为可能极值点，所以在-1,1上的最大值为、上的较大值由,解得故当f(x)在(-1.1)上是增函数时，的取值范围是例15、设，函数，求当时，的取值范围.讲解 绝对值问题常需分类，如能利用绝对值的性质，整体把握，就能避免分类因为，所以
40、 当且仅当及时，故的取值范围为例16、已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与相交于两点.当的斜率为时，坐标原点到的距离为（1）求的值；（2）上是否存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立？若成立，求出所有的的坐标与的方程；若不存在，说明理由讲解 （1）因为椭圆的离心率为，故可设.此时直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，故（2）设坐标分别为.注意到直线过轴上得定点，故设直线的方程为，代入椭圆方程中并化简，得，因恒成立，所以假设符合条件得点存在，则在椭圆上，代入整理得因也在椭圆上，故即整理得将的值代入，解得当时，得，直线的方程为当时，得，直线的方程为例17、已知一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离
41、减去它到轴距离的差都是.（1）求曲线的方程；（2）是否存在正数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由解：（1）由抛物线的定义，可得曲线的方程为（2）显然，过点的直线存在着垂直轴的情况但又不含垂直轴的情况，因此为避免分类，可设直线方程为，并设两点的坐标分别为.将直线方程与抛物线方程联立，得，因恒成立，故，.所以.由，故在上恒成立，所以.因对任一直线，都有，故在上恒成立，所以，即.可见，存在正数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有.的取值范围为例18、已知点在曲线上，过点曲线的两条弦，且的斜率分别为，且，试判断直线是否过定点，并证明你的结
42、论解：因动直线的斜率不可能为，故设直线的方程为.又，易知，则，同理可得，代入中，得联立与得，当.因此直线的方程为，所以直线过定点例19、设函数，其中为实数（1）已知函数在处取得极值，求的值；（2）已知不等式对任意的都成立，求实数的取值范围解：（1）因，由及得（2）因对任意的都成立，习惯上，我们往往把它整理成关于的二次不等式：对任意的都成立，这样，就需要对二次项系数进行分类讨论.如以为主元，问题就非常简单了.令，显然，为增函数，于是，对任意的，的充要条件是，解得例20、如图所示，是抛物线上一点，直线过点且与抛物线交于另一点.（1）若直线与过点的切线垂直，求线段的中点的轨迹方程；（2）若直线不过原
43、点且与轴交于点，与轴交于点，试求的取值范围解：（1）见本书“4.4解析几何综合问题”（2）有关线段或线段比的问题，通常要把它转化为坐标问题.如图2-2-2所示，过分别作轴的垂线，垂足分别为，则由平面几何知识得这自然使人想到韦达定理，故设直线为，与联立得，由韦达定理得.而，故由均值不等式得因是不相等的正数，故例21，设集合，.若，则实数的取值范是_解：利用数形结合，对区间端点进行分类，这样显得很麻烦.从反面入手，可避免分类.注意到不可能为空集，故，所以或，当时，只需满足圆与两直线和都没有公共点即可，由，得或，再在或范围内取补集，得例22、已知函数（1）设，求的单调区间；（2）设在区间上至少有一个
44、极值点，求的取值范围解：（1）当时，的根为，所以的单调增区间为；的单调减区间为（2）要使函数在区间上至少有一个极值点，只需函数的图像在区间上与轴有交点且在上方程无等根.为避免分类，考虑问题的反面.的图像在区间上与轴无交点时，有并解得或，取其补集，得.当，方程在区间上无等根，所以，的取值范围为例24、设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质（1）设函数，其中为实数；（）求证：函数具有性质；（）求函数的单调区间（2）已知函数具有性质.给定，设为实数，且，若，求的取值范围.解：（1）（）.因为时，恒成立，所以函数具有性质（）本小题关键是借助二次函数图像分析，以简化分类.设，与的符号相同由二次函数图像分析可知：当时，故此时在区间上递增；当时，图像开口向上，对称轴，而，对于，总有，故此时在区间上递增；当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而当时，故此时在区间上递减；同理得：在区间上递增.综上所述，当时，在区间上递增；当时，在上递减；在上递增（2）本小题如能借助图形分析，不仅可避免烦琐的分类，而且答案显而易见.由已知可知，且都在定义域内，所以，即中点相同，所以要么在区间上，要么在区间上，要么在区间外.因具有性质，即（1）上的情形，所以在上递增.又因为，如图2-2-3所示，由图形可见，所以只能在区间上.故代