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1、师大线代教育第一章矩阵师大线代教育第一章矩阵2 2第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.5 1.5 方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵 注注:A的逆矩阵记为的逆矩阵记为A 1.定理定理1.4.A可逆可逆 A的逆矩阵唯一的逆矩阵唯一.1.定义定义:设设A为方阵为方阵,若存在方阵若存在方阵B,使得使得 AB=BA=E,则称则称A可逆可逆(invertible),并称并称B为为A的的 逆矩阵逆矩阵(inverse matrix).2.逆矩阵的唯一性逆矩阵的唯一性 若若AB=BA=E,AC=CA=E,则则B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.第一章第一章第一章第一章 矩阵
2、矩阵矩阵矩阵 1.5 1.5 方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵 四四.用初等变换解矩阵方程用初等变换解矩阵方程 设设A可逆可逆,则则A可以经过有限次初等可以经过有限次初等行行变换化为变换化为 行行最简形最简形单位矩阵单位矩阵E.下面用初等变换解矩阵方程下面用初等变换解矩阵方程AX=B.注意到注意到X=A 1B.(A A B B)(E E?)P P1 1(A A B B)P P2 2P P1 1(A A B B)P Pl l-1-1 P P2 2P P1 1(A A B B)P Pl l P Pl l-1-1P P2 2P P1 1(A A B B)(P Pl l P Pl l-
3、1-1P P2 2P P1 1A A,P Pl l P Pl l-1-1P P2 2P P1 1B B)?=A A 1 1B B=X X 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.5 1.5 方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵 1 2 3 2 5 2 2 1 3 13 4 3 4 3解解:初等初等 行行变换变换 1 0 0 3 20 1 0 2 3 0 0 1 1 3故故X=3 2 2 3 1 3.例例8.设设A=1 2 32 2 13 4 3,B=2 53 14 3求矩阵求矩阵X使使AX=B.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.5 1.5 方阵的逆矩阵方阵的逆
4、矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵 注注:XA=B化为化为ATXT=BT,用上述方法可求出用上述方法可求出 XT,从而得到从而得到X.初等初等列列变换变换当上面化为单位矩阵时当上面化为单位矩阵时,下面就是矩阵方程下面就是矩阵方程 XA=B的解了的解了.ABE X=AP1P2 Pl-1PlBP1P2 Pl-1Pl=AA 1 BA 1 注意到注意到XA=B的解是的解是X=BA 1.也可以用下面的方法直接求解也可以用下面的方法直接求解.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 1.6 方阵的行列式方阵的行列式 历史上历史上,行列式因线性方
5、程组的求解而被发明行列式因线性方程组的求解而被发明 G.W.Leibniz德德(1646.7.11646.7.1 1716.11.141716.11.14)S.Takakazu日日(1642?1642?1708.10.241708.10.24)第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 (a11a22 a12a21)x1=b1a22 a12b2(a11a22 a12a21)x2=a11b2 b1a21 当当a11a22 a12a21 0时时,a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2x1=b1a22 a12b2a
6、11a22 a12a21,x2=a11a22 a12a21a11b2 b1a21.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 a11 a12 a21 a22记记D=,b1 a12 b2 a22D1=,a11 b1a21 b2D2=,则当则当D=a11a22 a12a21 0时时,=D1D=D2D.a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2x1=b1a22 a12b2a11a22 a12a21有唯一确定的解有唯一确定的解x2=a11a22 a12a21a11b2 b1a21 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩
7、阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 回忆回忆:1.5一开始提出的问题一开始提出的问题.习题习题1(B)第第17题题:a11 a12 a21 a22A=可逆可逆 一阶方阵一阶方阵a可逆可逆 a 0.a11a22 a12a21 0 a11 a12 a21 a22 D=0.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 1阶方阵阶方阵A=a11的行列式的行列式|A|定义为定义为a11.a11 a12 a21 a222阶方阵阶方阵A=的行列式的行列式|A|定义为定义为 a11 a12 a21 a22|A|=
8、a11a22 a12a21.a11 a12 a21 a22a11(1)1+1a22+a12(1)1+2a21 a11 a12 a21 a22一一.行列式行列式(determinant)的定义的定义 a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33a11的的余子式余子式:a22 a23 a32 a33M11=代数余子式代数余子式:A11=(1)1+1M11 a12的的余子式余子式:a21 a23 a3
9、1 a33M12=代数余子式代数余子式:A12=(1)1+2M12 a13的的余子式余子式:M13=代数余子式代数余子式:A13=(1)1+3M13 a21 a22 a31 a32a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 3阶方阵阶方阵A=的行列式的行列式|A|定义为定义为 a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33|A|=a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33=a11A11+a12A12+a13A13
10、=a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 一般地一般地,在在n阶行列式中阶行列式中,把元素把元素aij所在的第所在的第i行行 和第和第j列划去列划去,留下来的留下来的n 1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素aij的的余子式余子式(minor),记作记作Mij,令令Aij=(1)i+jMij,并称之为并称之为aij的的代数余子式代数余子式(cofactor).例如例如,四阶阶行列式四阶阶
11、行列式中中中中a a3232的余子式为的余子式为的余子式为的余子式为 a a11 11 a a1212 a a13 13 a a1414 a a21 21 a a2222 a a23 23 a a2424 a a3131 a a3232 a a33 33 a a3434a a41 41 a a4242 a a43 43 a a4444a a11 11 a a13 13 a a1414 a a21 21 a a23 23 a a2424 a a41 41 a a43 43 a a4444MM3232=,代数余子式代数余子式代数余子式代数余子式A A3232 =(=(1 1)3+23+2MM32
12、32=MM3232.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 补充补充.数学归纳法数学归纳法(Principle of mathematical induction)(Principle of mathematical induction)1.第一数学归纳法原理第一数学归纳法原理:则则P对于任意的自然数对于任意的自然数n n0成立成立.设设P是一个关于自然数是一个关于自然数n的命题的命题.若若 P对于对于n=n0成立成立,当当n n0时时,由由“n=k时时P成立成立”可推出可推出“n=k+1时时P成立成立”,第一章第一章第一章
13、第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 2.第二数学归纳法原理第二数学归纳法原理:设设P为一个关于自然数为一个关于自然数n的命题的命题.若若 P对于对于n=n0成立成立,由由“n0 n k时时P成立成立”可推出可推出 “n=k+1时时P成立成立”,则则P对于任意的自然数对于任意的自然数n n0成立成立.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann=a11A11+a12A12+a1nA1n 假设假设n 1阶行列
14、式已经定义阶行列式已经定义,=a a1111(1)1)1+11+1MM1111 +a a1212(1)1)1+21+2MM1212 +a a1 1n n(1)1+nM1n n 1阶行列式阶行列式(Laplace Expansion of Determinants)(Laplace Expansion of Determinants)P.-S.P.-S.Laplace Laplace 法法法法 (1749.3.231827.3.5)则定义则定义n阶行列式阶行列式 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 注注:二阶二阶行列式和三
15、行列式和三阶阶行列式的行列式的对角线法则对角线法则:a11 a12 a21 a22=a11a22 a12a21 a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33=a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例9.下三角形下三角形(lower triangular)行列式行列式 a11 0 0a21 a22 0 an1 an2 ann=a11 a22ann.例例10.
16、上三角形上三角形(upper triangular)行列式行列式 a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 ann=a11 a22ann.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 二二.行列式的性质行列式的性质 性质性质1.互换行列式中的两列互换行列式中的两列,行列式变号行列式变号.推论推论.若行列式若行列式 D 中有两列完全相同中有两列完全相同,则则 D=0.a11 a12 a21 a22例如例如=a11a22 a12a21,a12 a11 a22 a21=a12a21 a11a22.1 1 2 2 D=1 1 2
17、 2=D D=0.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 性质性质2.(线性性质线性性质)(1)det(1,k j,n)=kdet(1,j,n);(2)det(1,j+j,n)=det(1,j,n)+det(1,j,n).现学现用现学现用(1)设设A为为n阶方阵阶方阵,则则det(A)=_ det(A).(1)n(2)a+b c+d u+v x+y=.a a c c u u x x +b b d d v v y y ,a a c c u u x x +a a d d u u y y +b b c c v v x x +b b
18、 d d v v y y .第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 推论推论.若行列式若行列式 D 中有两列元素成比例中有两列元素成比例,则则 D=0.a a11 11 a a1 1i i k ka a1 1i i a a1 1n n a a2121 a a2 2i i k ka a2 2i i a a2 2n n a an n1 1 a an ni i k ka an ni i a annnn=k0=0.=0.=ka a11 11 a a1 1i i a a1 1i i a a1 1n n a a2121 a a2 2i
19、i a a2 2i i a a2 2n n a an n1 1 a an ni i a an ni i a annnn 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 性质性质3.把行列式的某一列的把行列式的某一列的k倍加到另一列倍加到另一列 上去上去,行列式的值不变行列式的值不变.a a11 11 (a a1 1i i+k ka a1 1j j)a a1 1j j a a1 1n n a a2121 (a a2 2i i+k ka a2 2j j)a a2 2j j a a2 2n n a an n1 1 (a an ni i+k
20、 ka an nj j)a an nj j a annnn=a a11 11 a a1 1i i a a1 1j j a a1 1n n a a2121 a a2 2i i a a2 2j j a a2 2n n a an n1 1 a an ni i a an nj j a annnn+a a11 11 k ka a1 1j j a a1 1j j a a1 1n n a a2121 k ka a2 2j j a a2 2j j a a2 2n n a an n1 1 k ka an nj j a an nj j a annnn 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方
21、阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例11.1 2 1 2 4 4 2 2 1 2 2 1 3 4 3 4 2 2 (2)2)1 0 1 0 4 4 =2 6 1 2 6 1 3 10 3 10 2 2 1 1 0 0 0 0 =2 2 (7 7)2 2 3 3 1 1 3 3 5 5 2 2 1 1 0 0 0 0=14 14 2 2 0 0 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 0 0 0 0=1414 2 2 1 1 0 0 3 3 2 2 1 1=14.14.4 4 1 0 0 1 0 0 =2 6 2 6 7 7 3 10 3 10 1414 (3)3)注注:本题也可
22、以用定义或对角线法则计算本题也可以用定义或对角线法则计算.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例12.设设D=a a11 11 a a1 1mm a amm1 1 a ammmm D D1 1 =,证明证明:D=D1D2.证明证明:对对D1施行施行ci+kcj 这类运算这类运算,把把D1化为下三化为下三 角形行列式角形行列式:=p p11 11 p pmm1 1 p pmmmm .=p p11 11 p pmmmm ,b b11 11 b b1 1n n b bn n1 1 b bnnnnD D2 2 =,a a11
23、11 a a1 1mm 0 0 0 0,a amm1 1 a amm mm 0 0 0 0 c c11 11 c c1 1m m b b11 11 b b1 1n n c cn n1 1 c cnm nm b bn n1 1 b bnn nn a a11 11 a a1 1mm a amm1 1 a ammmm D D1 1 =第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 对对对对D D2 2施行施行施行施行c ci i+k kc cj j 这类运算这类运算这类运算这类运算,把把把把D D2 2化为下三角形行列式化为下三角形行列式
24、化为下三角形行列式化为下三角形行列式:b b11 11 b b1 1n nb bn n1 1 b bnnnnD D2 2 =q q11 11 q qn n1 1 q qnnnn .=q q11 11 q qnnnn ,于是对于是对于是对于是对D D的前的前的前的前mm列施行上述列施行上述列施行上述列施行上述c ci i+k kc cj j 运算运算运算运算,再对再对再对再对D D的后的后的后的后n n列列列列 施行上述施行施行上述施行施行上述施行施行上述施行c ci i+k kc cj j 运算运算运算运算,可得可得可得可得:=p p11 11 p pmmmm q q11 11 q qnnnn
25、 =D D1 1D D2 2.a a11 11 a a1 1mm 0 0 0 0 D D=a amm1 1 a amm mm 0 0 0 0 c c11 11 c c1 1m m b b11 11 b b1 1n n c cn n1 1 c cnm nm b bn n1 1 b bnn nn.p p11 11 p pmm1 1 p pmmmm =.0d dn n1 1 d dnmnm q qn n1 1 q qnn nn d d1111 d d1 1mm q q1111.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 性质性质4.设
26、设A,B为同阶方阵为同阶方阵,则则|AB|=|A|B|.性质性质5.|AT|=|A|.注注:根据方阵的性质根据方阵的性质5,前面几条关于前面几条关于列列的的 性质可以翻译到性质可以翻译到行行 的情形的情形.例如例如:性质性质1.互换行列式中的两互换行列式中的两行行,行列式变号行列式变号.A.L.A.L.Cauchy Cauchy 法法法法 (1789.8.211789.8.21 1857.5.231857.5.23)第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 定理定理1.7.n阶行列式阶行列式D等于它的任意一行等于它的任意一行(
27、列列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的各元素与其对应的代数余子式乘积 之和之和.即即 D=a11A11+a12A12+a1nA1n =a21A21+a22A22+a2nA2n =an1An1+an2An2+annAnn =a11A11+a21A21+an1An1 =a12A12+a22A22+an2An2 =a1nA1n+a2nA2n+annAnn.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 性质性质6.ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0(i j)a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0(i j).定理定理1.8
28、.设设D=|aij|,则则 aikAjk=D ij,k k=1=1n n akiAkj=D ij.k k=1=1n n注注:克罗内克记号克罗内克记号 ij=1,i=j,0,i j.L.L.Kronecker Kronecker 德德德德(1823.12.71823.12.7 1891.12.291891.12.29)第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 三三.行列式的计算行列式的计算 1.二二,三阶行列式三阶行列式对角线法则对角线法则.2.利用初等变换化为三角形利用初等变换化为三角形.(其中其中n 2,x a).Dn=x
29、a a a x a a a x 例例13.计算计算n阶行列式阶行列式 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 Dn=x a a a x a a a xx+(n 1)a a a x+(n 1)a x a x+(n 1)a a x=解解:(1 1)x+(n 1)a a a a a 0 x a 0 0 0 0 0 x a 0 0 0 0 0 x a 0 0 0 0 0 x a =x+(n 1)a(x a)n 1.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 3.按某一
30、行按某一行(列列)展开展开降阶降阶.4.递推递推/归纳归纳.(未写出的元素都是未写出的元素都是0).例例14.计算计算2n阶行列式阶行列式 D2n=a b a b c d c d 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 解解解解:D D2 2n n=a=a.a a a a b b b b 0 0 c c c c 0 0 d d d d 0 0 0 0 d d .0 0 a a a a b b b b c c 0 0 c c c c 0 0 d d d d 0 0.+(+(1 1)2 2n n+1+1b b.a a 0 0 0
31、 0 a a a a b b c c d d d d 0 0 0 0 d d .0 0 b b b b 0 0 0 0 c c c c 0 0.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 =a=a.a a a a b b b b 0 0 c c c c 0 0 d d d d 0 0 0 0 d d .0 0 a a a a b b b b c c 0 0 c c c c 0 0 d d d d 0 0.+(+(1 1)2 2n n+1+1b b=ad Dad D2(2(n n 1 1)bc Dbc D2(2(n n 1 1)=
32、(=(ad ad bcbc)D D2(2(n n 1 1)=(=(ad ad bcbc)2 2D D2(2(n n 2 2)=(=(ad ad bcbc)3 3D D2(2(n n 3 3)=(=(ad ad bcbc)n n 1 1 D D2 2=(=(ad ad bcbc)n n.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例15.证明证明n阶级阶级(n 2)范德蒙德行列式范德蒙德行列式 D Dn n=1 1 1 1 1 1a a1 1 a a2 2 a an na a1 12 2 a a2 22 2 a an n2 2
33、a a1 1n n-1-1 a a2 2n n-1-1 a an n n n-1-1=(a ai i a aj j).).n n i i j j 1 1 Alexandre-Thophile Vandermonde Born:28 Feb 1735 in Paris,France Died:1 Jan 1796 in Paris,France 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 =1 1 1 11 1 1 10 0 a a2 2 a a1 1 a a3 3 a a1 1 a an n a a1 10 0 a a2 2(a
34、 a2 2 a a1 1)a a3 3(a a3 3 a a1 1)a an n2 2(a an n a a1 1)0 0 a a2 2n n-2-2(a a2 2 a a1 1)a a3 3n n-2-2(a a3 3 a a1 1)a an nn n-2-2(a an n a a1 1)现设等式对于现设等式对于现设等式对于现设等式对于(n n 1)1)阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立,则则则则 证明证明证明证明:当当当当n n=2=2时时时时,D D2 2=(=(a a2 2 a a1 1).).D Dn n=1 1 1 1 1 1a a1
35、1 a a2 2 a an na a1 12 2 a a2 22 2 a an n2 2 a a1 1n n-1-1 a a2 2n n-1-1 a an n n n-1 -1 (a a1 1)(a a1 1)(a a1 1)第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 =(a2 a1)(a3 a1)(an a1)1 1 1a2 a3 an a2n-2 a3n-2 an n-2=1 1 1 10 a2 a1 a3 a1 an a10 a2(a2 a1)a3(a3 a1)an2(an a1)0 a2n-2(a2 a1)a3n-2(a
36、3 a1)ann-2(an a1)=(a2 a1)(a3 a1)(an a1)(ai aj)n n i i j j 2 2=(ai aj).n n i i j j 1 1 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 四四.行列式的应用行列式的应用 设设A=aijn n为方阵为方阵,元素元素aij的代数余子的代数余子 式为式为Aij,则称如下矩阵则称如下矩阵 A*=A11 A21 An1 A12 A22 An2 A1n A2n Ann 为方阵为方阵A的的伴随矩阵伴随矩阵(adjoint).1.伴随矩阵与逆矩阵伴随矩阵与逆矩阵 第一
37、章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例16.求求A=a b c d 的伴随矩阵的伴随矩阵.解解:A11=d,A21=b,A12=c,A22=a.A*=A11 A21 A12 A22=d b c a.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例17.设设A为方阵为方阵,A*为其伴随矩阵为其伴随矩阵.证明证明:AA*=A*A=|A|E.证明证明:AA*=a11 a1n an1 ann A11 An1A1n Ann =n n n n a1kA1k a1kAnk
38、 k k=1 =1 k k=1=1 n n n n a1kA1k a1kAnk k k=1 =1 k k=1=1 =|A|A|.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 定理定理1.9.方阵方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是|A|0.当当|A|0时时,有有 A 1=|A|1A*.推论推论.设设A,B为方阵为方阵,若若AB=E(或或BA=E),则则B=A 1.事实上事实上,AB=E|A|0 A可逆可逆 B=EB=(A 1A)B=A 1(AB)=A 1E=A 1.A非奇异非奇异(nonsingular)第一章第一章第一
39、章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例18.求下列方阵的逆矩阵求下列方阵的逆矩阵.(1)(1)A A=1 1 2 2 3 4 3 4 ,1 1 2 2 3 3 2 2 1 2 2 1 3 3 4 3 4 3(2)(2)B B=.解解解解:(1):(1)A A 1 1=|A A|1 1A A*=2 2 1 1 4 4 2 2 3 1 3 1.(2)|(2)|B B|=2|=2 0 0,B B 1 1=|B B|1 1B B*B B1111=(=(1 1)1+1 1+1 2 12 14 34 3=2,=2,B B2121=6,=6,B B
40、3131=4,4,B B1212=3 3,B B2222=6 6,B B3232=5,=5,B B1313=2,=2,B B2323=2,=2,B B3333=2.2.=2 2 1 1 2 2 6 6 4 4 3 3 6 6 5 5 2 2 2 2 2 2.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例19.设方阵设方阵A满足满足A2+3A E=0.证明证明:A及及A 2E可逆可逆,并求它们的并求它们的逆矩阵逆矩阵.定理定理1.10.分块对角矩阵分块对角矩阵A=diag(A1,A2,As)可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件
41、是:A1,A2,As都都可逆可逆.当当A1,A2,As都都可逆可逆时时,A 1=diag(A1 1,A2 1,As 1).2.克拉默法则克拉默法则(Cramers Rule)第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 G.G.Cramer Cramer 瑞士瑞士瑞士瑞士 (1704.7.311704.7.31 1752.1.41752.1.4)C.C.Maclaurin Maclaurin 英英英英 (1698.21698.2 1746.6.141746.6.14)第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵
42、的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 可以表示为可以表示为Ax=b.则线性方程组则线性方程组 x x1 1x x2 2x xn n 记记x=,b b1 1b b2 2b bm m b b=,A A=a a1111 a a1212 a a1 1n na a2121 a a2222 a a2 2n n a amm1 1 a amm2 2 a amn mn,下面讨论下面讨论A为为n阶方阵的情形阶方阵的情形.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 对于对于n元线性方程组元线性方程组记记记记D D=a a11 11 a a12
43、12 a a1 1n n a a2121 a a22 22 a a2 2n n a an n1 1 a an n2 2 a annnn,D D1 1=b b1 1 a a1212 a a1 1n n b b2 2 a a22 22 a a2 2n n b bn n a an n2 2 a ann nn,D D2 2=a a1111 b b1 1 a a1 1n n a a2121 b b2 2 a a2 2n n a an n1 1 b bn n a ann nn,D Dn n=.a a1111 a a1212 b b1 1 a a2121 a a2222 b b2 2 a an n1 1 a
44、 an n2 2 b bn n 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 定理定理1.11.设设A为为n阶方阵阶方阵,|A|0,则方程组则方程组 有唯一解有唯一解:Ax=b,x1=D1 D x2=D2 D,xn=Dn D.证明证明:|A|0 1 D A*b x=A 1b=1 D A11 An1 A1n Ann b1 bn x1 xn 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.7 1.7 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 1.7 矩阵的秩矩阵的秩 一一.基本概念基本概念 这样的子式共有这样的子式共有 个个.k阶子式阶子式
45、m n k行行 k列列 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.7 1.7 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 例如例如:A=2 0 4 1 0 1 3 2 4 0 8 2 2,0,4,1,0,1,3,2,4,0,8,2.的的1阶子式有阶子式有3 4个个:A的的2阶子式有阶子式有3 6个个:0 4 0 4 1 3 1 3,0 1 0 1 1 2 1 2,4 1 4 1 3 2 3 2,2 0 2 0 0 1 0 1,2 4 2 4 0 3 0 3,2 1 2 1 0 2 0 2,0 4 0 4 0 0 8 8,0 1 0 1 0 0 2 2,4 1 4 1 8 8 2 2,2 0 2 0
46、 4 0 4 0,2 4 2 4 4 4 8 8 ,2 1 2 1 4 4 2 2,0 1 0 1 4 0 4 0,3 2 3 2 8 8 2 2.0 3 0 3 4 4 8 8 ,0 2 0 2 4 4 2 2 ,1 3 1 3 0 0 8 8 ,1 2 1 2 0 0 2 2 ,第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.7 1.7 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 2 0 4 1 2 0 4 1 0 1 3 2 0 1 3 2 4 0 4 0 8 8 2 2 的的3阶子式有阶子式有1 4个个:2 0 4 2 0 4 0 1 3 0 1 3 4 0 4 0 8 8 2 0 1 2 0
47、1 0 1 2 0 1 2 4 0 4 0 2 2 2 4 1 2 4 1 0 3 2 0 3 2 4 4 8 8 2 2 0 4 1 0 4 1 1 3 2 1 3 2 0 0 8 8 2 2 =0.=0.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.7 1.7 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 问题问题:假若一个假若一个5 6的矩阵中所有的矩阵中所有3阶子式都等阶子式都等 于零的话于零的话,它的它的4阶子式中会出现非零的阶子式中会出现非零的 吗吗?答答:绝对不会绝对不会!因为每个因为每个4阶子式都可以按行展开阶子式都可以按行展开,通过一通过一 些些3阶子式的组合得到阶子式的组合得到.)第
48、一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.7 1.7 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 r(AT)=秩秩r(A).2.矩阵矩阵A的的秩秩(rank)记为记为r(A)或或秩秩(A)r(A)=r A中至少有一个中至少有一个r阶子式阶子式D不为零不为零 A的所有的所有r+1阶子式都等于零阶子式都等于零 注注:零矩阵的零矩阵的秩秩规定为规定为0.2 0 4 12 0 4 1 0 1 3 20 1 3 2 4 0 4 0 8 8 2 2而而3阶子式全为阶子式全为0,因此它的秩为因此它的秩为2.例如例如 有一个有一个2阶子式阶子式 2 02 0 0 10 1 0,0,第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵
49、矩阵矩阵 1.7 1.7 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 例例20.3 2 0 5 0 3 2 3 6 1 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 的秩的秩=?注注:例例20告诉我们告诉我们:对于一个阶数很高且比较对于一个阶数很高且比较 复杂的矩阵来说复杂的矩阵来说,按照定义去求它的秩是按照定义去求它的秩是 一件很麻烦的事一件很麻烦的事.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.7 1.7 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 4 0 8 2 9 0 3 0 1 2 0 0 0 4 7 0 0 0 0 0 例例21.的秩为的秩为 .3 注注:从例从例21可以看出行阶梯形矩阵的秩就等于可以看
50、出行阶梯形矩阵的秩就等于 它的阶梯数它的阶梯数(即即:非零行的数目非零行的数目).而任何一个矩阵都可以经过有限次初等而任何一个矩阵都可以经过有限次初等行行 变换化为变换化为行行阶梯形阶梯形.要是每次初等要是每次初等行行变换都不改变矩阵的秩就变换都不改变矩阵的秩就 好了好了.而这一点我们是可以证明的而这一点我们是可以证明的!第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.7 1.7 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 二二.几个重要的结论几个重要的结论 1.初等行变换不改变矩阵的秩初等行变换不改变矩阵的秩 (事实上事实上,我们只要能证明初等行变换不我们只要能证明初等行变换不 会使矩阵的秩变小就够了