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1、平面向量的概念及线性运算 (4)(4)平行向量：方向平行向量：方向 或或 的的 向量向量.平平 行向量又称为行向量又称为 ，任意一组平行向量都，任意一组平行向量都 可以平移到同一条直线上可以平移到同一条直线上.规定：规定：0 0与任一向量与任一向量 .（5 5）相等向量：长度）相等向量：长度 且方向且方向 的向量的向量.(6)(6)相反向量：长度相反向量：长度 且方向且方向 的向量的向量.相同相同相反相反非零非零共线向量共线向量平行平行相等相等相同相同相反相反相等相等典型例题典型例题 深度剖析深度剖析【例例1 1】下列命题正确的是】下列命题正确的是 （写出正确的所有（写出正确的所有 序号）序号
2、）.若若a a与与b b共线，共线，b b与与c c共线，则共线，则a a与与c c也共线；也共线；任意两个相等的非零向量的始点与终点是一任意两个相等的非零向量的始点与终点是一 平行四边形的四个顶点；平行四边形的四个顶点；若向量若向量a a与与b b不共线，则不共线，则a a与与b b都是非零向量；都是非零向量；有相同起点的两个非零向量不平行。有相同起点的两个非零向量不平行。熟练掌握向量的有关概念并进行判断熟练掌握向量的有关概念并进行判断.分析分析解解析析 由由于于零零向向量量与与任任一一向向量量都都共共线线，所所以以不不正正确确；由由于于数数学学中中研研究究的的向向量量是是自自由由向向量量，
3、所所以以两两个个相相等等的的非非零零向向量量可可以以在在同同一一直直线线上上，而而此此时时就就不不可可能能构构成成四四边边形形，根根本本不不可可能能是是一一个个平平行行四四边边形形的的四四个个顶顶点点，所所以以不不正正确确；向向量量的的平平行行只只要要方方向向相相同同或或相相反反即即可可，与与起起点点是是否否相相同同无无关关，所所以以不不正正确确；对对于于，其其条条件件以以否否定定形形式式给给出出，所所以以可可从从其其逆逆否否命命题题来来入入手手考考虑虑，假假若若a a与与b b不不都都是是非非零零向向量量，即即a a与与b b至至少少有有一一个个是是零零向向量量，而而由由零零向向量量与与任任
4、一一向向量量都都共共线线，可可有有a a与与b b共共线线，不不符符合合已已知知条条件件，所所以以有有a a与与b b都都是是非非零零向向量量，所所以以应应选选.答案答案 跟踪练习跟踪练习1 1 （20102010常州模拟）常州模拟）给出下列命题给出下列命题 向量向量ABAB的长度与向量的长度与向量BABA的长度相等；的长度相等；向量向量a a与向量与向量b b平行，则平行，则a a与与b b的方向相同或相的方向相同或相 反；反；两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相 同；同；两个有共同终点的向量，一定是共线向量；两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
5、向量向量ABAB与向量与向量CDCD是共线向量，则点是共线向量，则点A A、B B、C C、D D必在同一条直线上；必在同一条直线上；有向线段就是向量，向量就是有向线段有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为其中假命题的个数为 .解析解析 中，中，向量向量ABAB与与BABA为相反向量，为相反向量，它们的长度相等，它们的长度相等，此命题正确此命题正确.中若中若a a或或b b为零向量，则满足为零向量，则满足a a与与b b平行，但平行，但a a与与b b的方向不一定相同或相反，的方向不一定相同或相反，此命题错误此命题错误.由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，由相等向量的定义知
6、，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，且起点相同，则其终点也必定相同，该命题正该命题正确确.由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，则不一定共线，该命题错误该命题错误.共线向量是方向相同或相反的向量，共线向量是方向相同或相反的向量，若若ABAB与与CDCD是共线向量，则是共线向量，则A A、B B、C C、D D四点不四点不一定在一条直线上，一定在一条直线上，该命题错误该命题错误.零向量不能看作是有向线段，零向量不能看作是有向线段，该命题错误该命题错误.答案答案 4 4【例例2 2】如图所示，若四边形】如图所示，若四边形AB
7、CDABCD是是 一个等腰梯形，一个等腰梯形，ABDCABDC，MM、N N分分 别是别是DCDC、ABAB的中点，已知的中点，已知AB=AB=a a，AD=AD=b b，DC=DC=c c，试用，试用a a、b b、c c表示表示BCBC，MNMN，DN+CN.DN+CN.结合图形性质，准确灵活运用三角形法则结合图形性质，准确灵活运用三角形法则 和平行四边形法则是向量加减运算的关键和平行四边形法则是向量加减运算的关键.解解 BC=BA+AD+DC=-BC=BA+AD+DC=-a a+b b+c c，MN=MD+DA+AN MN=MD+DA+AN，MD=-DC,DA=-AD,AN=AB,MD=
8、-DC,DA=-AD,AN=AB,MN=MN=a a-b b-c c.DN+CN=DM+MN+CM+MN=DN+CN=DM+MN+CM+MN=2 2MN=MN=a a-2 2b b-c c.分析分析跟踪练习跟踪练习2 2 （20102010安徽合肥模拟）安徽合肥模拟）已知平面上已知平面上 不共线的四点不共线的四点O,A,B,C.O,A,B,C.若若OA-OA-4 4OB+OB+3 3OC=OC=0 0，则，则 .解析解析 OA-OA-4 4OB+OB+3 3OCOC=0 0，（OA-OBOA-OB）-3 3OB+OB+3 3OC=OC=0 0，即，即OA-OB=OA-OB=3 3（OB-OCO
9、B-OC），），BA=BA=3 3CB.=CB.=3 3.3 3【例例3 3】（20092009湖南改编）湖南改编）如图，如图，D D、E E、F F分别分别 是是ABCABC的边的边ABAB、BCBC、CACA的中点，则的中点，则AD+BE AD+BE +CF=+CF=.解析解析 AD+BE+CFAD+BE+CF =AB+BC+CA =AB+BC+CA =（AB+BC+CAAB+BC+CA）=0 0.0 0跟踪练习跟踪练习3 3 如图所示，在平行四边如图所示，在平行四边 形形ABCDABCD中，中，MM，N N分别为分别为DCDC，BCBC 的中点，已知的中点，已知AM=AM=c c，AN=
10、AN=d d，试用，试用 c c，d d表示表示ABAB，AD.AD.解解 方法一方法一 设设AB=AB=a a，AD=AD=b b，则则a a=AN+NB=AN+NB=d d+（b b）b b=AM+MD=AM+MD=c c+（a a）将将代入代入得得a a=d d+（）c c+（a a）即即a a=d d-c c，代入，代入 得得b b=c c+（）（）（d d-c c）=c c-d d.即即AB=AB=d d-c c，AD=AD=c c-d d.方法二方法二 设设AB=AB=a a，AD=AD=b b.因为因为MM，N N分别为分别为CDCD，BCBC的中点，的中点，所以所以BN=BN=
11、b b，DM=DM=a a，c c=b b+a aa a=(=(2 2d d-c c)d d=a a+b bb b=(=(2 2c c-d d),),即即AB=AB=（2 2d d-c c）,AD=(,AD=(2 2c c-d d).).因而因而,解得解得【例例4 4】（】（1414分）设两个非零向量分）设两个非零向量a a与与b b不共线，不共线，（1 1）若）若AB=AB=a a+b b,BC=,BC=2 2a a+8 8b b,CD=,CD=3 3(a a-b b).).求证：求证：A A、B B、D D三点共线；三点共线；（2 2）试确定实数）试确定实数k k，使，使k ka a+b
12、b和和a a+k+kb b共线共线.解决点共线或向量共线问题，就要根据解决点共线或向量共线问题，就要根据 两向量共线的条件两向量共线的条件a a=b b(b b0 0).).解题示范解题示范 （1 1）证明证明 AB=AB=a a+b b,BC=,BC=2 2a a+8 8b b,CD=,CD=3 3(a a-b b),),BD=BC+CD=BD=BC+CD=2 2a a+8 8b b+3 3(a a-b b)=2 2a a+8 8b b+3 3a a-3 3b b=5 5(a a+b b)=)=5 5AB.AB.AB AB、BDBD共线，共线，4 4分分 分析分析又又它们有公共点它们有公共点
13、B B，AA、B B、D D三点共线三点共线.6 6分分（2 2）解解 kka a+b b与与a a+k+kb b共线，共线，存在实数存在实数，使，使k ka a+b b=(a a+k+kb b),),即即k ka a+b b=a a+k kb b.（k-k-）a a=（k-k-1 1）b b.1010分分a a、b b是不共线的两个非零向量，是不共线的两个非零向量，k-k-=k-k-1 1=0 0，kk2 2-1 1=0 0.k=k=1 1.1414分分跟踪练习跟踪练习4 4 设设O O是是ABCABC内部的一点，且内部的一点，且 OA+OA+2 2OB+OB+2 2OC=OC=0 0，则，
14、则ABCABC和和OBCOBC的面积之的面积之 比为比为 .解析解析 如图所示，延长如图所示，延长AOAO交交BCBC于点于点D D，过点，过点C C作作 CEOB CEOB，交，交AOAO的延长线于点的延长线于点E E，连结，连结BE.BE.OA+OA+2 2OB+OB+2 2OC=OC=0 0，OA=-OA=-2 2（OB+OCOB+OC）=-=-2 2OEOE，而而OE=OE=2 2ODOD，OA=-OA=-4 4ODOD，|OAOA|=4|4|ODOD|.设设A A、O O到到BCBC的距的距 离分别是离分别是h,hh,h1 1，则，则 又又ABCABC与与OBCOBC同底，同底，=5
15、1.=51.5151思想方法思想方法 感悟提高感悟提高高考动态展望高考动态展望目目前前对对平平面面向向量量知知识识的的考考查查力力度度逐逐步步加加强强，主主要要是是关关于于向向量量的的基基本本概概念念及及其其相相关关的的基基本本理理论论的的考考查查.本节知识点的考查多以客观题形式出现本节知识点的考查多以客观题形式出现.方法规律总结方法规律总结1 1.将将向向量量用用其其他他向向量量（特特别别是是基基向向量量）线线性性表表 示示，是是十十分分重重要要的的技技能能，也也是是向向量量坐坐标标形形式式的的 基础基础.2 2.首首尾尾相相连连的的若若干干向向量量之之和和等等于于以以最最初初的的起起点点为
16、为 起起点点，最最后后的的终终点点为为终终点点的的向向量量；若若这这两两点点重重 合，则和为零向量合，则和为零向量.3 3.通通过过向向量量的的共共线线可可以以证证明明三三点点共共线线及及多多点点共共 线线，但但要要注注意意到到向向量量的的平平行行与与直直线线的的平平行行的的区区 别别.定时检测定时检测一、填空题一、填空题1 1.（20102010苏州模拟苏州模拟）如图所示，在平行四边形）如图所示，在平行四边形 ABCD ABCD中，下列结论中正确的是中，下列结论中正确的是 .AB=DCAB=DC AD+AB=ACAD+AB=AC AB-AD=BDAB-AD=BD AD+CB=AD+CB=0
17、0 解析解析 显然正确；由平行四边形法则知显然正确；由平行四边形法则知正正 确；确；AB-AD=DBAB-AD=DB，故，故不正确；不正确；中中 AD+CB=AD+DA=AD+CB=AD+DA=0 0.2 2.（20102010徐州模拟）徐州模拟）设四边形设四边形ABCDABCD中，有中，有DC=DC=AB,AB,且且|ADAD|=|BCBC|,则这个四边形是则这个四边形是 .解析解析 由由DC=ABDC=AB知四边形知四边形ABCDABCD是梯形，又是梯形，又|ADAD|=|BCBC|，所以四边形，所以四边形ABCDABCD是等腰梯形是等腰梯形.等腰梯形等腰梯形3 3.（20082008全国
18、全国理）理）在在ABCABC中，中，AB=AB=c c，AC=AC=b b，若点，若点D D满足满足BD=BD=2 2DCDC，则，则AD=AD=（用（用 b b,c c表示）表示）.解析解析 如图所示如图所示,在在ABCABC中中,AD=AB+BD.,AD=AB+BD.又又BD=BD=2 2DC,BD=BC.DC,BD=BC.BC=AC-AB=BC=AC-AB=b b-c c,AD=AB+BC AD=AB+BC =c c+(+(b b-c c)=)=b b+c c.4 4.（2 20 01 10 0泰泰州州模模拟拟）如如图图所所示示，平平面面内内的的两两条条相相 交交直直线线O OP P1
19、1和和O OP P2 2将将该该平平面面分分割割成成四四个个部部分分、（不不包包括括边边界界）.若若O OP P=a aO OP P1 1+b bO OP P2 2,且且 点点P P落落在在第第部部分分，则则实实数数a a，b b满满 足足a a 0 0,b b 0 0.(用用“”,“”,“0 0,b b 5 5.（20092009江苏南京二模）江苏南京二模）设设OB=xOA+yOCOB=xOA+yOC，且，且A A、B B、C C三点共线（该直线不过端点三点共线（该直线不过端点O O）,则则x+y=x+y=.解析解析 AA、B B、C C三点共线三点共线,存在一个实数存在一个实数,使使AB=
20、AB=ACAC，即，即OB-OA=OB-OA=（OC-OAOC-OA）.OB=OB=（1 1-）OA+OA+OC.OC.又又OB=xOA+yOCOB=xOA+yOC，x+y=x+y=（1 1-）+=1 1.1 16 6.（20092009广东茂名一模）广东茂名一模）在在ABCABC中，已知中，已知D D是是 AB AB边上的一点，若边上的一点，若AD=AD=2 2DB,CD=CA+DB,CD=CA+CB,CB,则则=.解析解析 由图知由图知CD=CA+AD CD=CA+AD CD=CB+BD CD=CB+BD 且且AD+AD+2 2BD=BD=0 0.+2 2得得3 3CD=CA+CD=CA+
21、2 2CB,CB,CD=CA+CB,CD=CA+CB,=.=.7.7.（20092009浙江改编）浙江改编）设向量设向量a,ba,b满足：满足：|a a|=3 3，|b b|=4 4,a ab b=0 0,以以a a，b b,a a-b b的模为边长构成三角的模为边长构成三角 形，则它的边与半径为形，则它的边与半径为1 1的圆的公共点个数最多的圆的公共点个数最多 为为 .解析解析 由由|a a|=3 3,|b b|=4 4及及a ab b=0 0知知a ab b，故故a a，b b,a a-b b构成直角三角形，且构成直角三角形，且|a a-b b|=|=5 5.又其内切圆半径为又其内切圆半径
22、为 =1 1.如图所示如图所示.将内切圆向上或向下平移可知该圆与该将内切圆向上或向下平移可知该圆与该 直角三角形最多有直角三角形最多有4 4个交点个交点.4 48.8.（20092009北京改编）北京改编）设设D D是正是正PP1 1P P2 2P P3 3及其内部及其内部 的点构成的集合，点的点构成的集合，点P P0 0是是PP1 1P P2 2P P3 3的中心的中心.若集若集 合合S=S=P P|PD,PD,|PPPP0 0|PPPPi i|,i=,i=1,2,31,2,3，则集合，则集合 S S表示的平面区域是表示的平面区域是 .解析解析 如图所示，如图所示，ABAB、CDCD、EFE
23、F分分 别为别为P P0 0P P1 1、P P0 0P P2 2、P P0 0P P3 3的垂直平分的垂直平分 线，且线，且ABAB、CDCD、EFEF分别交分别交P P1 1P P2 2、P P2 2P P3 3、P P3 3P P1 1于点于点A A、C C、D D、E E、F F、B.B.若若|PPPP0 0|=|PPPP1 1|，则点，则点P P在线段在线段ABAB上，若上，若|PPPP0 0|PPPP1 1|,则点则点P P在梯形在梯形ABPABP3 3P P2 2中中.同理，若同理，若|PPPP0 0|PPPP2 2|，则点，则点P P在梯形在梯形CDPCDP3 3P P1 1
24、中中.答案答案 六边形区域六边形区域若若|PPPP0 0|PPPP3 3|，则点，则点P P在梯形在梯形EFPEFP1 1P P2 2中中.综上可知，综上可知，若若|PPPP0 0|PPPPi i|,i=,i=1,2,31,2,3,则点则点P P在六边形在六边形ABFEDCABFEDC中中.9.9.（20092009山东改编）山东改编）设设P P是是ABCABC所在平面内的所在平面内的 一点，一点，BC+BA=BC+BA=2 2BPBP，则，则PC+PA=PC+PA=.解析解析 因为因为BC+BA=BC+BA=2 2BPBP，所以点，所以点P P为线段为线段ACAC的的 中点，即中点，即PC+
25、PA=PC+PA=0 0.0 0二、解答题二、解答题10.10.（20102010南京调研）南京调研）在在 OAB OAB中，延长中，延长BABA到到C C，使，使ACAC =BA =BA，在，在OBOB上取点上取点D D，使，使DB=DB=OB.DC OB.DC与与OAOA交于交于E E，设，设OAOA =a a，OB=OB=b b，用，用a a,b b表示向量表示向量OCOC，DC.DC.解解 因为因为A A是是BCBC的中点，的中点，所以所以OA=OA=（OB+OCOB+OC），），即即OC=OC=2 2OA-OB=OA-OB=2 2a a-b b；DC=OC-OD=OC-OB=DC=O
26、C-OD=OC-OB=2 2a a-b b-b=-b=2 2a a-b b.1111.（20102010江苏苏州调研）江苏苏州调研）已知：任意四边形已知：任意四边形 ABCD ABCD中，中，E E、F F分别是分别是ADAD、BCBC的中点，求证：的中点，求证：EF=EF=（AB+DCAB+DC）.证明证明 方法一方法一 如图，如图，E E、F F分别是分别是ADAD、BCBC的中点，的中点，EA+ED=EA+ED=0 0，FB+FC=FB+FC=0 0，又又AB+BF+FE+EA=AB+BF+FE+EA=0 0，EF=AB+BF+EA EF=AB+BF+EA 同理同理EF=ED+DC+CF
27、 EF=ED+DC+CF 由由+得，得，2 2EF=AB+DC+EF=AB+DC+（EA+EDEA+ED）+（BF+CFBF+CF）=AB+DC.=AB+DC.EF=EF=（AB+DCAB+DC）.方法二方法二 连结连结EBEB，ECEC，则则EC=ED+DCEC=ED+DC，EB=EA+ABEB=EA+AB，EF=EF=（EC+EBEC+EB）=（ED+DC+EA+ABED+DC+EA+AB）=（AB+DCAB+DC）.1212.（20092009上海宝山模拟）上海宝山模拟）已知点已知点G G为为ABCABC的的 重心，过点重心，过点G G作直线与作直线与ABAB、ACAC两边分别交于两边分
28、别交于MM、N N两点，且两点，且AM=xABAM=xAB，AN=yACAN=yAC，求，求 的值的值.解解 根据题意根据题意G G为三角形的重心，为三角形的重心，故故AG=AG=（AB+ACAB+AC），），MG=AG-AM=MG=AG-AM=（AB+ACAB+AC）-xAB-xAB =(-x -x)AB+AC,AB+AC,GN=AN-AG=yAC-AG GN=AN-AG=yAC-AG =yAC-(AB+AC)=yAC-(AB+AC)=(y-y-)AC-AB,AC-AB,由于由于MGMG与与GNGN共线，根据共线向量基本定理知，共线，根据共线向量基本定理知，存在实数存在实数，使得，使得MG=MG=GNGN，即即 (-x-x)AB+ACAB+AC =(y-y-)AC-AB AC-AB，即即x+y-x+y-3 3xy=xy=0 0两边同除以两边同除以xyxy整理得整理得 =3 3.返回返回