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1、算法案例一课时 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望1.回顾算法的三种表述：回顾算法的三种表述：自然语言自然语言程序框图程序框图程序语言程序语言（三种逻辑结构）（三种逻辑结构）（五种基本语句）（五种基本语句）2.思考：思考：小学学过的求两个数最大公约数的方法？小学学过的求两个数最大公约数的方法？先用两个公有的质因数连续去除，一直先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来除数连
2、乘起来.1、求两个正整数的最大公约数、求两个正整数的最大公约数（1）求）求25和和35的最大公约数的最大公约数（2）求）求49和和63的最大公约数的最大公约数25（1）5535749（2）77639所以，所以，25和和35的最大公约数为的最大公约数为5所以，所以，49和和63的最大公约数为的最大公约数为72、除了用这种方法外还有没有其它方法？、除了用这种方法外还有没有其它方法？算出算出8256和和6105的最大公约数的最大公约数.辗转相除法（欧几里得算法）辗转相除法（欧几里得算法）观察用辗转相除法求观察用辗转相除法求8251和和6105的最大公约数的过程的最大公约数的过程 第一步第一步 用两数
3、中较大的数除以较小的数，求得商和余数用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=61051+2146结论：结论：8251和和6105的公约数就是的公约数就是6105和和2146的公约数，求的公约数，求8251和和6105的最大公约数，只要求出的最大公约数，只要求出6105和和2146的公约数就可以了。的公约数就可以了。第二步第二步 对对6105和和2146重复第一步的做法重复第一步的做法6105=21462+1813同理同理6105和和2146的最大公约数也是的最大公约数也是2146和和1813的最大公约数。的最大公约数。完整的过程完整的过程8251=61051+2146 6105=2
4、1462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0例例2 用辗转相除法求用辗转相除法求225和和135的最大公约数的最大公约数225=1351+90135=901+4590=452显然显然37是是148和和37的最大公约数，的最大公约数，也就是也就是8251和和6105的最大公约的最大公约数数 显然显然45是是90和和45的最大公约数，也就是的最大公约数，也就是225和和135的最大公约数的最大公约数 思考思考1：从上面的两个例子可以看出计算：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？的规律是什么？S1：用大数除以小数：用大数除以
5、小数S2：除数变成被除数，余数变成除数：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复：重复S1，直到余数为，直到余数为0 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是停止的步骤，这实际上是一个循环结构。一个循环结构。8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0m=n q r用程序框图表示出右边的过程用程序框图表示出右边的过程r=m MOD nm=nn=rr=0?是否1 1、辗转相除法（欧几里得算法）、辗转相除法（欧几里得算法）（1）算理
6、：所谓辗转相除法，就是对于给定）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。公约数。（2 2）算法步骤）算法步骤第一步：输入两个正整数第一步：输入两个正整数m,n(mn).第二步：计算第二步：计算m除以除以n所得的余数所得的余数r.第三步：第三步：m=n,n=r.第四步：若第四步：若r0,则则m,
7、n的最大公约数等于的最大公约数等于m；否则转到第二步否则转到第二步.第五步：输出最大公约数第五步：输出最大公约数m.（3 3）程序框图）程序框图（4 4）程序）程序INPUT “m,n=“;m,nDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND开始开始输入输入m,n r=m MOD n m=nr=0?是是否否 n=r 输出输出m结束结束九章算术九章算术更相减损术更相减损术 算理：算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。数约之。第一步：
8、第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。约简；若不是则执行第二步。第二步：第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。求的最大公约数。2、更相减损术、更相减损术（1）算理）算理：所谓更相减损术，就是对于给：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，
9、然定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。原来两个数的最大公约数。（2）算法步骤）算法步骤第一步：输入两个正整数第一步：输入两个正整数a,b(ab);第二步：若第二步：若a不等于不等于b,则执行第三步；否则转则执行第三步；否则转到第五步；到第五步；第三步：把第三步：把a-b的差赋予的差赋予r;第四步：如果第四步：如果br,那么把那么把b赋给赋给a,
10、把把r赋给赋给b;否否则把则把r赋给赋给a，执行第二步；，执行第二步；第五步：输出最大公约数第五步：输出最大公约数b.（3 3）程序框图）程序框图（4 4）程序）程序INPUT “a,b=“;a,bWHILE ab r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IFWENDPRINT bEND开始开始输入输入a,bab?是是否否 输出输出b结束结束 b=ra=br=a-brb?a=r否否是是例例3 3 用更相减损术求用更相减损术求9898与与6363的最大公约数的最大公约数解：由于解：由于6363不是偶数，把不是偶数，把9898和和6363以大数减小数，以大数减小
11、数，并辗转相减并辗转相减 989863633535636335352828353528287 728287 7212121217 7212114147 77 7所以，所以，9898和和6363的最大公约数等于的最大公约数等于7 7 用更相减损术求两个正数用更相减损术求两个正数8484与与7272的最大公约数的最大公约数 练习：练习：先约简，再求先约简，再求21与与18的最大公约数的最大公约数,然后乘然后乘以两次约简的质因数以两次约简的质因数4例例3、求、求324、243、135这三个数的最大公这三个数的最大公约数。约数。思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个思路分析：求三个数的最大公约数
12、可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。数的最大公约数即为所求。比较辗转相除法与更相减损术的区别比较辗转相除法与更相减损术的区别（1 1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2 2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果）
13、从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为是以相除余数为0 0则得到，而更相减损术则以减数与则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到差相等而得到小结小结1.回顾算法的三种表述：回顾算法的三种表述：自然语言自然语言程序框图程序框图程序语言程序语言（三种逻辑结构）（三种逻辑结构）（五种基本语句）（五种基本语句）案例2、秦九韶算法怎样求多项式怎样求多项式f(x)=xf(x)=x5 5+x+x4 4+x+x3 3+x+x2 2+x+1+x+1当当x=5x=5时的值呢时的值呢？计算多项式计算多项式()=当当x=5的值的值算法算法1：因为因为()=所以所以(5)=55555=312562512
14、5255=3906算法算法2：(5)=55555=5(5555)=5(5(555 )=5(5(5(5+5+)+)+)+=5(5(5(5(5+)+)+)+)+算法算法1：因为因为()=所以所以(5)=55555=3125625125255=3906算法算法2：(5)=55555=5(5555)=5(5(555 )=5(5(5(5+5+)+)+)+=5(5(5(5(5+)+)+)+)+共做了共做了1+2+3+4=10次乘法运算，次乘法运算，5次加法运算。次加法运算。共做了共做了4次乘法运算，次乘法运算，5次加法运算。次加法运算。数书九章数书九章秦九韶算法秦九韶算法设设是一个是一个n 次的多项式次的
15、多项式对该多项式按下面的方式进行改写：对该多项式按下面的方式进行改写：这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即最后的一最后的一项是什么项是什么？这种将求一个这种将求一个n次多项式次多项式f(x)的值转化成求的值转化成求n个一个一次多项式的值的方法，称为次多项式的值的方法，称为秦九韶算法秦九韶算法。算法步骤：算法步骤：第一步：输入多项式次数第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数、最高次项的系数an和和x的值的值.第
16、二步：将第二步：将v的值初始化为的值初始化为an，将，将i的值初始化为的值初始化为1.第三步：输入第三步：输入i次项的系数次项的系数an-i.第四步：第四步：v=vx+an-i,i=i+1.第五步：判断第五步：判断i是否小于或等于是否小于或等于n，若是，则返回第，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值三步；否则，输出多项式的值v。程序框图：程序框图：这是一个在这是一个在秦九韶算法中秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。用循环结构来实现。输入输入an-i开始开始输入输入n,an,xin in 是否成立是否成立.若是，则输若是，则输 出出b b的值；否则，返回
17、第三步的值；否则，返回第三步.第一步，输入第一步，输入a a和和n n的值的值.第三步，第三步，i=i+1.i=i+1.思考思考4:4:按照上述思路，把按照上述思路，把k k进制数进制数 化为十进制数化为十进制数b b的算法的算法步骤如何设计？步骤如何设计？第四步，判断第四步，判断in in 是否成立是否成立.若是，则若是，则输出输出b b的值；否则，返回第三步的值；否则，返回第三步.第一步，输入第一步，输入a a，k k和和n n的值的值.第二步，令第二步，令b=0b=0，i=1.i=1.第三步，第三步，i=i+1.i=i+1.思考思考5:5:上述把上述把k k进制数进制数 化为十进制数化为
18、十进制数b b的算法的程序的算法的程序框图如何表示框图如何表示？开始开始输入输入a，k，nb=0i=1把把a的右数第的右数第i位数字赋给位数字赋给tb=b+tki-1i=i+1in?结束结束是是输出输出b否否思考思考6:6:该程序框图对应的程序如何表述？该程序框图对应的程序如何表述？开始开始输入输入a，k，nb=0i=1把把a的右数第的右数第i位数字赋给位数字赋给tb=b+tki-1i=i+1in?结束结束是是输出输出b否否INPUT aINPUT a，k k，n nb=0b=0i=1i=1t=a MOD10t=a MOD10DODOb=b+t*kb=b+t*k（i-1i-1）a=a10a=a
19、10t=a MOD10t=a MOD10i=i+1i=i+1LOOP UNTIL iLOOP UNTIL in nPRINT bPRINT bENDEND 例例1 1 将下列各进制数化为十进制数将下列各进制数化为十进制数.（1 1）1030310303（4 4）；（2 2）12341234（5 5）.理论迁移理论迁移1030310303（4 4）=14=144 4+34+342 2+34+340 0=307.=307.12341234（5 5）=15=153 3+25+252 2+35+351 1+45+450 0=194.=194.例例2 2 已知已知10b110b1（2 2）=a02=a0
20、2（3 3）,求数字求数字a a，b b的值的值.所以所以2b+9=9a+22b+9=9a+2，即，即9a-2b=7.9a-2b=7.10b110b1（2 2）=12=123 3+b2+1=2b+9.+b2+1=2b+9.a02a02（3 3）=a3=a32 2+2=9a+2.+2=9a+2.故故a=1a=1，b=1.b=1.1.k 1.k进制数使用进制数使用0 0（k-1k-1）共）共k k个数个数字，但左侧第一个数位上的数字（首位字，但左侧第一个数位上的数字（首位数字）不为数字）不为0.0.小结小结 2.2.用用 表示表示k k进制数，其进制数，其中中k k称为基数，十进制数一般不标注基数称为基数，十进制数一般不标注基数.3.3.把把k k进制数化为十进制数的一般算进制数化为十进制数的一般算式是：式是：