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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备2022 高考复习之数列专题考点一：求数列的通项公式1.由 an 与 Sn 的关系求通项公式:由 Sn 与 an 的递推关系求an 的常用思路有：利用 Sn Sn1 ann 2转 化为 an 的递推关系,再求其通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列的通项an 与前 n 项和 Sn 的关系是anS1, n 1, Sn Sn 1, n2.当 n 1 时, a1 如适合 Sn Sn 1,就 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的情形可并入 n2时
2、的通项 an.当 n 1 时, a1 如不适合Sn Sn 1,就用分段函数的形式表示转化为Sn 的递推关系,先求出Sn 与 n 的关系,再求an.2.由递推关系式求数列的通项公式由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系,求数列的通项公式时,通常用累加、累乘、构造法求解（ 1）当显现an an 1 m 时,构造等差数列.当显现 anxan 1 y 时,构造等比数列.（ 2）当显现an an 1 fn 时,用累加法求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）当显现an=fn 时,用累乘法求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 13.数列函数性质的应用
3、数列与函数的关系数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列因此,在争论函数问题时既要留意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性函数思想在数列中的应用1数列可以看作是一类特殊的函数,因此要用函数的学问,函数的思想方法来解决2数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决,判定单调性经常用：作差.作商.结合函数图象等方法（ 3数列 a n 的最大 小项的求法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可以利用不等式组an1an, an an 1,找到数列的最大
4、项.利用不等式组an1an, anan 1,找到数列的最小项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备考点二：等差数列和等比数列等差数列等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义an an 1常数 n 2an an 1常数 n 2可编辑资料 - - - 欢迎
5、下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n通项公式a a n 1da a qn 1q 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n11定义法2中项公式法：2an1 an an2 n 11 定义法2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判定方法. a n 为等差数列3通项公式法：an pnqp、q 为常数 . a n 为等差数列4 前 n 项和公式法：Sn An 2 BnA 、B为常数. a n 为等差数列5a n 为等比数列,an0. log aan 为等差数列1如 m、n、 p、q N* ,且 m
6、 n p q, 就 am an ap aq特殊：如m n 2p,就 am an 2ap.2 中项公式法：an1 anan2n 1na 0. a n 为等比数列3 通项公式法：an cqnc、 q 均是不为0 的常数, nN * . a n 为等比数列4a n 为等差数列. a an 为等比数列a0且a 11 如 m、n、p、 q N* ,且 m n p q, 就 aman apaqp特殊的,如m n 2p,就 aman a2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质2a a n md an m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
7、资料_nm2anmq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 数列 Sm,S2m Sm,S3m S2m,也是等差数列,即 2S2mSm Sm+S3m S2m 3 如等比数列前n 项和为 Sn 就 Sm,S2m Sm, S3m S2m 仍成等比数列,即S2m Sm2 SmS3m S2mm N * ,公比 q 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_前 n 项和Sn1 and na1221q ,1Sna11 qn1 qa1 anq 1 q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2q 1,Sn na11.在等差 比 数列中,
8、 a1,dq,n,an,Sn 五个量中知道其中任意三个,就可以求出其他两个解这类问题时,一般是转化为首项a1 和公差 d公比 q这两个基本量的有关运算2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻表达,是解决等差、等比数列问题既快捷又便利的工具,应有意识的去应用但在应用性质时要留意性质的前提条件,有时需要进行适当变形3.用函数的观点懂得等差数列、等比数列（ 1）对于等差数列an a1 n 1d dn a1 d,当 d0时, an 是关于 n 的一次函数,对应的点n, an 是位于直线上的如干个离散的点.当 d0 时,函数是单调增函数,对应的数列是单调递增数列,Sn 有最小值.2可编辑资料 -
9、 - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备当 d0 时,函数是常数函数,对应的数列是常数列,Sn=na1.当 d0 时,函数是减函数,对应的数列是单调递减数列,Sn 有最大值如等差数列的前n 项和为 Sn ,就 Sn pn2 qnp,qR 当 p 0 时, a n 为常数列.当p0时,可用二次函数的方法解决等差数列问题n1（ 2）对于等比数
10、列a a qn1 ,可用指数函数的性质来懂得当 a1 0,q 1 或 a1 0,0 q 1 时,等比数列a n 是单调递增数列.当 a1 0,0 q 1 或 a10, q 1 时,等比数列a n 是单调递减数列.当 q1 时,是一个常数列.当q 0 时,无法判定数列的单调性,它是一个摇摆数列 4.常用结论n1如a n , b n 均是等差数列,Sn 是a n 的前 n 项和,就 ma n kbn , Sn 仍为等差数列,其中m, k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为常数n2如a n,b n 均是等比数列,就canc 0, |a n|, a nbn , ma nbnm 为常数 ,
11、 a 2 , 1 an等也是等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_比数列3公比不为1 的等比数列,其相邻两项的差也依次成等比数列,且公比不变,即a2 a1, a3 a2, a4a3 a22 a1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_212 a3,成等比数列,且公比为a a a a q.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14等比数列 q 1中连续 k 项的和成等比数列,即Sk,S2k Sk , S3k S2k ,成等比数列,其公比为qk.等差数列中连续k 项的和成等差数列,即Sk ,S2k Sk , S3k S2k,成等差数列,公差为k2d.5.易错提示可编
12、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1应用关系式anS1, n 1, Sn Sn 1, n2时,肯定要留意分n 1,n2两种情形,在求出结果后,看看这可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两种情形能否整合在一起a c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 三个数 a, b, c 成等差数列的充要条件是 b,但三个数a,b, c 成等比数列的必要条件是b2 ac.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6.等差数列的判定方法1定义法：对于n2的任意自然数,验证an an 1 为同一常数.2等差中项法：验证2an 1 an an 2n ,3 n N* 成立.
13、3通项公式法：验证anpn q.4前 n 项和公式法：验证Sn An 2 Bn.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备留意：在解答题中常应用定义法和等差中项法,而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于挑选题、填空题中的简洁判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7.等比数列的判定方法1定义法：如或an1 qq
14、 为非零常数, n N*an qq 为非零常数且n2, n N*,就 a n 是等比数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_anan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_列n2等比中项公式法：如数列a n 中, an0且 a2 1anan 2n N* ,就数列 a n 是等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3通项公式法： 如数列通项公式可写成an cqnc ,q 均是不为0 的常数, nN * ,就a n 是等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4前 n 项和公式法：如数列a n 的前 n 项和 Sn kqn kk 为常数且k0,
15、q0,1,就 a n 是等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：前两种方法常用于解答题中,而后两种方法常用于挑选、填空题中的判定.求解等比数列的基本量常用的思想方法1方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和的公式中联系着五个量：a1,q, n, an, Sn,已知其中三个量,可以通过解方程组求出另外两个量.其中基本量是a1 与 q,在解题中依据已知条件建立关于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 与 q 的方程或者方程组,是解题的关键a11qn2整体思想：当公比q1时, Sna1 1 qn, 令a1n t,就 Sn t1 q 把a1与可编辑资料 - -
16、- 欢迎下载精品_精品资料_qn 当成一个整体求解,也可简化运算1 q1 q1 q1 q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3分类争论思想：在应用等比数列前n 项和公式时,必需分类求和,当q 1 时, Sn na1.当 q1时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nS a11 q.在判定等比数列单调性时,也必需对a与 q 分类争论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1 q4函数思想：在等比数列a1 中, a a1 qn,它的各项是函数y a1 qx 图象上的一群孤立的点,可以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnq q 依据指数函数的一些性质
17、争论等比数列问题如单调性 ,留意函数思想在等比数列问题中的应用.数列求和的常用方法1.数列求通项的方法：1一般的,数列求和应从通项入手,如无通项,就先求通项,然后通过对通项变形, 转化为与特殊数列有关或具备适用某种特殊方法的形式,从而挑选合适的方法求和得解数列综合问题一般先求数列的通项公式,这是做好该类题的关键如是等差数列或等比数列,就直接运用公式求解,否就常用以下方法求解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) anS1n. S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Snn 1n22递推关系形如an 1an fn ,常用累加法求通项.an 1fn ,常用累乘法求通项.
18、3递推关系形如an4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备4递推关系形如“an1 pan qp、q 是常数,且p1,q0 ”的数列求通项,此类通项问题,常用待定系数法可设an 1 pan ,经过比较,求得,就数列 a n 是一个等比数列.pa qn5递推关系形如“an1nq, p 为常数,且p1,q 0的”数列求通项,此类
19、型可以将关系式两边同除以 qn 转化为类型 4 ,或同除以pn 1 转为用迭加法求解2.数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：1.公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1等差数列的前n 项和公式： Sn1 anna1 22d.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na1, q1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2等比数列的前n 项和公式： Sna1 anq1 qna11 q, q1.1 q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.倒序相加法假如一个数列a n 的前 n 项中首末两端等“距离 ”
20、的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n 项和即是用此法推导的3.错位相减法这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列a nbn 的前 n 项和,其中 a n ,b n 分别是等差数列和等比数列求 a1b1 a2b2anbn 的和就适用此法做法是先将和的 形式写出,再给式子两边同乘或同除以公比q,然后将两式相减,相减后以“qn”为同类项进行合并得到 一个可求和的数列留意合并后有两项不能构成等比数列中的项,不要遗漏掉4.裂项相消法利用通项变形, 将通项分裂成两项或n 项的差,通过相加过程中的相互抵消,最终只剩下有限
21、项的和这可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_种方法,适用于求通项为1的数列的前n 项和,其中 an 如为等差数列,就1 11 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_anan 1anan 1d anan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用裂项相消法求和时应留意哪些问题？1在把通项裂开后,是否恰好等于相应的两项之差.2在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最终一项,或前面剩下两项,后面也剩下两项常见的拆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项公式11 1 11.21111.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n kk nn k2n1
22、2n 12 2n 12n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13n 111nn 1.41nn 1n 1n;51nn k1n k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kn.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备5.分组求和法 :一个数列的通项公式是由
23、如干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,就求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减6.并项求和法fn 类型,可采纳两项合一个数列的前n 项和,可两两结合求解,就称之为并项求和形如an 1 n并求解例如, Sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5 050.7.放缩法是证明数列型不等式的压轴题的最重要的方法,放缩法的留意问题以及解题策略(1) 明确放缩的方向：即是放大仍是缩小,看证明的结论,是小于某项,就放大,是大于某个项,就缩小.(2) 放缩的项数：有时从第一项开头,有时从第三项,有时第三项,等等,即不肯定是对全部项进行放缩.(3) 放缩法的常
24、见技巧及常见的放缩式：（ 1）根式的放缩：111.kk12kkk1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）在分式中放大或缩小分子或分母：111k2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2kk1kkk1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_真分数分子分母同时减一个正数,就变大.,nnn1n1 .假分数分子分母同时减一个正数,就变小,如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n12n.2n2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）应用基本不等式放缩：nn2n2nnn2.22n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载