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1、第五章第五章第五章第五章 无限期界与代际交叠模型无限期界与代际交叠模型无限期界与代际交叠模型无限期界与代际交叠模型第一节第一节第一节第一节 拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题第二节第二节第二节第二节 拉姆齐模型的动态分析拉姆齐模型的动态分析拉姆齐模型的动态分析拉姆齐模型的动态分析第三节第三节第三节第三节 代际交叠中的两期寿命代际交叠中的两期寿命代际交叠中的两期寿命代际交叠中的两期寿命第四节第四节第四节第四节 戴蒙德模型的动态分析戴蒙德模型的动态分析戴蒙德模型的动态分析戴蒙德模型的动态分析引引引引 言言言言索洛模型将储蓄看成是一种外生变量，并且模型对技术进步不索洛模型将储蓄看成是一种外生变
2、量，并且模型对技术进步不索洛模型将储蓄看成是一种外生变量，并且模型对技术进步不索洛模型将储蓄看成是一种外生变量，并且模型对技术进步不予解释。拉姆齐予解释。拉姆齐予解释。拉姆齐予解释。拉姆齐-卡斯卡斯卡斯卡斯-库普曼模型（库普曼模型（库普曼模型（库普曼模型（RamseyRamseyRamseyRamseyCassCassCassCassKoopmansKoopmansKoopmansKoopmans ）与）与）与）与索洛模型的最大区别在于将经济总量的动态分析建立在微观层次上。索洛模型的最大区别在于将经济总量的动态分析建立在微观层次上。索洛模型的最大区别在于将经济总量的动态分析建立在微观层次上。索
3、洛模型的最大区别在于将经济总量的动态分析建立在微观层次上。在模型中，资本存量的变动是从竞争性市场中的家庭效用最大化和在模型中，资本存量的变动是从竞争性市场中的家庭效用最大化和在模型中，资本存量的变动是从竞争性市场中的家庭效用最大化和在模型中，资本存量的变动是从竞争性市场中的家庭效用最大化和厂商利润最大化之间的相互作用中推导出来，这样，储蓄就不是外厂商利润最大化之间的相互作用中推导出来，这样，储蓄就不是外厂商利润最大化之间的相互作用中推导出来，这样，储蓄就不是外厂商利润最大化之间的相互作用中推导出来，这样，储蓄就不是外生的了。生的了。生的了。生的了。附录拉姆齐模型概述附录拉姆齐模型概述附录拉姆齐
4、模型概述附录拉姆齐模型概述第一节第一节第一节第一节 拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题模型假设条件模型假设条件模型假设条件模型假设条件 拉姆齐提出的问题是一个国家应当储蓄多少，并用模型去求解，拉姆齐提出的问题是一个国家应当储蓄多少，并用模型去求解，拉姆齐提出的问题是一个国家应当储蓄多少，并用模型去求解，拉姆齐提出的问题是一个国家应当储蓄多少，并用模型去求解，此模型就是现在研究资源的跨期最优配置的原型。模型假设条件如下：此模型就是现在研究资源的跨期最优配置的原型。模型假设条件如下：此模型就是现在研究资源的跨期最优配置的原型。模型假设条件如下：此模型就是现在研究资源的跨期最优配置的原型。模型
5、假设条件如下：(1)(1)(1)(1)存在着大量相同的厂商，每个厂商的生产函数为存在着大量相同的厂商，每个厂商的生产函数为存在着大量相同的厂商，每个厂商的生产函数为存在着大量相同的厂商，每个厂商的生产函数为Y=F(K,AL)Y=F(K,AL)Y=F(K,AL)Y=F(K,AL)。厂商在竞争件要素市场上雇佣工人、租借资本，并在竞争性产出市场厂商在竞争件要素市场上雇佣工人、租借资本，并在竞争性产出市场厂商在竞争件要素市场上雇佣工人、租借资本，并在竞争性产出市场厂商在竞争件要素市场上雇佣工人、租借资本，并在竞争性产出市场出售产品。与索洛模型相同，厂商将出售产品。与索洛模型相同，厂商将出售产品。与索洛
6、模型相同，厂商将出售产品。与索洛模型相同，厂商将A A A A取做给定的，取做给定的，取做给定的，取做给定的，A A A A以以以以g g g g速率外生地增速率外生地增速率外生地增速率外生地增长。厂商以利润最大化为目标。由于企业由家庭所有，因此企业利润长。厂商以利润最大化为目标。由于企业由家庭所有，因此企业利润长。厂商以利润最大化为目标。由于企业由家庭所有，因此企业利润长。厂商以利润最大化为目标。由于企业由家庭所有，因此企业利润归于家庭。归于家庭。归于家庭。归于家庭。(2)(2)(2)(2)同样存在着大量相同的家庭。家庭的规模以同样存在着大量相同的家庭。家庭的规模以同样存在着大量相同的家庭。
7、家庭的规模以同样存在着大量相同的家庭。家庭的规模以n n n n速率增长。家庭速率增长。家庭速率增长。家庭速率增长。家庭的每个成员在每个时点供给一单位的劳动。家庭将其拥有的资本租借的每个成员在每个时点供给一单位的劳动。家庭将其拥有的资本租借的每个成员在每个时点供给一单位的劳动。家庭将其拥有的资本租借的每个成员在每个时点供给一单位的劳动。家庭将其拥有的资本租借给厂商。家庭拥有数量为给厂商。家庭拥有数量为给厂商。家庭拥有数量为给厂商。家庭拥有数量为K(0)K(0)K(0)K(0)H H H H的初始资本的初始资本的初始资本的初始资本 其中其中其中其中K(0)K(0)K(0)K(0)是经济中的资本初
8、始量，是经济中的资本初始量，是经济中的资本初始量，是经济中的资本初始量，H H H H为为为为家庭数量家庭数量家庭数量家庭数量 。假设没有折旧。在每个时点上，家庭将其收入在消费与储蓄。假设没有折旧。在每个时点上，家庭将其收入在消费与储蓄。假设没有折旧。在每个时点上，家庭将其收入在消费与储蓄。假设没有折旧。在每个时点上，家庭将其收入在消费与储蓄之间进行分配，以服从其终生效用最大化的目标。之间进行分配，以服从其终生效用最大化的目标。之间进行分配，以服从其终生效用最大化的目标。之间进行分配，以服从其终生效用最大化的目标。上式中，上式中，上式中，上式中，C(t)C(t)C(t)C(t)是在是在是在是在
9、t t t t时刻家庭每个成员的消费。时刻家庭每个成员的消费。时刻家庭每个成员的消费。时刻家庭每个成员的消费。U()U()U()U()是是是是瞬时效用函数。瞬时效用函数。瞬时效用函数。瞬时效用函数。L(t)L(t)L(t)L(t)是经济的总人口，是经济的总人口，是经济的总人口，是经济的总人口，L(t)L(t)L(t)L(t)H H H H是每个家庭的是每个家庭的是每个家庭的是每个家庭的成员人员。成员人员。成员人员。成员人员。是是是是t t t t时刻家庭的总瞬时效用。时刻家庭的总瞬时效用。时刻家庭的总瞬时效用。时刻家庭的总瞬时效用。是贴现是贴现是贴现是贴现率，率，率，率，越大，则家庭对未来消费
10、的估价就越小。越大，则家庭对未来消费的估价就越小。越大，则家庭对未来消费的估价就越小。越大，则家庭对未来消费的估价就越小。第一节第一节第一节第一节 拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题家庭效用函数家庭效用函数家庭效用函数家庭效用函数设家庭具有以下效用函数：设家庭具有以下效用函数：设家庭具有以下效用函数：设家庭具有以下效用函数：第一节第一节第一节第一节 拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题家庭效用函数（续）家庭效用函数（续）家庭效用函数（续）家庭效用函数（续）瞬时效用函数可以采取如下的形式：瞬时效用函数可以采取如下的形式：瞬时效用函数可以采取如下的形式：瞬时效用函数可以采取如下的形式：这
11、个函数形式表现了使经济收敛于平衡的增长路径。它就是这个函数形式表现了使经济收敛于平衡的增长路径。它就是这个函数形式表现了使经济收敛于平衡的增长路径。它就是这个函数形式表现了使经济收敛于平衡的增长路径。它就是著名的相对风险厌恶不的效用函数，这是因为该函数的相对风险著名的相对风险厌恶不的效用函数，这是因为该函数的相对风险著名的相对风险厌恶不的效用函数，这是因为该函数的相对风险著名的相对风险厌恶不的效用函数，这是因为该函数的相对风险厌恶系数厌恶系数厌恶系数厌恶系数(它被定义为它被定义为它被定义为它被定义为 )是是是是，它独立于，它独立于，它独立于，它独立于C C C C。第一节第一节第一节第一节 拉
12、姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题家庭效用函数（续）家庭效用函数（续）家庭效用函数（续）家庭效用函数（续）由于在这个模型中不存在不确定性，因此与家庭的风险态由于在这个模型中不存在不确定性，因此与家庭的风险态由于在这个模型中不存在不确定性，因此与家庭的风险态由于在这个模型中不存在不确定性，因此与家庭的风险态度并不直接相关，其实度并不直接相关，其实度并不直接相关，其实度并不直接相关，其实也决定了家庭将消费在不同时期的转也决定了家庭将消费在不同时期的转也决定了家庭将消费在不同时期的转也决定了家庭将消费在不同时期的转移意愿：移意愿：移意愿：移意愿：越小，随着消费的上升，边际效用的下降速度越慢，越小
13、，随着消费的上升，边际效用的下降速度越慢，越小，随着消费的上升，边际效用的下降速度越慢，越小，随着消费的上升，边际效用的下降速度越慢，导致家庭越愿意允许其消费随时间变动而变动。如果导致家庭越愿意允许其消费随时间变动而变动。如果导致家庭越愿意允许其消费随时间变动而变动。如果导致家庭越愿意允许其消费随时间变动而变动。如果接近于接近于接近于接近于零，这样，效用对于零，这样，效用对于零，这样，效用对于零，这样，效用对于C C C C来说几乎是线性的，这样家庭就更愿意接来说几乎是线性的，这样家庭就更愿意接来说几乎是线性的，这样家庭就更愿意接来说几乎是线性的，这样家庭就更愿意接受大的消费变动，这样就可以充
14、分利用贴现率与从储蓄中获得受大的消费变动，这样就可以充分利用贴现率与从储蓄中获得受大的消费变动，这样就可以充分利用贴现率与从储蓄中获得受大的消费变动，这样就可以充分利用贴现率与从储蓄中获得的报酬率之间的差额。的报酬率之间的差额。的报酬率之间的差额。的报酬率之间的差额。第一节第一节第一节第一节 拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题厂商行为厂商行为厂商行为厂商行为 厂商行为相对简单。在每个时点上，他们租用劳动与资本进行生产，厂商行为相对简单。在每个时点上，他们租用劳动与资本进行生产，厂商行为相对简单。在每个时点上，他们租用劳动与资本进行生产，厂商行为相对简单。在每个时点上，他们租用劳动与资本进
15、行生产，并按这些要素各自的边际产品支付报酬，并出售所生产的产出。由于生并按这些要素各自的边际产品支付报酬，并出售所生产的产出。由于生并按这些要素各自的边际产品支付报酬，并出售所生产的产出。由于生并按这些要素各自的边际产品支付报酬，并出售所生产的产出。由于生产函数具有不变的规模报酬，经济是竞争性的，厂商因此获得正常利润。产函数具有不变的规模报酬，经济是竞争性的，厂商因此获得正常利润。产函数具有不变的规模报酬，经济是竞争性的，厂商因此获得正常利润。产函数具有不变的规模报酬，经济是竞争性的，厂商因此获得正常利润。我们知道，资本的边际产品为我们知道，资本的边际产品为我们知道，资本的边际产品为我们知道，
16、资本的边际产品为 。由于市场是竞争性的，资。由于市场是竞争性的，资。由于市场是竞争性的，资。由于市场是竞争性的，资本只能获得其边际产品。由于不存在折旧，资本的真实报酬率等于其每本只能获得其边际产品。由于不存在折旧，资本的真实报酬率等于其每本只能获得其边际产品。由于不存在折旧，资本的真实报酬率等于其每本只能获得其边际产品。由于不存在折旧，资本的真实报酬率等于其每单位时间的收入，因此，在单位时间的收入，因此，在单位时间的收入，因此，在单位时间的收入，因此，在t t t t时刻，真实利率为：时刻，真实利率为：时刻，真实利率为：时刻，真实利率为：第一节第一节第一节第一节 拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题
17、拉姆齐问题厂商行为（续）厂商行为（续）厂商行为（续）厂商行为（续）劳动的边际产品为劳动的边际产品为劳动的边际产品为劳动的边际产品为 ，它也等于，它也等于，它也等于，它也等于 。根据上。根据上。根据上。根据上述生产函数的紧凑形式，它可写成述生产函数的紧凑形式，它可写成述生产函数的紧凑形式，它可写成述生产函数的紧凑形式，它可写成 。因此在。因此在。因此在。因此在c c c c时刻，时刻，时刻，时刻，真实工资是：真实工资是：真实工资是：真实工资是：这样，每单位有效劳动的工资是：这样，每单位有效劳动的工资是：这样，每单位有效劳动的工资是：这样，每单位有效劳动的工资是：第一节第一节第一节第一节 拉姆齐问
18、题拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题家庭行为预算约束家庭行为预算约束家庭行为预算约束家庭行为预算约束 假设家庭对于假设家庭对于假设家庭对于假设家庭对于r r r r和和和和w w w w的路径给定，家庭的预算约束是其终生消费的路径给定，家庭的预算约束是其终生消费的路径给定，家庭的预算约束是其终生消费的路径给定，家庭的预算约束是其终生消费的贴现值不能超过其初始的财富与其终生劳动收入的现值之和。设的贴现值不能超过其初始的财富与其终生劳动收入的现值之和。设的贴现值不能超过其初始的财富与其终生劳动收入的现值之和。设的贴现值不能超过其初始的财富与其终生劳动收入的现值之和。设每个家庭有每个家庭有每个家庭有每个
19、家庭有L(t)L(t)L(t)L(t)H H H H个成员，在个成员，在个成员，在个成员，在t t t t时刻其劳动总收人为时刻其劳动总收人为时刻其劳动总收人为时刻其劳动总收人为W(t)L(t)W(t)L(t)W(t)L(t)W(t)L(t)H H H H，其消费支出为其消费支出为其消费支出为其消费支出为C(t)L(t)C(t)L(t)C(t)L(t)C(t)L(t)H H H H。在初姑时刻，家庭的初始财富是经济总。在初姑时刻，家庭的初始财富是经济总。在初姑时刻，家庭的初始财富是经济总。在初姑时刻，家庭的初始财富是经济总初始财富的初始财富的初始财富的初始财富的1 1 1 1H H H H，或
20、等于，或等于，或等于，或等于K(0)K(0)K(0)K(0)H H H H。因此，家庭预算为：。因此，家庭预算为：。因此，家庭预算为：。因此，家庭预算为：第一节第一节第一节第一节 拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题 在许多情况下，对式在许多情况下，对式在许多情况下，对式在许多情况下，对式(5-6)(5-6)(5-6)(5-6)进行求解是困难的。因此，我们可以进行求解是困难的。因此，我们可以进行求解是困难的。因此，我们可以进行求解是困难的。因此，我们可以用家庭的资本持有量的极限行为来表示其预算约束。为此，我们对用家庭的资本持有量的极限行为来表示其预算约束。为此，我们对用家庭的资本持有量的极
21、限行为来表示其预算约束。为此，我们对用家庭的资本持有量的极限行为来表示其预算约束。为此，我们对式式式式(5-6)(5-6)(5-6)(5-6)整理如下：整理如下：整理如下：整理如下：我们可以写出从我们可以写出从我们可以写出从我们可以写出从t t t t0 0 0 0到到到到t=t=t=t=的积分形式作为一种极限。这样，的积分形式作为一种极限。这样，的积分形式作为一种极限。这样，的积分形式作为一种极限。这样，式式式式(5-7)(5-7)(5-7)(5-7)就等价于：就等价于：就等价于：就等价于：家庭行为预算约束（续）家庭行为预算约束（续）家庭行为预算约束（续）家庭行为预算约束（续）第一节第一节第
22、一节第一节 拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题在在在在s s s s时刻，家庭资本持有量为：时刻，家庭资本持有量为：时刻，家庭资本持有量为：时刻，家庭资本持有量为：上式中，上式中，上式中，上式中，表示在表示在表示在表示在s s s s时刻家庭初始财富对其总财富的时刻家庭初始财富对其总财富的时刻家庭初始财富对其总财富的时刻家庭初始财富对其总财富的贡献。在贡献。在贡献。在贡献。在t t t t时刻，家庭的储蓄是时刻，家庭的储蓄是时刻，家庭的储蓄是时刻，家庭的储蓄是 (可以是负值可以是负值可以是负值可以是负值)；则表明从则表明从则表明从则表明从t t t t时刻到时刻到时刻到时刻到s s s
23、s时刻该储蓄值的变动状况。时刻该储蓄值的变动状况。时刻该储蓄值的变动状况。时刻该储蓄值的变动状况。式式式式(5-9)(5-9)(5-9)(5-9)表达式是表达式是表达式是表达式是 与式与式与式与式(5-8)(5-8)(5-8)(5-8)的大括号中的表达式的乘的大括号中的表达式的乘的大括号中的表达式的乘的大括号中的表达式的乘积，预算约束写成下式：积，预算约束写成下式：积，预算约束写成下式：积，预算约束写成下式：家庭行为预算约束（续）家庭行为预算约束（续）家庭行为预算约束（续）家庭行为预算约束（续）第一节第一节第一节第一节 拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题 式式式式(5(5(5(510)1
24、0)10)10)就是著名的非蓬齐博弈条件就是著名的非蓬齐博弈条件就是著名的非蓬齐博弈条件就是著名的非蓬齐博弈条件(No-Ponzi-gameNo-Ponzi-gameNo-Ponzi-gameNo-Ponzi-game)。蓬齐。蓬齐。蓬齐。蓬齐博弈是指这样一种计划：一些人发行债券并永久性地滚动这些债务。博弈是指这样一种计划：一些人发行债券并永久性地滚动这些债务。博弈是指这样一种计划：一些人发行债券并永久性地滚动这些债务。博弈是指这样一种计划：一些人发行债券并永久性地滚动这些债务。也就是说，当发行人通过新债券获得借款时，他总能够用所获得的也就是说，当发行人通过新债券获得借款时，他总能够用所获得的
25、也就是说，当发行人通过新债券获得借款时，他总能够用所获得的也就是说，当发行人通过新债券获得借款时，他总能够用所获得的借款去支付旧债务。这样，这种计划就允许发行人拥有的终生消费借款去支付旧债务。这样，这种计划就允许发行人拥有的终生消费借款去支付旧债务。这样，这种计划就允许发行人拥有的终生消费借款去支付旧债务。这样，这种计划就允许发行人拥有的终生消费现值超过其终生资源现值。从式现值超过其终生资源现值。从式现值超过其终生资源现值。从式现值超过其终生资源现值。从式(5-6)(5-6)(5-6)(5-6)或式或式或式或式(5-10)(5-10)(5-10)(5-10)中可以看出，这中可以看出，这中可以看
26、出，这中可以看出，这里的预算是排除这样一种计划的。里的预算是排除这样一种计划的。里的预算是排除这样一种计划的。里的预算是排除这样一种计划的。家庭行为预算约束（续）家庭行为预算约束（续）家庭行为预算约束（续）家庭行为预算约束（续）附录非蓬齐条件附录非蓬齐条件附录非蓬齐条件附录非蓬齐条件第一节第一节第一节第一节 拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题 理性家庭总是想在上述预算约束条件下将其终生效用最大化。理性家庭总是想在上述预算约束条件下将其终生效用最大化。理性家庭总是想在上述预算约束条件下将其终生效用最大化。理性家庭总是想在上述预算约束条件下将其终生效用最大化。定义定义定义定义c(t)c(t)
27、c(t)c(t)为每单位有效劳动的消费，因此每个劳动力的消费为每单位有效劳动的消费，因此每个劳动力的消费为每单位有效劳动的消费，因此每个劳动力的消费为每单位有效劳动的消费，因此每个劳动力的消费C(t)C(t)C(t)C(t)等等等等于于于于A(t)c(t)A(t)c(t)A(t)c(t)A(t)c(t)。这样，家庭的瞬时效用等于：。这样，家庭的瞬时效用等于：。这样，家庭的瞬时效用等于：。这样，家庭的瞬时效用等于：把式把式把式把式(5-11)(5-11)(5-11)(5-11)以及在前面已提到的以及在前面已提到的以及在前面已提到的以及在前面已提到的 代入目标函数式代入目标函数式代入目标函数式代入
28、目标函数式(5-1)(5-1)(5-1)(5-1)和式和式和式和式(5-2)(5-2)(5-2)(5-2)，得到：，得到：，得到：，得到：家庭行为目标函数家庭行为目标函数家庭行为目标函数家庭行为目标函数第一节第一节第一节第一节 拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题 再来讨论式再来讨论式再来讨论式再来讨论式(5-6)(5-6)(5-6)(5-6)的预算约束。在的预算约束。在的预算约束。在的预算约束。在t t t t时刻，家庭总消费时刻，家庭总消费时刻，家庭总消费时刻，家庭总消费C(t)L(t)C(t)L(t)C(t)L(t)C(t)L(t)H H H H等于每单位有效劳动的消费乘以家庭的有效
29、劳动数量等于每单位有效劳动的消费乘以家庭的有效劳动数量等于每单位有效劳动的消费乘以家庭的有效劳动数量等于每单位有效劳动的消费乘以家庭的有效劳动数量A(t)L(t)A(t)L(t)A(t)L(t)A(t)L(t)H H H H。同理，在。同理，在。同理，在。同理，在t t t t时刻家庭的总劳动收入等于每单位有效劳动的工资时刻家庭的总劳动收入等于每单位有效劳动的工资时刻家庭的总劳动收入等于每单位有效劳动的工资时刻家庭的总劳动收入等于每单位有效劳动的工资w(t)w(t)w(t)w(t)乘以乘以乘以乘以A(t)L(t)A(t)L(t)A(t)L(t)A(t)L(t)H H H H，其初始资本持有量等
30、于，其初始资本持有量等于，其初始资本持有量等于，其初始资本持有量等于0 0 0 0时刻每单位有效时刻每单位有效时刻每单位有效时刻每单位有效劳动的资本量劳动的资本量劳动的资本量劳动的资本量k(0)k(0)k(0)k(0)乘以乘以乘以乘以A(t)L(t)A(t)L(t)A(t)L(t)A(t)L(t)H H H H。因此，可以把式。因此，可以把式。因此，可以把式。因此，可以把式(5-6)(5-6)(5-6)(5-6)家庭家庭家庭家庭预算约束改写成下式：预算约束改写成下式：预算约束改写成下式：预算约束改写成下式：由于由于由于由于A(t)L(t)A(t)L(t)A(t)L(t)A(t)L(t)等于等于
31、等于等于 ，将这一结果代入上式，将这一结果代入上式，将这一结果代入上式，将这一结果代入上式，同时两边除以同时两边除以同时两边除以同时两边除以 ，可以得到下式：，可以得到下式：，可以得到下式：，可以得到下式：家庭行为目标函数（续）家庭行为目标函数（续）家庭行为目标函数（续）家庭行为目标函数（续）第一节第一节第一节第一节 拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题 最后，由于最后，由于最后，由于最后，由于K(s)K(s)K(s)K(s)与与与与k(s)ek(s)ek(s)ek(s)e(n+g)s(n+g)s(n+g)s(n+g)s成比例，就可以把式成比例，就可以把式成比例，就可以把式成比例，就可以把
32、式(5-10)(5-10)(5-10)(5-10)预算预算预算预算约束的非蓬齐博弈条件表达式改写成：约束的非蓬齐博弈条件表达式改写成：约束的非蓬齐博弈条件表达式改写成：约束的非蓬齐博弈条件表达式改写成：研究家庭的基本问题就是在式研究家庭的基本问题就是在式研究家庭的基本问题就是在式研究家庭的基本问题就是在式(5-14)(5-14)(5-14)(5-14)的预算约束条件下，如何的预算约束条件下，如何的预算约束条件下，如何的预算约束条件下，如何选择选择选择选择c(t)c(t)c(t)c(t)的路径去实现如式的路径去实现如式的路径去实现如式的路径去实现如式(5-12)(5-12)(5-12)(5-12
33、)所表示的终生效用最大化。由于所表示的终生效用最大化。由于所表示的终生效用最大化。由于所表示的终生效用最大化。由于消费的边际效用总是为正，家庭将以等式满足其预算约束。可以利消费的边际效用总是为正，家庭将以等式满足其预算约束。可以利消费的边际效用总是为正，家庭将以等式满足其预算约束。可以利消费的边际效用总是为正，家庭将以等式满足其预算约束。可以利用目标函数式用目标函数式用目标函数式用目标函数式(5-12)(5-12)(5-12)(5-12)和预算约束式和预算约束式和预算约束式和预算约束式(5-14)(5-14)(5-14)(5-14)来构造拉格朗日函数：来构造拉格朗日函数：来构造拉格朗日函数：来
34、构造拉格朗日函数：家庭行为目标函数（续）家庭行为目标函数（续）家庭行为目标函数（续）家庭行为目标函数（续）第一节第一节第一节第一节 拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题家庭行为效用最大化家庭行为效用最大化家庭行为效用最大化家庭行为效用最大化 在每个时点家庭选择在每个时点家庭选择在每个时点家庭选择在每个时点家庭选择c c c c，这样就会形成无限多个，这样就会形成无限多个，这样就会形成无限多个，这样就会形成无限多个c(t)c(t)c(t)c(t)。对每一单。对每一单。对每一单。对每一单个个个个c(t)c(t)c(t)c(t)，其一阶条件是对于任意的，其一阶条件是对于任意的，其一阶条件是对于任
35、意的，其一阶条件是对于任意的t t t t：家庭行为的特征实际上就是由式家庭行为的特征实际上就是由式家庭行为的特征实际上就是由式家庭行为的特征实际上就是由式(5-17)(5-17)(5-17)(5-17)和预算约束式和预算约束式和预算约束式和预算约束式(5-14)(5-14)(5-14)(5-14)来刻来刻来刻来刻画的。画的。画的。画的。第一节第一节第一节第一节 拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题 为了理解式为了理解式为了理解式为了理解式(5-17)(5-17)(5-17)(5-17)对消费行为的含义，可以对这一公式展开进一对消费行为的含义，可以对这一公式展开进一对消费行为的含义，可以对
36、这一公式展开进一对消费行为的含义，可以对这一公式展开进一步的分析。首先给公式两边取对数：步的分析。首先给公式两边取对数：步的分析。首先给公式两边取对数：步的分析。首先给公式两边取对数：式式式式(5-18)(5-18)(5-18)(5-18)中利用了中利用了中利用了中利用了 的定义。注意到，对于每个的定义。注意到，对于每个的定义。注意到，对于每个的定义。注意到，对于每个t t t t，式，式，式，式(5-18)(5-18)(5-18)(5-18)两边相等，因此给两边求关于两边相等，因此给两边求关于两边相等，因此给两边求关于两边相等，因此给两边求关于t t t t的导数后也相等。这个条的导数后也相
37、等。这个条的导数后也相等。这个条的导数后也相等。这个条件就是：件就是：件就是：件就是：这里利用了一个变量的对数关于时间的导数等于其增长率的概这里利用了一个变量的对数关于时间的导数等于其增长率的概这里利用了一个变量的对数关于时间的导数等于其增长率的概这里利用了一个变量的对数关于时间的导数等于其增长率的概念。由式念。由式念。由式念。由式(5-19)(5-19)(5-19)(5-19)可以求解出可以求解出可以求解出可以求解出 ，从而得到：，从而得到：，从而得到：，从而得到：式式式式(5-20)(5-20)(5-20)(5-20)利用了利用了利用了利用了 的定义。的定义。的定义。的定义。家庭行为效用最
38、大化（续）家庭行为效用最大化（续）家庭行为效用最大化（续）家庭行为效用最大化（续）第一节第一节第一节第一节 拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题 由于由于由于由于C(t)(C(t)(C(t)(C(t)(指每个工人的消费，而不是每单位有效劳动的消费指每个工人的消费，而不是每单位有效劳动的消费指每个工人的消费，而不是每单位有效劳动的消费指每个工人的消费，而不是每单位有效劳动的消费)等等等等于于于于c(t)A(t)c(t)A(t)c(t)A(t)c(t)A(t)，因此，因此，因此，因此C C C C的增长率等于的增长率等于的增长率等于的增长率等于c c c c的增长率加上的增长率加上的增长率加上
39、的增长率加上A A A A的增长率。从式的增长率。从式的增长率。从式的增长率。从式(5-(5-(5-(5-20)20)20)20)中可以看出，式中隐含着每个工人的消费以中可以看出，式中隐含着每个工人的消费以中可以看出，式中隐含着每个工人的消费以中可以看出，式中隐含着每个工人的消费以r(t)-r(t)-r(t)-r(t)-的速率的速率的速率的速率增长。因此，式增长。因此，式增长。因此，式增长。因此，式(5-20)(5-20)(5-20)(5-20)表明：如果实际报酬超过了家庭用于贴现未来表明：如果实际报酬超过了家庭用于贴现未来表明：如果实际报酬超过了家庭用于贴现未来表明：如果实际报酬超过了家庭用
40、于贴现未来消费的速率，每个工人的消费将上升。如果相反的情况出现，则每个消费的速率，每个工人的消费将上升。如果相反的情况出现，则每个消费的速率，每个工人的消费将上升。如果相反的情况出现，则每个消费的速率，每个工人的消费将上升。如果相反的情况出现，则每个工人的消费将下降。工人的消费将下降。工人的消费将下降。工人的消费将下降。越小，随着消费的变化，其边际效用的变化就越小，随着消费的变化，其边际效用的变化就越小，随着消费的变化，其边际效用的变化就越小，随着消费的变化，其边际效用的变化就越少，从而为对实际利率与贴现率之间的差异作出反应，消费变动就越少，从而为对实际利率与贴现率之间的差异作出反应，消费变动
41、就越少，从而为对实际利率与贴现率之间的差异作出反应，消费变动就越少，从而为对实际利率与贴现率之间的差异作出反应，消费变动就越大。越大。越大。越大。家庭行为效用最大化（续）家庭行为效用最大化（续）家庭行为效用最大化（续）家庭行为效用最大化（续）第一节第一节第一节第一节 拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题拉姆齐问题 方程方程方程方程(5-20)(5-20)(5-20)(5-20)是求解这类最大化问题的著名的欧拉方程是求解这类最大化问题的著名的欧拉方程是求解这类最大化问题的著名的欧拉方程是求解这类最大化问题的著名的欧拉方程(Euler Euler Euler Euler equationequation
42、equationequation)，也就是连续时间的随机形式，也就是连续时间的随机形式，也就是连续时间的随机形式，也就是连续时间的随机形式(continuous-stochastic continuous-stochastic continuous-stochastic continuous-stochastic versionversionversionversion)。这一方程描述了在任何最优路径上都必须被满足的必要条。这一方程描述了在任何最优路径上都必须被满足的必要条。这一方程描述了在任何最优路径上都必须被满足的必要条。这一方程描述了在任何最优路径上都必须被满足的必要条件，因此这一条件也
43、叫作凯思斯一拉姆齐规则件，因此这一条件也叫作凯思斯一拉姆齐规则件，因此这一条件也叫作凯思斯一拉姆齐规则件，因此这一条件也叫作凯思斯一拉姆齐规则(Keynes Ramsey rule Keynes Ramsey rule Keynes Ramsey rule Keynes Ramsey rule or conditionor conditionor conditionor condition)。直觉上，欧拉方程描述了结定。直觉上，欧拉方程描述了结定。直觉上，欧拉方程描述了结定。直觉上，欧拉方程描述了结定c(0)c(0)c(0)c(0)时，时，时，时，c c c c必须随时间必须随时间必须随时间必
44、须随时间变化而变化。如果变化而变化。如果变化而变化。如果变化而变化。如果c c c c不按照式不按照式不按照式不按照式(5-20)(5-20)(5-20)(5-20)演化，那么家庭就会在不改变终演化，那么家庭就会在不改变终演化，那么家庭就会在不改变终演化，那么家庭就会在不改变终生费用现值的条件下，用提高终生效用的方式重新安排其消费。这样，生费用现值的条件下，用提高终生效用的方式重新安排其消费。这样，生费用现值的条件下，用提高终生效用的方式重新安排其消费。这样，生费用现值的条件下，用提高终生效用的方式重新安排其消费。这样，c(0)c(0)c(0)c(0)的选择就由如下条件决定：在所形成的路径上，
45、终生消费的现值的选择就由如下条件决定：在所形成的路径上，终生消费的现值的选择就由如下条件决定：在所形成的路径上，终生消费的现值的选择就由如下条件决定：在所形成的路径上，终生消费的现值等于初始财富与未来收入的现值之和。当等于初始财富与未来收入的现值之和。当等于初始财富与未来收入的现值之和。当等于初始财富与未来收入的现值之和。当c(0)c(0)c(0)c(0)被选择得太低，沿满足被选择得太低，沿满足被选择得太低，沿满足被选择得太低，沿满足式式式式(5-20)(5-20)(5-20)(5-20)路径上的消费支出并不会用尽其终生财富，因此，较高的路路径上的消费支出并不会用尽其终生财富，因此，较高的路路
46、径上的消费支出并不会用尽其终生财富，因此，较高的路路径上的消费支出并不会用尽其终生财富，因此，较高的路径是可能的。当径是可能的。当径是可能的。当径是可能的。当c(0)c(0)c(0)c(0)确定得太高，消费支出大于其可用尽的终生财富，确定得太高，消费支出大于其可用尽的终生财富，确定得太高，消费支出大于其可用尽的终生财富，确定得太高，消费支出大于其可用尽的终生财富，这种路径反而成为不可行。这种路径反而成为不可行。这种路径反而成为不可行。这种路径反而成为不可行。家庭行为效用最大化（续）家庭行为效用最大化（续）家庭行为效用最大化（续）家庭行为效用最大化（续）第一节第一节第一节第一节 拉姆齐问题拉姆齐
47、问题拉姆齐问题拉姆齐问题家庭行为效用最大化（续）家庭行为效用最大化（续）家庭行为效用最大化（续）家庭行为效用最大化（续）第二节第二节第二节第二节 拉姆齐模型的动态分析拉姆齐模型的动态分析拉姆齐模型的动态分析拉姆齐模型的动态分析C C的动态变化的动态变化的动态变化的动态变化 假定全部家庭相同，因此式假定全部家庭相同，因此式假定全部家庭相同，因此式假定全部家庭相同，因此式(5-20)(5-20)(5-20)(5-20)中所描述的中所描述的中所描述的中所描述的c c c c的演化不仅的演化不仅的演化不仅的演化不仅适合单个家庭，也适合扩整个经济。适合单个家庭，也适合扩整个经济。适合单个家庭，也适合扩整
48、个经济。适合单个家庭，也适合扩整个经济。由于由于由于由于 ，可以把式，可以把式，可以把式，可以把式(520)(520)(520)(520)改写成：改写成：改写成：改写成：第二节第二节第二节第二节 拉姆齐模型的动态分析拉姆齐模型的动态分析拉姆齐模型的动态分析拉姆齐模型的动态分析图图图图5-1 c5-1 c5-1 c5-1 c的动态变化的动态变化的动态变化的动态变化C C的动态变化（图示）的动态变化（图示）的动态变化（图示）的动态变化（图示）第二节第二节第二节第二节 拉姆齐模型的动态分析拉姆齐模型的动态分析拉姆齐模型的动态分析拉姆齐模型的动态分析k k的动态变化的动态变化的动态变化的动态变化 与索
49、洛模型一样，与索洛模型一样，与索洛模型一样，与索洛模型一样，等于实际投资减去持平投资。由于假设不等于实际投资减去持平投资。由于假设不等于实际投资减去持平投资。由于假设不等于实际投资减去持平投资。由于假设不存在折旧，持平投资就是存在折旧，持平投资就是存在折旧，持平投资就是存在折旧，持平投资就是(n(n(n(n十十十十g)kg)kg)kg)k。实际投资是产出减去消费，即。实际投资是产出减去消费，即。实际投资是产出减去消费，即。实际投资是产出减去消费，即f(k)-cf(k)-cf(k)-cf(k)-c。因此就有：。因此就有：。因此就有：。因此就有：对于既定的对于既定的对于既定的对于既定的k k k
50、k，的的的的c c c c的水平是由的水平是由的水平是由的水平是由f(k)-(nf(k)-(nf(k)-(nf(k)-(n十十十十g)kg)kg)kg)k给出的。当给出的。当给出的。当给出的。当消费等于实际产出与持平投资线的差额时，消费等于实际产出与持平投资线的差额时，消费等于实际产出与持平投资线的差额时，消费等于实际产出与持平投资线的差额时，等于零。等于零。等于零。等于零。c c c c这个值关这个值关这个值关这个值关于于于于k k k k是递增的，一直可以增至是递增的，一直可以增至是递增的，一直可以增至是递增的，一直可以增至(即即即即A A A A的黄金律水平的黄金律水平的黄金律水平的黄金