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1、定积分的应用教学课件定积分的应用教学课件我们知道：我们知道：ab xyo其面积为：其面积为：解解(1)画图，取画图，取y y为积分变量为积分变量.解方程组解方程组得积分区间得积分区间(2)确定积分区间确定积分区间:(3)确定左右曲线确定左右曲线:(4)求求面积元素：面积元素：(5)计算积分：计算积分：旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台3.9.2.2 旋转体的体积旋转体的体积xyo旋转体的体积为旋转体的体积为 解解 (1)画图，确定积分区间画图，确定积分区
2、间:案例案例3.69 计算由直线计算由直线 、直线、直线x=hx=h及及x x轴围成的直角三角形绕轴围成的直角三角形绕x x轴旋转而成的圆锥体体轴旋转而成的圆锥体体积积(2)求体积元素：求体积元素：(3)计算积分：所求圆锥体的体积为计算积分：所求圆锥体的体积为 解解 这个旋转椭球体也可以看作这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆是由半个椭圆 及及x x轴围成的图形绕轴围成的图形绕x x轴旋转而成轴旋转而成的立体的立体.(1)画图，确定积分区间画图，确定积分区间:(2)求体积元素：求体积元素：(3)计算积分：所求椭球体的体积为计算积分：所求椭球体的体积为 特殊地，当特殊地，当 时，得球体的体积公式
3、：时，得球体的体积公式：解解体积元素体积元素选选 y 为积分变量为积分变量两曲线的交点两曲线的交点3.9.3.1 变力作功变力作功3.9.3 .3 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 任务任务9-3：定积分在物理上的应用：定积分在物理上的应用 案例案例3.733.73 已知弹簧每拉长已知弹簧每拉长0.02m要用要用9.8N的力，求把弹簧的力，求把弹簧拉长拉长0.1m m所作的功所作的功.解解 由胡克定律，在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧由胡克定律，在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力所需的力F F和弹簧的伸长量（或压缩量）成正比，即和弹簧的伸长量（或压缩量）成正比，即 其中其中k k
4、为比案例系为比案例系数数 由题设由题设x=0.02mx=0.02m时，时，F=9.8NF=9.8N，所以所以k=490k=490，则，则F=490 xF=490 x.(1)建立坐标系如图建立坐标系如图.取伸长量取伸长量x x为积分变量为积分变量 (2)确定积分区间确定积分区间:(3)(3)求功元素求功元素:(4)计算积分：计算积分：所求的功为所求的功为=2.45(J)点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停解解(1)建立坐标系如图建立坐标系如图 (2)确定积分区间确定积分区间:(3)求功元素：求功元素：这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为功元素为功元素为(J)(4)计算积分：所求的功为计算
5、积分：所求的功为 3.8.3.2 液体的压力解解 挡板的一个端面是圆，与水接触的是下半圆挡板的一个端面是圆，与水接触的是下半圆.(1)建立坐标系如图建立坐标系如图(2)确定积分区间：确定积分区间：(3)求压力元素：求压力元素：(4)计算积分：计算积分：所求压力为所求压力为(N)案例案例3.76 一水库闸门呈倒置的等腰梯形垂直地一水库闸门呈倒置的等腰梯形垂直地位于水中，两底的长度分别为位于水中，两底的长度分别为4m和和6m，高为，高为6m，当闸门上底正好位于水面时，求闸门一侧，当闸门上底正好位于水面时，求闸门一侧受到的水压力（水密度为受到的水压力（水密度为10 3 kg/m 3）.yxoABxx
6、+dx解解 (1)建立坐标系如图，建立坐标系如图，则直线则直线AB的方程为的方程为(3)(3)压力元素为压力元素为 dP=gx2ydx(2)确定积分区间：确定积分区间：x0，6(4)计算积分：计算积分：所求压力为所求压力为 3.9.4 定积分在经济中的应用定积分在经济中的应用 由于总函数（如总成本、总收益、总利润等）由于总函数（如总成本、总收益、总利润等）的导数就是边际函数（边际成本、边际收益、边际的导数就是边际函数（边际成本、边际收益、边际利润等），当已知初始条件时，可用定积分求出总利润等），当已知初始条件时，可用定积分求出总函数函数.3.9.4.1 由边际函数求总函数由边际函数求总函数任务
7、任务9-4：定积分在经济中的应用：定积分在经济中的应用 案例案例3.72 设某产品在时刻t总产量的变化率为f(t)=100+12t-0.6t2(单位/小时)，求从t=2到t=4这两小时的总产量.解解 因为总产量P(t)是它的变化率的原函数,所以从t=2到t=4这两小时的总产量为=260.8(单位)案例案例3.73 已知某产品的边际成本函数为已知某产品的边际成本函数为 固定成本为固定成本为1000元，求总成本函数元，求总成本函数 .解解案例案例3.74 已知生产某商品x单位时,边际收益函数为(元/单位)，试求生产x单位时总收益以及平均收益.并求生产这种商品2000单位时的总收益和平均收益.解解
8、因为总收益是边际收益函数在0,x上的定积分,所以生产x单位时总收益为则平均单位收益 当生产2000单位时,总收益为 R(2000)=360000(元)平均单位收益为 按照需求-供给模型，随着商品数量的增加，消费者愿意支付的价格是下降的.在需求与供给的均衡点,当市场上产品的数量为q*，则市场价格为p*=pd(q*).市场机制使得消费者以总费用R=p*q*得到q*单位商品.设想q*单位商品不是一个单位一个单位地投放市场.对第一个单位商品，消费者愿意出价pd(1)；这样，购买该单位商品总费用是pd(1)；对第二个单位商品，消费者愿意出价pd(2)；这样，购买该单位商品总费用是pd(2)；按照这种思路
9、，消费者愿意出价pd(i)购买第i单位商品.所以，消费者实际上是以pd(1)+pd(2)+pd(q*)购得这q*单位商品的.这中间有个差额：在经济学中被称为消费者剩余，如图所示.3.9.4.2 由供需函数求消费者剩余由供需函数求消费者剩余如果商品单位数很大，需求曲线p=pd(q)下的面积A就是消费者原本应该支付的费用：就是消费者剩余.“剩余”实际上是表示“我们得到的大于我们所支付的代价”，或者说，消费者剩余代表了消费者得到的、超过他们为商品支付的代价的额外效用.而“效用”这个概念，在经济学上表示消费者从某种商品中所得到的有用性质或满足的量.这种额外的好处根源于边际效用递减规律.而量 案例案例3.753.75 假设某种商品的需求集和供给集分别是 通过求解这两个集的交，可以得到均衡价格p*=12和均衡量q*=200.在这种情况下，需求反函数为 消费者剩余为 案案例例3.76 如果某种商品的需求函数和供给函数分别是试计算消费者剩余CS.解解 可以看出：需求反函数为均衡量q*满足方程 解得q*=10，因此均衡价格p*=21.消费者剩余