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1、2.2 圆的一般方程圆的一般方程第一页，共20页。圆的标准圆的标准(biozhn)方方程程:(x-a)2+(y-b)2=r2指出下面圆的圆心和半径指出下面圆的圆心和半径：(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a0)特征特征(tzhng)：直接看出直接看出(kn ch)圆心与圆心与半径半径 复习复习第二页，共20页。x2 y 2DxEyF0 把把圆的标准方程圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得展开，得-22222202=-+-+rbabyaxyx由于由于(yuy)a,b,r均为常数均为常数结论：任何一个圆方程可以结论：
2、任何一个圆方程可以(ky)写写成下面形式成下面形式 动动手动动手第三页，共20页。1.是不是任何一个形如是不是任何一个形如 x2 y 2DxEyF0 方程都表示方程都表示(biosh)的曲线是圆呢？的曲线是圆呢？思考思考(sko)(sko)2.下列方程表示什么下列方程表示什么(shn me)图形？图形？（1）x2+y2-2x+4y+1=0；（2）x2+y2-2x-4y+5=0；（3）x2+y2-2x+4y+6=0.第四页，共20页。将将左边左边(zu bian)配方，得配方，得（1）当）当时时,它表示它表示(biosh)以以为圆心为圆心(yunxn),以以为半径的圆为半径的圆;D2+E2-4F
3、0第五页，共20页。(2)当当D2E24F0时时，方方程程表表示示一一个个点点 ；(3)当当D2E24F0时，方程时，方程(fngchng)无无实数解实数解,不表示任何图形不表示任何图形所以形如所以形如x2 y 2DxEyF0（D2+E2-4F0）可表示）可表示(biosh)圆的圆的方程方程第六页，共20页。圆的一般方程：圆的一般方程：x2 y 2DxEyF0圆的一般方程圆的一般方程(fngchng)与标准方程与标准方程(fngchng)的关系：的关系：(D2+E2-4F0)（1）a=-D/2，b=-E/2，r=没有没有(mi yu)xy这样的二这样的二次项次项（2）标准方程易于看出圆心）标准
4、方程易于看出圆心(yunxn)与与半径半径一般方程一般方程突出突出形式上形式上的特点：的特点：x2与与y2系数相同并且不等于系数相同并且不等于0；第七页，共20页。例例1、判断下列方程能否、判断下列方程能否(nn fu)表示圆的表示圆的方程方程,若能写出圆心与半径若能写出圆心与半径(1)x2+y2-2x+4y-4=0(2)2x2+2y2-12x+4y=0(3)x2+2y2-6x+4y-1=0(4)x2+y2-12x+6y+50=0(5)x2+y2-3xy+5x+2y=0是是圆心圆心(yunxn)（1，-2）半径）半径3是是圆心（圆心（3，-1）半径）半径不是不是(b shi)不是不是不是不是第
5、八页，共20页。1.已知圆已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为的圆心坐标为(-2,3),半半径为径为4,则则D,E,F分别等于分别等于(dngy)2.2.x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是是圆的方程的充要条件是 练习练习(linx(linx)第九页，共20页。下列下列(xili)方程各表示什么图形方程各表示什么图形?若是若是圆则求出圆心、半径圆则求出圆心、半径.a例例2：第十页，共20页。(1)圆的一般方程与圆的标准(biozhn)方程的联系:一般方程一般方程标准标准(biozhn(biozhn)方程方程小结(xioji)一:第十一页，共20页。举例举例(j
6、l)(j l)例例1：求过三点求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心）的方程，并求出这个圆的半径和圆心(yunxn)坐标坐标.几何几何(j h)方法方法方法一：方法一：yxM1(1,1)M2(4,2)0圆心：两条弦的中垂线的交点圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点第十二页，共20页。因为因为(yn wi)O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在都在圆上圆上（4-a）2+（2-b）2=r2 （a）2+（b）2=r2（1-a）2+（1-b）2=r2解：设所求圆的标准方程为解：设所求圆的标准方程为：（x-a）2+（y-b
7、）2=r2待定系数待定系数(xsh)法法方法方法(fngf)二：二：所求圆的方程为：所求圆的方程为：即（即（x-4）2+（y+3）2=25 a=4b=-3r=5解得解得 举例举例例例1：求过三点求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.第十三页，共20页。举例举例(j l)(j l)例例1：求过三点求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径）的方程，并求出这个圆的半径(bnjng)和圆和圆心坐标心坐标.解：设所求圆的一般方程为解：设所求圆的一般方程为：因为因为(yn wi)
8、O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上，则都在圆上，则 F=0D+E+F+2=04D+2E+F+20=0所求圆的方程为所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0即（即（x-4）2+（y+3）2=25待定系数法待定系数法方法三：方法三：F=0D=-8E=6解得解得第十四页，共20页。小结小结(xioji)(xioji)二二(特殊特殊(tsh)(tsh)情况时情况时,可借助图象求解更简单可借助图象求解更简单)注意注意:求圆的方程时求圆的方程时,要学会根据题目条件要学会根据题目条件,恰恰当选择当选择(xunz)(xunz)圆的方程形式圆的方程形式:若知道或若知道或涉及圆心和半径涉及圆心和半
9、径,我们一般采用我们一般采用圆的圆的标准标准方程方程较简单较简单.若已知若已知三点三点求圆的方程求圆的方程,我们常常采用我们常常采用圆圆的的一般一般方程方程用待定系数法求解用待定系数法求解.第十五页，共20页。1.本节课的主要(zhyo)内容是圆的一般方程,其表达式为(用配方法(fngf)求解)3.给出圆的一般方程,如何求圆心(yunxn)和半径?2.圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程标准方程(圆心,半径)小结第十六页，共20页。几何(j h)方法 求圆心坐标(zubio)（两条直线的交点）（常用弦的中垂线）求半径 （圆心(yunxn)到圆上一点的距离）写出圆的标准方程待定系数法列关于a
10、，b，r（或D，E，F）的方程组解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）小结求圆的方程第十七页，共20页。巩固巩固(gngg)：4-6-32或或-2第十八页，共20页。例例4.已知一曲线是与两定点已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距离距离的比为的比为1/2的点的轨迹的点的轨迹(guj)，求此曲线的方程，求此曲线的方程，并画出曲线，并画出曲线.举例举例(j l)(j l)yx.O.（-1，0）A(3,0)M(x,y)直译直译(zhy)法法第十九页，共20页。练习：练习：已知点已知点P在圆在圆C：上运动上运动(yndng)，求线段，求线段OP的的中点中点M的的轨迹方程。轨迹方程。第二十页，共20页。