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1、矩阵的特征值与特征向量讲解 定义定义若存在常数及非零向量1.特征值与特征向量特征值与特征向量定义定义若若不同特征向量可属于同一个特征值.一个特征向量不能对应于不同特征值.不同特征值对应的特征向量是线性无关的不同特征值对应的特征向量是线性无关的.用数学归纳法证明（见教材）特征值与特征向量间的关系：特征值与特征向量间的关系：两式想减得：(1)因为 ，所以 故故 同一个特征值可以对应着许多不同的特征向量同一个特征值可以对应着许多不同的特征向量即：一个特征向量不能对应于不同特征值即：一个特征向量不能对应于不同特征值同理可得，所以 线性无关 2、相关概念、相关概念称 特征值和特征向量的求法特征值和特征向
2、量的求法（1）求特征方程 0的全部根，即得A的全部特征值（2）对于每个特征值 ，解它对应的齐次线性方程组 的全部非零解。即得关于 的全部特征向量 例例 5.1.3 求矩阵的特征值与特征向量.解解得特征值当时,解方程由得基础解系全部特征向量为当时,解方程由得基础解系全部特征向量为例例 5.1.4求矩阵的特征值与特征向量.解解解解得特征值当时,解方程得基础解系全部特征向量为当时,解方程得基础解系全部特征向量为注意在例注意在例5.1.4与例与例5.1.3中中,特征方程的特征方程的重根所对应的线性无关特征向量的个数重根所对应的线性无关特征向量的个数.定理定理 如果如果A A是是n n阶矩阵阶矩阵,入是
3、入是A A的的mm重特征值，重特征值，则属于入的线性无关的特征向量则属于入的线性无关的特征向量 的个数不超过的个数不超过mm个个 例例5.1.5如果矩阵则称是幂等矩阵.试证幂等矩阵的特征值只能是 0或 1.证明证明 设两边左乘矩阵,得由此可得因为所以有得若是由证明过程可得结论,是的特征值,则的特征值.进而是的特征值例例5.1.6 设设n阶方阵阶方阵A满足满足 （为正交矩阵），（为正交矩阵），则的特征值必为则的特征值必为1 1或或-1-1证明：设证明：设 为的特征值，且为的特征值，且 对上式两边左乘对上式两边左乘 再对其两边左乘再对其两边左乘 由此由此 但但 ，则则或或有关结论有关结论：已知已知
4、为为A的一个特征的一个特征值值，则则（1）必有一个特征值为必有一个特征值为;（2）必有一个特征值为必有一个特征值为;（3）A可逆时，必有一个特征值为可逆时，必有一个特征值为;（4）A可逆时，必有一个特征值为可逆时，必有一个特征值为.（5）则则 必有一个特征值为必有一个特征值为.有关结论有关结论：已知已知为为A的一个特征的一个特征值值，则则(6)与与 A 有相同的特征值有相同的特征值（因为它们有相同的特征多项式）另一方面，由行列式定义另一方面，由行列式定义比较上面两个式子可得比较上面两个式子可得3.两个有用公式两个有用公式(特征方程根与系数的关系特征方程根与系数的关系)称为的迹迹.这里特别地，若
5、A是n阶矩阵，且r(A)=1,则例：例：设设A A是三阶矩阵，它的特征值是一是三阶矩阵，它的特征值是一1 1，0 0，4 4 又知又知A A十十B B2E2E，求，求B B的特征值的特征值.B B的特征值是的特征值是3 3，2 2，一，一2 2 1 1已知已知3 3阶矩阵阶矩阵A A的特征值是的特征值是1 1，一，一2 2，3 3，则，则 的特征值是的特征值是 2.2.设设A A是是3 3阶可逆矩阵，其逆矩阵的特征值为阶可逆矩阵，其逆矩阵的特征值为1/21/2，1/31/3，1/41/4则行列式则行列式 习题习题(一1)(一2)(一3)=一6 44 4已知已知3 3阶矩阵阶矩阵A A的特征值是
6、的特征值是1 1，2 2，一，一1 1设矩阵设矩阵 -2885.D提示：用定义提示：用定义提示提示1.相似矩阵概念相似矩阵概念2.相似矩阵基本性质相似矩阵基本性质3.方阵的对角化含义方阵的对角化含义4.矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件第第5.2节节 相似矩阵和矩阵对角化相似矩阵和矩阵对角化定义定义 设都是阶方阵,若有可逆矩阵使则称是的相似矩阵,或说相似.称为把变成的相似变换矩阵.这时也是的相似矩阵:相似等价.1.相似矩阵概念如果A与对角阵相似，则称A可对角化基本性质(1)相似矩阵有相同的行列式.(2)相似矩阵有相同的迹.(3)相似矩阵有相同的秩.(4)相似矩阵有相同的特征多项式.(5)相似
7、矩阵有相同的特征值.2.相似矩阵基本性质相似矩阵基本性质证明证明设矩阵A与B相似,即有P-1 AP=B(1)(2)显然.(3)(4)由(3)即得.(5)由(4)及迹的定义即得.注意：注意：若若 （），），即是即是A的属于的属于 的特征向量，的特征向量，由于：，由于：从而从而 是是 的属于的属于 的特征向量。的特征向量。由此可见由此可见相似矩阵属于同一特征值的特征向量相似矩阵属于同一特征值的特征向量往往是不同的往往是不同的 例例5.2.1已知与相似,求x,y.解因为相似矩阵有相同的特征值,故与有相同的特征值 2,y,-1.根据特征方程根与系数的关系,有而故x=0,y=1.课堂练习课堂练习定理：定
8、理：设设A,B 都是都是n阶方阵，且阶方阵，且A与与B相似，即相似，即 ，则，则(1)(1)若若A,BA,B均可逆，则均可逆，则 (2)(2)（k为正整数）为正整数）。（3 3）若）若 是是m次多项式，则次多项式，则 证明：由证明：由 知，存在可逆矩阵知，存在可逆矩阵P，使得，使得(1)（2）即即 （k为正整数）为正整数）（3）从而从而 阶方阵定理定理(充要条件)可对角化有个线性无关的特征向量.所谓方阵可以对角化,是指相似.即存在可逆矩阵使 成立.3.矩阵可对角化的矩阵可对角化的条件条件证明设得到即是的对应于特征值的特征向量.因可逆,故线性无关.设线性无关.记则因线性无关,故可逆,即可对角化.
9、推论推论(充分条件充分条件)若若A的的n个特征值互不相等个特征值互不相等,则则A与对角阵相似与对角阵相似(可对角化可对角化).逆不成立,即与对角阵相似的矩阵,特征值不一定互不相等.如果A有k对应的线性无关的特征向量的个数(几何重数)相等,则 A一定可对角化.关的特征向量的个数少于k则A一定不能对角化.如果A有一个k 重特征值,并且所对应的线性无重特征值,只要重数(代数重数)和所推论推论2注意：注意：从上面定理的证明过程可知：若从上面定理的证明过程可知：若A能与对能与对角阵角阵 相似，则相似，则 （1 1）与）与A相似的对角阵的主对角线上的元素恰好相似的对角阵的主对角线上的元素恰好就是就是A的的
10、n个特征值个特征值 （2 2）中的各列中的各列 恰好就是恰好就是A的属于的属于 的特征向量的特征向量 是否可对角化，若可对角化，求可逆阵是否可对角化，若可对角化，求可逆阵P P 因为因为A有有3个不同的特征值，故可对角化个不同的特征值，故可对角化注意：注意：由于齐次线性方程组由于齐次线性方程组 的基的基础解系不唯一，则可逆阵础解系不唯一，则可逆阵P不是唯一的。另外，不是唯一的。另外，由于由于P中的列向量依次是属于对角阵中的列向量依次是属于对角阵 中对角中对角线上相应元素的特征向量，如果将这种对应换线上相应元素的特征向量，如果将这种对应换个次序排列，也可以得到不同的个次序排列，也可以得到不同的P
11、及对角阵。及对角阵。是否可对角化是否可对角化?例例2由于二重根只对应着由于二重根只对应着一个线性无关的特征一个线性无关的特征向量，故不可对角化。向量，故不可对角化。例3有三个不同的特征值对应的特征向量分别为已知求(1)(2)解解又所以(2)即记显然可逆,则有而故例例4 设设 ，且已知，且已知A有三个线有三个线性无关的特征向量，性无关的特征向量，是是A的二重特征值，试的二重特征值，试求可逆的求可逆的P，使得，使得 为对角阵为对角阵 解：由假设知解：由假设知A能对角化，而能对角化，而 是是A的二的二重特征值重特征值,故故(2E-A)x=0的基础解系有的基础解系有2个线性无关的解。个线性无关的解。由
12、由 而而又设又设 是是A的另一个特征值的另一个特征值 对于特征值对于特征值 ，求解，求解 得属于得属于 的两个线性无关的特征向量的两个线性无关的特征向量 对于特征值对于特征值 ，得属于得属于 的一个特征向量：的一个特征向量：于是令：于是令：有有课堂练习课堂练习 1.实对称矩阵的特征值与特征向量实对称矩阵的特征值与特征向量2.实对称矩阵的实对称矩阵的对角化第5.3节 实对称阵的对角化(1)实对称矩阵的特征值都是实数实对称矩阵的特征值都是实数.(2)实对称矩阵对应于实对称矩阵对应于不同特征值不同特征值的的特征向量特征向量必必正交正交.(3)实对称矩阵的重特征值的重数实对称矩阵的重特征值的重数(代数
13、重数代数重数)与对与对应的线性无关的特征向量的个数应的线性无关的特征向量的个数(几何重数几何重数)相相等等.结论1.实对称矩阵的特征值与特征向量实对称矩阵的特征值与特征向量证明：证明：的全部特征值,而可逆阵是由其2.实对称矩阵的实对称矩阵的对角化更进一步，除了可逆的相似变换矩阵P以外，还存在正交相似矩阵，使其与对角阵 相似任一实对称矩阵一定可以对角化.与之相似的对角阵 的对角元素就是对应的特征向量所组成的.任一实对称矩阵 一定可以对角化，与之相似的对角阵的对角元素就是 的全部特征值，而正交阵 ，是由其对应的单位正交特征向量 所组成的为为设设阶实对称矩阵阶实对称矩阵,则必存在正交矩阵则必存在正交
14、矩阵使使其中其中是以是以的的个特征值为对角元的对角阵个特征值为对角元的对角阵.主要结论主要结论定理：定理：方阵为正交阵的列(行)向量都是单位向量,且两两正交.事实上，重根对应的线性无关的特征向量将其斯密特正交化单位化后，还是此重根对应的特征向量（基础解系的线性组合）例例5.3.1求一个正交阵解(1)求特征值:特征值为(2)求特征向量:对于解得线性无关的特征向量为对于解得线性无关的特征向量为(3)特征向量正交化、单位化：用施密特正交化方法正交化取单位化取(4)写出所求正交矩阵:令则 P 是正交阵.并且要特别注意本题的解题方法和步骤要特别注意本题的解题方法和步骤.在下面的用正在下面的用正交变换化二次型为标准形中还要用到类似的方法交变换化二次型为标准形中还要用到类似的方法.习题习题1习题习题2习题习题3提示：首先求出提示：首先求出A的特征值，再由的特征值，再由设A为三阶实对称矩阵，且满足 ，已知r(A)=2,求A的全部特征值及行列式 的值.习题习题45.D提示：用定义提示：用定义课堂练习课堂练习此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢