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1、复变函数泰勒级数展开3.3 3.3 泰勒级数展开泰勒级数展开 通通过过对对幂幂级级数数的的学学习习，我我们们已已经经知知道道一一个个幂幂级级数数的的和和函函数数在在它它的的收收敛敛圆圆的的内内部部是是一一个个解解析析函函数数。现现在在我我们们来来研研究究与与此此相相反反的的问问题题，就就是是：任任何何一一个个解解析析函函数数是是否否能能用用幂幂级级数数来来表表示示？这这个个问问题题不不但但有有理理论论意意义义，而而且且很很有有实实用用价价值值.3.3.2 将函数展开成泰勒级数的方法将函数展开成泰勒级数的方法例例3.3.1 在 的邻域上把 展开。解：函数 的各阶导数 而故 在 领域上的泰勒级数写
2、为易求收敛半径无限大例例3.3.2 在 的邻域把 和 展开。解：函数 的前四阶导数分别为由上可见其四阶导数等于函数本身，因此其高阶导数是前四阶导数的重复。且在 有故有同样的方法，可求得 在 邻域上的泰勒级数容易求得上面两个泰勒级数的收敛半径为无限大。即 Z在全复平面上取值只要有限，上面两个级数就收敛。例例3.3.3 在 的邻域把 展开。解：多值函数 的支点在 现在展开中心 并非支点，在它的邻域上，各个单值互相独立，可以比照单值函数的方法展开，先计算系数 于是可写成 在邻域上的泰勒级数可以求得上式的收敛半径为1。因此上式n0的那一个单值分支叫作 的主值主值。例例3.3.3 在 的邻域把 展开（m
3、不是正整数）。解：先计算展开系数易求其收敛半径为1，故式中在许多的单值分支中，n0那一支即 的那一个叫作 的主值。上式也就是指数为非整数的二项式二项式定理定理。二、当 较复杂时，求 比较麻烦。根据泰勒展式的唯一性，因此通常用间接展开法间接展开法，即利用基本展开公式及幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展开成幂级数，基本展开公式如下：解：利用 有解：解：补充补充 泰勒展开的方法泰勒展开的方法1、替换法、替换法解：第二式中令 即可2、加减法3、多项式乘或除解：将上面两式直接相乘即可。解：利用则4、化成微分方程法解：于是对上逐次求导有令 则依次可得到3.4 解析延拓解析延拓解析延拓是唯一的