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1、重庆市江北中学重庆市江北中学-曹新田曹新田一、两个平面的位置关系一、两个平面的位置关系 第一、二层的底面第一、二层的底面和和无论怎样延伸都没有公共点；无论怎样延伸都没有公共点；前、后两面房顶前、后两面房顶和和则有一条交线则有一条交线AB二层楼房示意图二层楼房示意图（1 1）两个）两个平面平行平面平行 如果两个平面没有公共点，我们就说这两如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行个平面互相平行（3 3）两个平面的）两个平面的位置关系位置关系只有两种只有两种:两个平面平行两个平面平行没有公共点没有公共点 两个平面相交两个平面相交有一条公共直线有一条公共直线（2 2）两个）两个平面相交平面相
2、交 如果两个平面有公共点，它们就相交于一条如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，我们说这个平面相交过该公共点的直线，我们说这个平面相交 画画两两个个互互相相平平行行的的平平面面时时，要要注注意意使使表表示示平平面面的的两两个个平平行行四四边边形形的的对对应应边边平平行行，如图如图1 1，而不应画成图，而不应画成图2 2那样那样 图图1图图2（4 4）两个平面平行的）两个平面平行的画法画法 思考题：思考题：1 1、如果一个平面内的一条直线与另一个平面、如果一个平面内的一条直线与另一个平面平行，能否说明平面与平面平行？平行，能否说明平面与平面平行？2 2、要求一个平面内的多少条直
3、线与另一个平、要求一个平面内的多少条直线与另一个平面平行才可判定两个平面平行呢？面平行才可判定两个平面平行呢？通过上面的两个问题，我们感觉到判定面面平行通过上面的两个问题，我们感觉到判定面面平行转化为线面平行时不是条数的问题，而是要求一转化为线面平行时不是条数的问题，而是要求一个平面内的直线之间具备某种关系。个平面内的直线之间具备某种关系。二、两个平面平行的判定二、两个平面平行的判定判定定理判定定理：如果一个平面内有两条如果一个平面内有两条相交相交直线都平行于另一个平面，那么这直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行两个平面平行M已知：在平面已知：在平面 内有两条直线内有两条直线 、相交且和
4、相交且和 平面平面 平行平行求证：求证：证明：证明：(用反证法用反证法)假设假设 同理同理这与题设这与题设和和是相交直线矛盾是相交直线矛盾简称：简称：线面平行，则面面平行线面平行，则面面平行.注：由符号语言知：判定两个平面平行时需五个注：由符号语言知：判定两个平面平行时需五个条件，在解题时请特别注意，不要漏掉条件。条件，在解题时请特别注意，不要漏掉条件。由定理可知：今后在证明两个平面平行时一般可将面面由定理可知：今后在证明两个平面平行时一般可将面面平行的问题转化为线面平行。思路是在其中一个平面内平行的问题转化为线面平行。思路是在其中一个平面内找出两条相交直线分别与另一个平面平行找出两条相交直线
5、分别与另一个平面平行.判定定理判定定理：如果一个平面内有两条如果一个平面内有两条相交相交直线都平行于另一个平面，那么这直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行两个平面平行A推论推论:如果一个平面内有两条相交如果一个平面内有两条相交直线分别平行与另一个平面内的两条直直线分别平行与另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。线，那么这两个平面平行。mn练习练习1 1：下列命题正确的是（：下列命题正确的是（）1.1.如如果果一一个个平平面面内内的的一一条条直直线线平平行行于于另另一一个个平平面面，那那么么这这两两个个平平面平行面平行2.2.如如果果一一个个平平面面内内的的两两条条直直线线平平行行于
6、于另另一一个个平平面面，那那么么这这两两个个平平面平行面平行3.3.如如果果一一个个平平面面内内的的无无数数条条直直线线平平行行于于另另一一个个平平面面，那那么么这这两两个个平面平行平面平行4.4.如如果果一一个个平平面面内内的的任任何何一一条条直直线线都都平平行行于于另另一一个个平平面面，那那么么这这两个平面平行两个平面平行练习练习2 2：有如下四个命题，判断正误：有如下四个命题，判断正误1 1）平行于同一条直线的两个平面平行）平行于同一条直线的两个平面平行2 2）与同一条直线所成角相等的两个平面平行）与同一条直线所成角相等的两个平面平行3 3）垂直于同一条直线的两个平面平行）垂直于同一条直
7、线的两个平面平行4 4）平行于同一个平面的两个平面平行）平行于同一个平面的两个平面平行D()()()()例例:如图已知正方体如图已知正方体 求证求证:1111DABDCBCA例例2:已知有公共边已知有公共边AB的两个全等的矩形的两个全等的矩形ABCD和和ABEF不在同一个平面内，不在同一个平面内，P，Q分别是对角分别是对角线线AE，BD的中点的中点.BACDEFPQR求证：求证：PQ平面平面BCE。1 1、已知：、已知：PA正方形正方形ABCDABCD所在的平面，所在的平面，M、N分别是分别是AB，PC的中点的中点.求证：求证：MN/面面PAD.HPABCDNMG练习：练习：思路：在平面思路：
8、在平面PAD内内找找MN平行线。平行线。CDABA1B1C1D12 2、棱长为、棱长为a的正方体中，的正方体中，E、F、G分别为中点分别为中点.求证：平面求证：平面EFG/平面平面A1BD.EFG练习：练习：3、已知、已知P在在ABC所在的平面外，点所在的平面外，点A、B、C分别是分别是PAB、PBC、PAC的重心。的重心。求求证：平面证：平面ABC平面平面ABC.ABCPDEFABC思考：能否求出思考：能否求出ABCABC与与ABCABC的面积之比的面积之比？练习：练习：问题：下面两组平面哪一组看上去象平行平面？问题：下面两组平面哪一组看上去象平行平面？（）（）（）（）如果一个平面与两个平行
9、平面相交，会有如果一个平面与两个平行平面相交，会有什么结果出现？什么结果出现？ab三、两个平面平行的性质三、两个平面平行的性质（1 1）一个结论）一个结论根据两个平面平行及直线和平面平行的定义，根据两个平面平行及直线和平面平行的定义，容易得出下面的结论：容易得出下面的结论：即：如果两个平面平行，那么其中一个平面即：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面内的直线平行于另一个平面性质定理性质定理：如果两个平行平面同时和第三如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行个平面相交，那么它们的交线平行即即：（2）两个平面平行的性质定理）两个平面平行的性质定理性质：性质：夹
10、在两个平行平面间的平行线段相等。夹在两个平行平面间的平行线段相等。性质：经性质：经过平面外一点只有一个平面和已知过平面外一点只有一个平面和已知 平面平行。平面平行。两个平面平行的其它性质：两个平面平行的其它性质：性质：如果两个平面平行，那么其中一个平性质：如果两个平面平行，那么其中一个平 面内的所有直线一定都和另一个平面平行。面内的所有直线一定都和另一个平面平行。例例3：求证：求证:夹在两个平行平面间的两条平行线夹在两个平行平面间的两条平行线段相等段相等.已知已知:平面平面/平面平面,AB和和DC为夹在为夹在、间的平行线段。间的平行线段。求证：求证：AB=DCBCAD证明：证明：AB,DC确定
11、平面确定平面AC又因为又因为AD,BC分别是平面分别是平面AC与平面与平面、的交线的交线.AD/BC，四边形，四边形ABCD是平行四边形是平行四边形AB=DC.MNEPACBD例例4：平面：平面/，AC、BD是夹在是夹在、内的异内的异面直线，面直线，M、N分别是分别是AB、CD的中点，的中点，求证：求证：MN/G连接连接AD，取，取AD中点中点G在在ABD中，中，MG/MG/同理同理GN/,因因/GN/平面平面MNG/MN/证明：证明：MG/DB练习练习:GH证明证明:过过A作直线作直线AH/DF,连结连结AD,GE,HF(如图如图).转转 化化/公垂线公垂线公垂线段公垂线段和两个平面同时垂直
12、的直线和两个平面同时垂直的直线公垂线夹在两个平行平面公垂线夹在两个平行平面之间的部分之间的部分公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离两个平行平面间距离实质两个平行平面间距离实质上也是上也是点到面或两点间的点到面或两点间的距离。距离。两个平行平面的公垂线两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段的段都相等，公垂线段的长度具有唯一性长度具有唯一性与两平行线间的与两平行线间的距离定义相类似距离定义相类似演练反馈演练反馈(1)与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是关系是()(A)都平行都平行(B)都相交都相交
13、(C)在这两个平面内在这两个平面内(D)至少与其中一个平面平行至少与其中一个平面平行(2)a,b且且，则直线，则直线a、b的关系为的关系为()(A)ab(B)a与与b异面异面(C)a与与b平行或异面平行或异面(D)a与与b相交相交(3)如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面个平面()(A)平行平行(B)相交相交(C)重合重合(D)平行或相交平行或相交DCD(4)已知平面已知平面与与不重合，则不重合，则的一个充分条件的一个充分条件是是()(A)且且mn(B)且且m，n(C)m，n且且mn(D)m，n且且mn(5)下列命题：下列命题：
14、垂直于同一条直线的两个平面平行；垂直于同一条直线的两个平面平行；平行于同一个平面的两个平面平行；平行于同一个平面的两个平面平行；平行于同一条直线的两个平面平行；平行于同一条直线的两个平面平行；与一直线成等角的两个平面平行与一直线成等角的两个平面平行.其中正确的命题有其中正确的命题有()(A)一个一个(B)二个二个(C)三个三个(D)四个四个DB小结：小结：1 两个平面的位置关系：相交两个平面的位置关系：相交 平行（及定义）平行（及定义）2.两个平面平行的定义，判定定理及推论两个平面平行的定义，判定定理及推论-作用为证作用为证明平面平行明平面平行线面或线线平行线面或线线平行-面面平行面面平行（转化思想）（转化思想）3.两平面平行判定的四种方法：两平面平行判定的四种方法：d)d)平行于同一个平面的两个平面平行平行于同一个平面的两个平面平行c)垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行b)两平面平行的判定定理及推论两平面平行的判定定理及推论两条相交直线都平行两条相交直线都平行于另一个平面于另一个平面a)使用使用“两个平面互相平行两个平面互相平行”的定义的定义