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1、第4章傅里叶方法在信号与系统分析中的应用 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望n n4.1 信号取样与取样信号的傅里叶变换信号取样与取样信号的傅里叶变换n n4.2 傅里叶方法在系统分析中的应用傅里叶方法在系统分析中的应用n n4.3 时分复用时分复用n n4.4 无失真传输系统无失真传输系统n n4.5 理想低通滤波器理想低通滤波器n n4.6 调制与解调调制与解调n n4.7 频分复用频分复用n n4.8 因果信号的傅里叶变换因果信号的傅里叶变换n
2、n4.9 时域窗与频域窗时域窗与频域窗本章要点本章要点4.1 信号取样与取样信号的傅里叶变换信号取样与取样信号的傅里叶变换4.1.1 时域取样时域取样n n（1）信号取样的一般问题）信号取样的一般问题取样取样就是从一个连续时间信号就是从一个连续时间信号 中按照一定的时中按照一定的时间间隔提取一系列离散样本值的过程；通过取样得间间隔提取一系列离散样本值的过程；通过取样得到离散信号称为到离散信号称为取样信号取样信号，记为，记为 。n n完成这种取样过程的完成这种取样过程的取样系统模型取样系统模型取样系统模型取样系统模型：图图图图4 41 1 连续信号的取样模型连续信号的取样模型连续信号的取样模型连
3、续信号的取样模型回目录据此模型，取样信号可以表示为：（41）式中 为取样脉冲序列取样脉冲序列取样脉冲序列取样脉冲序列，对等间隔采样，对等间隔采样，对等间隔采样，对等间隔采样，为周期脉冲为周期脉冲为周期脉冲为周期脉冲。对式（对式（对式（对式（4 41 1）两端求傅里叶变换，得）两端求傅里叶变换，得）两端求傅里叶变换，得）两端求傅里叶变换，得 （42）回目录n n（2）冲激取样）冲激取样若取样脉冲 为单位冲激序列，即则由（41）有：（43）回目录由于冲击抽样下抽样脉冲的傅里叶变换仍然是一个周期冲击序列，应用频域卷积定频域卷积定理理，可以得到：(44)回目录n n3）矩形脉冲取样）矩形脉冲取样在矩形
4、脉冲取样的情况下，取样脉冲在矩形脉冲取样的情况下，取样脉冲 是脉幅是脉幅为为E E、脉宽为、脉宽为 、取样角频率为、取样角频率为 的的周期矩形脉周期矩形脉冲冲，它的，它的傅里叶级数的系数傅里叶级数的系数为：为：(45)回目录矩形脉冲取样情况下矩形脉冲取样情况下取样信号取样信号 的频谱的频谱：(4 (46)6)回目录4.1.2 频域取样频域取样频域取样的数学模型为频域取样的数学模型为（4 47 7）对式两端取傅里叶反变换，得：对式两端取傅里叶反变换，得：此式表明，若连续信号的频谱此式表明，若连续信号的频谱 被间隔为被间隔为 频域冲击序列在频域中取样，则在时域等效于连续频域冲击序列在频域中取样，则
5、在时域等效于连续 时限信号时限信号 以以 为周期等幅度的重复。为周期等幅度的重复。回目录图44 频域冲击取样过程与所对应的时域信号波形n n信号取样（离散性）与信号重复（周期性）的对应信号取样（离散性）与信号重复（周期性）的对应信号取样（离散性）与信号重复（周期性）的对应信号取样（离散性）与信号重复（周期性）的对应关系关系关系关系时域时域 频域频域 周期信号周期信号 周期为周期为离散频谱离散间隔离散频谱离散间隔 ：抽样信号抽样间隔抽样信号抽样间隔 重复频谱重复周期重复频谱重复周期 ：回目录周期信号被取样周期信号被取样周期为周期为抽样间隔为抽样间隔为离散频谱被重复离散频谱被重复离散间隔为离散间隔
6、为重复周期为重复周期为4.1.3 取样定理与恢复定理取样定理与恢复定理n n1)时域取样定理与时域恢复定理时域取样定理与时域恢复定理n n时域取样定理时域取样定理：一频带受限的信号 ，其频谱在区间 以外为零，则该信号 可唯一地由其在等间隔 上的样点值 来表示。回目录上述定理表明：为了能够从取样信号 中恢复原信号 ，取样过程必须满足两两个条件个条件：（1）连续信号 必须是带限的，其频谱函数在 各处为零；（2）取样间隔 不能过大，必须保证 （49）回目录n n时域恢复定理时域恢复定理：在满足取样定理的条件下，可以将如下频 域矩形函数 与取样信号的频谱 相乘相乘，从频谱 中无失真的选出选出原信号的频
7、谱 ，恢复恢复了 也就恢复了 。根据如上描述，我们可以写出：（410）回目录式中：且 。对式（410）两边作傅里叶变换，并应用卷积定理有：（411）回目录式中：式中：（4 41212）由式（由式（4 43 3）有）有 （4 41313）回目录将式（将式（4 41212）、（）、（4 41313）代入式（）代入式（4 41111）得：）得：（414）回目录式（414）也称为内扦定理。内插过程如下：。（a）频域滤波过程）频域滤波过程回目录 （b）时域内插过程（）时域内插过程（414）图图 45 频域滤波的物理意义频域滤波的物理意义回目录 2）频域取样定理与频域恢复定理）频域取样定理与频域恢复定理n
8、 n频域取样定理频域取样定理：一个时间受限的信号 ，在持续时间区间 以外为零，则该信号的频谱 可唯一地由其在等间隔 上的样点值 来表示。回目录n n频域恢复定理：频域恢复定理：进行类似于式（414）那样的推导，可以得到频域恢复定理频域恢复定理的如下描述：（415）式中：图图 46 频域取样与恢复原理方框图频域取样与恢复原理方框图回目录4.2 傅里叶方法在系统分析中的应用傅里叶方法在系统分析中的应用n n4.2.1 连续连续LTI系统的频域分析系统的频域分析n n（1）系统函数的意义）系统函数的意义定义零状态响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换之比为LTI系统的系统函数系统的系统函数，并按习惯用
9、表示，即：回目录 或者：（416）根据时域卷积定理时域卷积定理，有：（417）回目录n n（2）系统响应的频域求解）系统响应的频域求解其过程如图47所示：图图47 频域分析示意图频域分析示意图回目录从而有，例：例：已知某系统已知某系统已知某系统已知某系统求激励为求激励为 时的零状态响应。时的零状态响应。解：根据定义可求出解：根据定义可求出n n4.3 时分复用时分复用图49给出了一个时分复用通信系统时分复用通信系统和三路信号时分复用三路信号时分复用的例子。图图49 时分复用系统原理图时分复用系统原理图回目录n n需要说明的几个问题几个问题：（1 1）多路取样器）多路取样器取样周期取样周期取样周
10、期取样周期T T的确定的确定 （418）（2）确定多路取样器取样周期确定多路取样器取样周期T T时的最大传送路数可时的最大传送路数可按下式确定按下式确定最大传输的信号路数最大传输的信号路数最大传输的信号路数最大传输的信号路数:(419)式中式中 是是取样脉冲的宽度取样脉冲的宽度取样脉冲的宽度取样脉冲的宽度（完成一次取样所需要的（完成一次取样所需要的时间）。时间）。回目录n4.4 无失真传输系统无失真传输系统n n4.4.1 失真的概念失真的概念一般情况下，系统的响应波形与激励波形不相同，即说明信号在传输过程中产生了失真。失真有线形失真线形失真和非线性失真非线性失真。线形失真线形失真不产生新的频
11、率成分。回目录n n4.4.2 无失真传输系统无失真传输系统n n所谓所谓无失真传输无失真传输是指系统的输出信号与输入信号是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。这个概念可用公式表述如而没有波形上的变化。这个概念可用公式表述如下：下：（4 42020）图图 411 无失真传输系统方框图无失真传输系统方框图回目录n n一、无失真传输的频域条件一、无失真传输的频域条件对无失真传输系统的转移函数要求（即频域要求）（421）即无失真传输应具备的两个条件两个条件。回目录（1）幅频特性幅频特性为一常数，即：（422
12、）（2）相频特性相频特性是一条过原点的负斜率的直线，即 ；（423）图图 412 无失真传输系统的幅频特性和相无失真传输系统的幅频特性和相频特性频特性回目录n n只要系统具有如图413所示的幅度频率特性和相位频率特性，则该系统对于 来说，就是无失真传输系统 图图 413 实际应用中的无失真传输系统的频实际应用中的无失真传输系统的频 率特性率特性回目录n n二、无失真传输的时域条件二、无失真传输的时域条件n n对式（421）作傅里叶变换，可得出无失无失真传输系统的时域条件真传输系统的时域条件：（424）举例：解释为什么满足上述条件是信号不失真。设输入信号 （425）回目录为不产生相位失真，应使基
13、波与二次谐波得到相同为不产生相位失真，应使基波与二次谐波得到相同的延迟时间，即应有：的延迟时间，即应有：因此因此各谐波分量的相移各谐波分量的相移各谐波分量的相移各谐波分量的相移满足如下关系：满足如下关系：回目录通过无失真传输系统后的输出为通过无失真传输系统后的输出为 可可见见，为为了了使使信信号号传传输输时时不不产产生生相相位位失失真真和和幅度失真，信号通过线性系统时幅度失真，信号通过线性系统时n n谐谐波波的的相相移移必必须须与与其其频频率率成成正正比比，即即相相位位特特性性应应该是一经过原点的直线；该是一经过原点的直线；n n谐波的幅度必须是频率无关的常数。谐波的幅度必须是频率无关的常数。
14、回目录n n4.5 理想低通滤波器理想低通滤波器n n4.5.1 理想低通滤波器的特性理想低通滤波器的特性n n（1）频域特性）频域特性理想低通滤波器理想低通滤波器是一种具有矩形幅度特性和线性相位特性的“理想化”的系统模型，其传输函数特性传输函数特性示于图414。图图414 理想低通滤波器的特性理想低通滤波器的特性回目录n n理想低通滤波器的传输函数理想低通滤波器的传输函数可写为：（426）n n式中：（427）（428）回目录n n（2）时域特性）时域特性对式（对式（4 42626）两端求傅里叶变换，得）两端求傅里叶变换，得理想低通理想低通滤波器的脉冲响应滤波器的脉冲响应为：为：（4 429
15、29）其波形示于图其波形示于图4 41515 图图图图4 415 15 理想低通滤波器的脉冲响应理想低通滤波器的脉冲响应理想低通滤波器的脉冲响应理想低通滤波器的脉冲响应回目录n n随着 时，理想低通滤波器就愈趋于无失真传输系统，这一点亦可由如下关系得以确认：（430）回目录n n4.5.2 信号通过理想低通滤波器信号通过理想低通滤波器n n（1）一般信号通过理想低通滤波器）一般信号通过理想低通滤波器n n有任意输入信号 ，其傅里叶变换傅里叶变换为 ；理想低通滤波器的脉冲响应理想低通滤波器的脉冲响应为 ，相应的传输函数传输函数为 ，该信号通过理想低通滤波器后的响应响应为 ，其傅里叶变傅里叶变换换
16、为 ，则有：（430）回目录从时域看，这个结论也是十分明显的：（431）回目录n n（2）阶跃信号通过理想低通滤波器）阶跃信号通过理想低通滤波器n n设理想低通滤波器的阶跃响应为 ，它可以写成 与单位阶跃函数的卷积积分，即：（432）回目录则 （433）这种积分称为正弦积分正弦积分，常以符号 表示：（434）回目录注意到注意到 是偶函数，有：是偶函数，有：（4 43535）故有：故有：（4 43636）从式（从式（4 43434）可以得到）可以得到理想低通滤波器阶跃响理想低通滤波器阶跃响应的导数：应的导数：（4 43737）回目录n n如果我们定义，由输出由最小值到最大值所需时间为系统的上升时
17、间上升时间 （438）式中：（439）回目录n n（3）矩形脉冲信号通过理想低通滤波器）矩形脉冲信号通过理想低通滤波器则借用式（437）很容易得到理想低通滤波器对矩形脉冲信号的响应：（440）回目录n n波形如图417 图图417 矩形脉冲信号通过理想低通滤波器矩形脉冲信号通过理想低通滤波器后的波形（后的波形（）回目录n n4.5.3 物理可实现滤波器的约束条件物理可实现滤波器的约束条件n n（1）频域约束条件）频域约束条件佩利佩利-维纳准则维纳准则如果一个系统是物理可实现物理可实现的，则要求该系统的冲激响应 满足因果性约束，即 （441）这样的系统称因果系统因果系统回目录n n如果一个因果系
18、统的频率响应的如果一个因果系统的频率响应的模平方可积模平方可积模平方可积模平方可积n n则它的则它的幅频特性幅频特性幅频特性幅频特性必定满足如下关系：必定满足如下关系：（442442）式（式（442442）就是）就是佩利佩利-维纳准则维纳准则，它是系统可实，它是系统可实现的必要条件现的必要条件回目录n n（2）幅频特性和相频特性之间的约束）幅频特性和相频特性之间的约束关系关系n n使用符号函数 ，奇部奇部和偶部偶部之间的关系可表示为（443）回目录 式（式（443443）的傅里叶变换为：）的傅里叶变换为：（443443）（444444）这就是在这就是在4.84.8中将要讨论的中将要讨论的希尔伯
19、特希尔伯特(Hilbert)变变换换回目录n n幅频特性幅频特性 （445445）n n相频特性相频特性 （446446）回目录n n4.5.4 理想滤波器的逼近实现理想滤波器的逼近实现非理非理想滤波器想滤波器 图图419非理想低通滤波器的容限非理想低通滤波器的容限回目录n n4.6 调制与解调调制与解调实现调信号制的系统模型实现调信号制的系统模型 回目录n n解调解调是一个由已调信号 恢复原信号 的过程。它是解调的逆过程，其原理方框图示于423。图图423 解调原理图解调原理图图中：（4 44848）回目录n n为了在接收端省去载波，可考虑在发射信号中加入一定强度的载波信号载波信号，这时发射
20、端的合成信号为：（449）n n这时只要 ，已调信号的包络包络就是 ，使用简单的包络检波器包络检波器就可以从 中提取出包络实现解调，而不需要本地载波，这种技术在民用通信设备中有广泛地应用。回目录n4.7 频分复用频分复用的理论基础是傅里叶变换中的调制性质。频分复用系统的原理性框图示于图425。回目录 图图图图4 42525频分复用频分复用频分复用频分复用系统原理方框图系统原理方框图系统原理方框图系统原理方框图回目录 图图图图4 42525频分复用频分复用频分复用频分复用系统原理方框图系统原理方框图系统原理方框图系统原理方框图回目录n n4.8 因果信号的傅里叶变换因果信号的傅里叶变换n n4.
21、8.1 因果信号的傅里叶变换与希尔伯特变换因果信号的傅里叶变换与希尔伯特变换因果信号的傅里叶变换与希尔伯特变换因果信号的傅里叶变换与希尔伯特变换因果信号因果信号因果信号因果信号是指信号满足如下因果条件的信号：是指信号满足如下因果条件的信号：（4 45050）可将其表示为：可将其表示为：（4 45151）作傅里叶变换可推得作傅里叶变换可推得 回目录n n4.8.2 希尔伯特变换的物理意义希尔伯特变换的物理意义为了方便，记信号 的希尔伯特变换为 ，即：（456）对式（451）两端作傅里叶变换，得：（457）回目录n n式中，（458）n n对对希尔伯特反变换希尔伯特反变换希尔伯特反变换希尔伯特反变
22、换可以写出：可以写出：（459）n n式中：（460）回目录n n4.8.3 希尔伯特变换的性质希尔伯特变换的性质n n1）信号 与其希尔伯特变换 是具有相同的振幅谱。n n2）信号 与它的希尔伯特变换 是正交的，即：（461）回目录n n3）希尔伯特变换的希尔伯特变换是原信号的反号，即：（4 46262）4）卷积的希尔伯特变换满足卷积运算的变换律、结合律，即：（4 46363）回目录n n4.9 时域窗与频域窗时域窗与频域窗n n若窗函数窗函数用下式表示：（4 46464）n n为了使分析覆盖整个时间域，可引入一个平移参数平移参数 ，使窗口在整个时间轴上移动，即：（4 46565）回目录n n基于（基于（4 46565）的傅里叶变换：）的傅里叶变换：（4 46666）称为称为窗口傅里叶变换窗口傅里叶变换n n式（式（4 46666）可写为：）可写为：（4 46767）n n可以将式（可以将式（4 46767）写为如下形式：）写为如下形式：（4 46868）回目录