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1、空间解析几何-第3章-常见的曲面23.5 五种典型的二次曲面五种典型的二次曲面 椭球面椭球面双曲面双曲面单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面抛物面抛物面椭圆抛物面椭圆抛物面双曲抛物面双曲抛物面二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之为三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面二次曲面相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面形状的讨论二次曲面形状的截痕法截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全
2、貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面1.对称性：主平面:三坐标平面主轴:三坐标轴中心:坐标原点2.顶点:(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)轴:2a,2b,2c ()半轴:a,b,c截距:a,b,c3.5.1 3.5.1 椭球面3.范围：4.4.主截线：主截线：平行截割法：平行截割法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截口）的形状，然后加以综合，从而了解考察其交线（即截口）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。曲面的全貌。椭球面椭球面 与三个坐标面的交线与三个坐标面的交线截口是曲面与平面
3、的交线截口是曲面与平面的交线椭球面椭球面椭球面的椭球面的椭球面的椭球面的主截线（主椭圆）主截线（主椭圆）主截线（主椭圆）主截线（主椭圆）椭球面椭球面 与三个坐标面的交线与三个坐标面的交线5.5.平截线：平截线：用用z=hz=h截曲面截曲面用用y=my=m截曲面截曲面用用x=nx=n截曲面截曲面abcyx zo 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化，因此椭球面椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化，因此椭球面椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化，因此椭球面椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化，因此椭球面可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而
4、产生可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生.用平行于用平行于xoyxoy坐标面的平面截割椭球面，得截线的方程为：坐标面的平面截割椭球面，得截线的方程为：，(5)(5)无图形；无图形；由于由于h h是变化的，是变化的，(5)(5)表示一族椭圆，椭圆面可以看成由表示一族椭圆，椭圆面可以看成由一个椭圆变动而生成的，其在变动中始终保持所在的平一个椭圆变动而生成的，其在变动中始终保持所在的平面与坐标面面与坐标面xoyxoy平行平行.，(5)(5)表示两个点表示两个点 ；(5)5)表示一个椭圆，两半轴长分别为表示一个椭圆，两半轴长分别为椭球面的
5、几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成方程可写为方程可写为球面球面截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为旋转椭球面旋转椭球面与与椭球面椭球面的的区别区别：与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.三、椭球面的参数方程上海科技城椭球体玻璃幕墙上海科技城椭球体玻璃幕墙 应用实例：应用实例：3.5.2 3.5.2 双曲面双曲面单叶双曲面单叶双曲面 双叶双曲面双叶双曲面xyoz xyoz单叶双曲面单叶双曲面一、单叶双曲面一、单叶双曲面1 1 对称性（对称性（symmetricsymmetric）关于三坐标平面对称；关于三坐标平面对称；关于三
6、坐标平面对称；关于三坐标平面对称；关于三坐标轴对称；关于三坐标轴对称；关于三坐标轴对称；关于三坐标轴对称；关于坐标原点对称，关于坐标原点对称，关于坐标原点对称，关于坐标原点对称，（0 0 0 0，0 0 0 0，0 0 0 0）为其对称中心）为其对称中心）为其对称中心）为其对称中心.2 2 顶点、与坐标轴的交点和截距顶点、与坐标轴的交点和截距(vertex and intercept)(vertex and intercept)（1 1）单叶双曲面与）单叶双曲面与x x，y y轴分别交于（轴分别交于（aa，0 0，0 0），），（0 0，bb，0 0）而与）而与z z轴无实交点轴无实交点.上述
7、四点称为单叶双曲面的实顶点，上述四点称为单叶双曲面的实顶点，而与而与z z轴的交点（轴的交点（0 0，0 0，cici）称为它的两个虚交点称为它的两个虚交点.（2 2）截距：分别用）截距：分别用y=0,z=0y=0,z=0和和x=0,z=0 x=0,z=0，代入得代入得x,yx,y轴上的截距为轴上的截距为:，；在在z z轴上没有截距轴上没有截距.xyoz3 3 图形的范围图形的范围由方程由方程 知，即曲面存在于椭圆柱面知，即曲面存在于椭圆柱面 之外，从而曲面与之外，从而曲面与z z轴无交点，轴无交点，并且在并且在xoyxoy面的上面的上,下半空间延到无穷远下半空间延到无穷远.xyoz2022/
8、11/174 4 主截线主截线与三坐标平面与三坐标平面z=0z=0，y=0y=0和和x=0 x=0交于三条曲线交于三条曲线xoyxoy面上的面上的椭圆叫做腰椭圆叫做腰椭圆椭圆 yozyoz面面上的双曲上的双曲线线 xozxoz面上面上的双曲线的双曲线 有有共共同同的的虚虚轴和虚轴长轴和虚轴长 (1)(1)用用z=h z=h 截曲面截曲面结论：单叶双曲面可看作由一结论：单叶双曲面可看作由一个椭圆的变动（大小位置都改个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与保持所在平面与xOy xOy 面平行，面平行，且两对顶点分别在两定双曲线且两对顶点分别在
9、两定双曲线上滑动上滑动.用平行于坐标面的平面截割用平行于坐标面的平面截割yx x zO O5 5 平截线平截线y=hyx x zO O(2)(2)用用y=h y=h 截曲面截曲面用平行于坐标面的平面截割用平行于坐标面的平面截割当当 时时截线为双曲线截线为双曲线(2)(2)用用y=h y=h 截曲面截曲面 用平行于坐标面的平面截割用平行于坐标面的平面截割当当 时时截线为双曲线截线为双曲线y=h yx zo用平行于坐标面的平面截割用平行于坐标面的平面截割(2)(2)用用y=h y=h 截曲面截曲面当当 时时截线为双曲线截线为双曲线 用平行于坐标面的平面截割用平行于坐标面的平面截割(2)(2)用用y
10、=h y=h 截曲面截曲面当当 时时截线为双曲线截线为双曲线y=h yx zo当当 时时截线为直线截线为直线用平行于坐标面的平面截割用平行于坐标面的平面截割(2)(2)用用y=h y=h 截曲面截曲面(0,b,0)用平行于坐标面的平面截割用平行于坐标面的平面截割(2)(2)用用y=h y=h 截曲面截曲面当当 时时截线为直线截线为直线当当 时时当当 时时当当 时时单叶双曲面：单叶双曲面：用用y=h y=h 截曲面截曲面byzo此时的单叶双曲面是双曲线此时的单叶双曲面是双曲线此时的单叶双曲面是双曲线此时的单叶双曲面是双曲线 当当 时时,方程方程方程方程绕虚轴（即绕虚轴（即绕虚轴（即绕虚轴（即 z
11、 z z z 轴）旋转形成的轴）旋转形成的轴）旋转形成的轴）旋转形成的.变为变为变为变为byzox单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面是单叶双曲面的特殊情形单叶旋转双曲面是单叶双曲面的特殊情形单叶旋转双曲面是单叶双曲面的特殊情形单叶旋转双曲面是单叶双曲面的特殊情形.当当 时时,方程方程方程方程此时的单叶双曲面是双曲线此时的单叶双曲面是双曲线此时的单叶双曲面是双曲线此时的单叶双曲面是双曲线 绕虚轴（即绕虚轴（即绕虚轴（即绕虚轴（即 z z z z 轴）旋转形成的轴）旋转形成的轴）旋转形成的轴）旋转形成的.变为变为变为变为分析：分析：这一族的椭圆方程为这一族的椭圆方程为即即 从而椭圆焦点坐标
12、为从而椭圆焦点坐标为消去参数消去参数 h h 得得二、双叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面xyoz特别的特别的a=b时时 为旋转双曲面为旋转双曲面双叶双曲面的性质1 1 对称性（对称性（symmetricsymmetric）2 2 与坐标轴的交点及截距与坐标轴的交点及截距(vertex and intercept)(vertex and intercept)双叶双曲面关于三坐标轴（叫做主平面），三坐标面（叫双叶双曲面关于三坐标轴（叫做主平面），三坐标面（叫双叶双曲面关于三坐标轴（叫做主平面），三坐标面（叫双叶双曲面关于三坐标轴（叫做主平面），三坐标面（叫做主轴）及原点（中心）对称，原点为其对称中心做
13、主轴）及原点（中心）对称，原点为其对称中心做主轴）及原点（中心）对称，原点为其对称中心做主轴）及原点（中心）对称，原点为其对称中心（1 1）双叶双曲面与）双叶双曲面与x x轴、轴、y y轴不交，而与轴不交，而与z z轴交于（轴交于（0 0，0 0，cc），此为其实顶点），此为其实顶点.（2 2）用）用x=0,y=0 x=0,y=0代入，得曲线在代入，得曲线在z z轴上的轴上的截距，而在截距，而在x,yx,y轴上无截距轴上无截距.xyoz3 3 图形范围图形范围 ，易知，易知 ，即，即 或或 所以曲面分成两叶，一叶在所以曲面分成两叶，一叶在 的上方，另一叶在的上方，另一叶在 平面的下方，曲面在面
14、的上半空间下半空间延伸到无穷。平面的下方，曲面在面的上半空间下半空间延伸到无穷。xyoz用用y=0 y=0 截曲面截曲面用用x=0 x=0 截曲面截曲面用用z=0 z=0 截曲面截曲面4 4 主截线主截线无交点无交点xy zo5 5 平截线平截线当当 时时,当当 时时,交点坐标交点坐标截线为椭圆截线为椭圆（1 1）用用 截曲面截曲面yx zo结论：双叶双曲面可看作由结论：双叶双曲面可看作由一个椭圆的变动（大小位置一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与变动中，保持所在平面与xOy xOy 面平行，且两轴的端点面平行，且两轴的端点分别在两定双
15、曲线上滑动分别在两定双曲线上滑动.（2 2）用用 截曲面截曲面截线为双曲线截线为双曲线yx zo截线为双曲线截线为双曲线（3 3）用用 截曲面截曲面yx zo五五 单叶双曲面和双叶双曲面的方程的识别：单叶双曲面和双叶双曲面的方程的识别：11两种双曲面的方程的左边都是两种双曲面的方程的左边都是x x，y y，z z的平方项，有正的平方项，有正有负，右边是有负，右边是1 1或或1.1.把方程的右边都化成把方程的右边都化成1 1，则左边有两项正，一项负的，则左边有两项正，一项负的，就表示单叶双曲面就表示单叶双曲面.而左边有两项负，一项正的，就表示而左边有两项负，一项正的，就表示双叶双曲面双叶双曲面.
16、把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1 1的就的就表示单叶双曲面，而右边是表示单叶双曲面，而右边是1 1的，就表示双叶双曲面的，就表示双叶双曲面.22绘图时要注意区分绘图时要注意区分“实轴实轴”和和“虚轴虚轴”，并且保证对坐，并且保证对坐标轴的标注要符合右手系的原则标轴的标注要符合右手系的原则.分析：分析：单叶单叶：双叶双叶：.yx zo 在平面上，双曲线有渐进线。在平面上，双曲线有渐进线。相仿，相仿，单叶双曲面单叶双曲面和和双叶双曲面双叶双曲面有有渐进锥面渐进锥面。用用z=z=h h去截它们，当去截它们，当|h h|无限增大无限增大时，时，双曲
17、面双曲面的截口椭圆与它的的截口椭圆与它的渐进锥渐进锥面面 的截口椭圆任意接近，即：的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。双曲面和锥面任意接近。渐进锥面：渐进锥面：双曲面及其渐进双曲面及其渐进锥面面2022/11/173.5.3 3.5.3 抛物面抛物面椭圆抛物面椭圆抛物面双曲抛物面双曲抛物面xyzo1、椭圆抛物面、椭圆抛物面 方程：方程：设设p、q0,则则 图形在图形在xoy平面上方平面上方与与xoy面的交线面的交线为点（为点（0，0，0）与平面与平面 交线线1、椭圆抛物面、椭圆抛物面yoz例例 将抛物线将抛物线 绕它的对称轴旋转绕它的对称轴旋转yoxz例例 将抛物线将抛物线 绕它的对
18、称轴旋转绕它的对称轴旋转y.oxz例例 将抛物线将抛物线 绕它的对称轴旋转绕它的对称轴旋转旋转抛旋转抛物面物面二、椭圆抛物面的性质二、椭圆抛物面的性质1 1 对称性（对称性（symmetricsymmetric）椭圆抛物面关于椭圆抛物面关于椭圆抛物面关于椭圆抛物面关于z z z z轴对称，轴对称，轴对称，轴对称，z z z z轴为主轴；轴为主轴；轴为主轴；轴为主轴；关于关于关于关于yOzyOzyOzyOz平面，平面，平面，平面，zOxzOxzOxzOx平面对称，这两个平面为主平面；平面对称，这两个平面为主平面；平面对称，这两个平面为主平面；平面对称，这两个平面为主平面；而关于而关于而关于而关于
19、xoyxoyxoyxoy面，面，面，面，x x x x轴，轴，轴，轴，y y y y轴及原点都不对称，且无对称中心轴及原点都不对称，且无对称中心轴及原点都不对称，且无对称中心轴及原点都不对称，且无对称中心.2 2 有界性有界性(bounded(bounded)椭圆抛物面位于椭圆抛物面位于椭圆抛物面位于椭圆抛物面位于xyxyxyxy平面的上方，且在平面的上方，且在平面的上方，且在平面的上方，且在z z z z轴的正向无界轴的正向无界轴的正向无界轴的正向无界.3 3 顶点及截距顶点及截距(vertex and intercept)(vertex and intercept)与三坐标轴均交于原点，此
20、为其顶点；与三坐标轴均交于原点，此为其顶点；与三坐标轴均交于原点，此为其顶点；与三坐标轴均交于原点，此为其顶点；，代后，易知，椭圆抛物面在代后，易知，椭圆抛物面在代后，易知，椭圆抛物面在代后，易知，椭圆抛物面在x x x x轴，轴，轴，轴，y y y y轴轴轴轴,，z z z z轴上的截距都是零。轴上的截距都是零。轴上的截距都是零。轴上的截距都是零。xyzo22用用y=0 y=0 截曲面截曲面33用用x=0 x=0 截曲面截曲面11用用z=0 z=0 截曲面截曲面xzyO4.4.主截线主截线Cx0Cy0 两条主抛物线具两条主抛物线具有相同的顶点有相同的顶点,对对称轴和开口方向称轴和开口方向其为
21、点其为点（0，0，0）xozxoz面上的抛物线面上的抛物线 主主抛抛物线物线yozyoz面上的抛面上的抛物线物线 有相同的定点（有相同的定点（0 0，0 0，0 0）相相同同的的对对称称轴轴z z轴轴，开开口口均均向向z z轴正方向轴正方向xzyO1 1用用z=k(kz=k(k00)截曲面截曲面结论：椭圆抛物面可看作结论：椭圆抛物面可看作由一个椭圆的变动（大小由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在椭圆在变动中，保持所在平面与平面与xOy xOy 面平行，且两面平行，且两对顶点分别在两主抛物线对顶点分别在两主抛物线上滑动上滑动5.5.平截线平截线
22、 当当 时时，为为原点；原点；当当 时，时，为椭圆，其顶点为（为椭圆，其顶点为（0 0，k k），（），（，0 0，k k）.两半轴长为：两半轴长为：,.,.椭圆抛物面是由椭圆抛物面是由xoyxoy平面上方的一系列平面上方的一系列“平行平行”的椭圆构成的，的椭圆构成的，这些椭圆的顶点（这些椭圆的顶点（，0 0，k k）,（0 0，k k）分别在抛物线（分别在抛物线（2 2）和（）和（3 3）上变化）上变化.xzyO用用y=ky=k截曲面截曲面结论：取这样两个抛物线，结论：取这样两个抛物线，它们所在的平面互相垂直，它们所在的平面互相垂直，它们的顶点和轴都重合，且它们的顶点和轴都重合，且两抛物线有
23、相同的开口方向，两抛物线有相同的开口方向，让其中一条抛物线平行于自让其中一条抛物线平行于自己（即与抛物线所在的平面己（即与抛物线所在的平面平行），且使其顶点在另一平行），且使其顶点在另一个抛物线上滑动，那么前一个抛物线上滑动，那么前一抛物线的运动轨迹是一个椭抛物线的运动轨迹是一个椭圆抛物面圆抛物面.用用z=0 z=0 截曲面截曲面用用y=0 y=0 截曲面截曲面用用x=0 x=0 截曲面截曲面 用用z=h z=h 截曲面截曲面用用y=k y=k 截曲面截曲面用用x=t x=t 截曲面截曲面xzy0平行截割法平行截割法主截口主截口辅助截口辅助截口例例 已知椭圆抛物面已知椭圆抛物面S S的顶点在原
24、点，对称面为的顶点在原点，对称面为xOzxOz面与面与yOzyOz面，且过点面，且过点 和和 ，求这个椭圆抛物面的，求这个椭圆抛物面的方程。方程。分析：分析：对称面为对称面为xOz xOz 面与面与yOz yOz 面面且且2、双曲抛物面（马鞍面）、双曲抛物面（马鞍面）方程方程四、双曲抛物面的几何特性与形状 1 1 对称性对称性 （symmetricsymmetric）2 2 有界性有界性 (bounded)(bounded)双曲抛物面关于双曲抛物面关于双曲抛物面关于双曲抛物面关于yozyozyozyoz平面，平面，平面，平面，xozxozxozxoz平面对称，这两个平面称为主平面对称，这两个平
25、面称为主平面对称，这两个平面称为主平面对称，这两个平面称为主平面；关于平面；关于平面；关于平面；关于z z z z轴对称，轴对称，轴对称，轴对称，z z z z轴称为主轴；而关于轴称为主轴；而关于轴称为主轴；而关于轴称为主轴；而关于xoyxoyxoyxoy平面，平面，平面，平面，x x x x轴轴轴轴,y,y,y,y轴及坐标原点均不对称，且无对称中心轴及坐标原点均不对称，且无对称中心轴及坐标原点均不对称，且无对称中心轴及坐标原点均不对称，且无对称中心.双曲抛物面是无界曲线双曲抛物面是无界曲线双曲抛物面是无界曲线双曲抛物面是无界曲线.3 3 截距（截距（interceptinterceptint
26、erceptintercept）曲面在曲面在x x轴轴,y,y轴及轴及z z轴上的截距为零，过坐标原点，坐标原点叫轴上的截距为零，过坐标原点，坐标原点叫做顶点做顶点.xyzoO Ox xz zy y22用坐标面用坐标面用坐标面用坐标面y y y y=0=0=0=0 截割曲面，得截割曲面，得截割曲面，得截割曲面，得33用坐标面用坐标面用坐标面用坐标面x x x x=0=0=0=0 截割曲面，得截割曲面，得截割曲面，得截割曲面，得11用坐标面用坐标面用坐标面用坐标面z z z z=0=0=0=0 截割曲面，得截割曲面，得截割曲面，得截割曲面，得4 4 主截线主截线C Cy y0 0C Cx x0
27、0 两条主抛物线具有相同的顶点两条主抛物线具有相同的顶点和对称轴和对称轴,但开口方向相反但开口方向相反.两相交直线两相交直线抛物线抛物线抛物线抛物线O Ox xz zy y11用平面用平面用平面用平面z=hz=hz=hz=h截割曲面，得截割曲面，得截割曲面，得截割曲面，得5 5 平截面平截面当当h0 h0 h0 时，时，CzhCzh双曲线双曲线实轴平行于实轴平行于x x轴轴实轴平行于实轴平行于y y轴轴O Ox xz zy y22用平面用平面y=t y=t 截曲面，截曲面，得得Cyt抛物线抛物线O Ox xz zy y结论：如果取两个这样的结论：如果取两个这样的结论：如果取两个这样的结论：如果
28、取两个这样的抛物线，它们的抛物线，它们的抛物线，它们的抛物线，它们的所在平面所在平面所在平面所在平面相互垂直相互垂直相互垂直相互垂直，有，有，有，有公共的顶点公共的顶点公共的顶点公共的顶点与轴与轴与轴与轴，而，而，而，而两抛物线的开口两抛物线的开口两抛物线的开口两抛物线的开口方向相反方向相反方向相反方向相反，让其中的一个，让其中的一个，让其中的一个，让其中的一个抛物线抛物线抛物线抛物线平行平行平行平行于自己（即与于自己（即与于自己（即与于自己（即与抛物线所在的平面平行），抛物线所在的平面平行），抛物线所在的平面平行），抛物线所在的平面平行），且使其顶点在另一抛物线且使其顶点在另一抛物线且使其顶
29、点在另一抛物线且使其顶点在另一抛物线上上上上滑动滑动滑动滑动，那么前一抛物线，那么前一抛物线，那么前一抛物线，那么前一抛物线的运动轨迹便是一个双曲的运动轨迹便是一个双曲的运动轨迹便是一个双曲的运动轨迹便是一个双曲抛物面。抛物面。抛物面。抛物面。O Ox xz zy yxzyO双曲抛物面被双曲抛物面被双曲抛物面被双曲抛物面被 xOy xOy xOy xOy 面分割成上、下两部分，上半部分沿面分割成上、下两部分，上半部分沿面分割成上、下两部分，上半部分沿面分割成上、下两部分，上半部分沿x x x x轴的两个方向上升，下半部分沿轴的两个方向上升，下半部分沿轴的两个方向上升，下半部分沿轴的两个方向上升
30、，下半部分沿y y y y 轴的两个方向下降，曲面的轴的两个方向下降，曲面的轴的两个方向下降，曲面的轴的两个方向下降，曲面的大体形状形如马鞍，故双曲抛物面也称作大体形状形如马鞍，故双曲抛物面也称作大体形状形如马鞍，故双曲抛物面也称作大体形状形如马鞍，故双曲抛物面也称作马鞍面马鞍面马鞍面马鞍面。O Ox xz zy y抛物面的方程可以写成统一的形式：抛物面的方程可以写成统一的形式：（）（）当当 时，时，（）表示椭圆抛物面；（）表示椭圆抛物面；当当 时，时，（）表示双曲抛物面（）表示双曲抛物面.双曲抛物面双曲抛物面椭圆抛物面椭圆抛物面注：注：z=xy是经旋转后的双曲抛物面是经旋转后的双曲抛物面xyzo此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢