《2022年高级宏观经济学的数学预备知识经典总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高级宏观经济学的数学预备知识经典总结.docx（33页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_高级宏观经济学的数学预备学问经典总结第一章数学预备学问本章叙述如干数学预备学问,包括导数及其应用、静态优化、积分、微分方程、差分方程以及相位图分析等内容. 这些预备性的数学学问对于学习高级宏观经济学是必需的,但是在微观经济学、数理经济学、时间序列分析、高等数学等课程中有具体的争论, 在这里我们只是将与我们后面的学习有关的学问要点排列在一起并在必要时做出肯定的经济说明. 这里的数学学问只是与动态优化相关的部分,对于学习高级宏观经济学必需的其他数学学问并未涉及,特殊是时间序列、概率论等学问.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、导数第一节导数及其应用可编辑资料 - -
2、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有函数f q,导数就是 dlimlimf q1q) fq1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dqq1qqqq导数的经济含义是：边际量、 q 变动一单位时 变动的大小、 q 对的变动速率.二、常用求导公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） fb 为常数,dfdb0 .dxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） b 为常数,d bf xb dfbf.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dxdxdxb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）
3、 b 为常数,dxbxb 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4） ln x1 .x（5） ax ax ln a .（6） ex ex .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（7） fgfg .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（8） fg f gfg .（9） f gf gfgg 2.（10）链式法就：ydy dzf x, xdy dx dx dzg z【例题 1-1】：求下面各题的导数.（1） yx3y3x2（2） yx3y3x 4z（3） dzdx3 y2d z dyydy dx2x56 y212y122x5ax（4） dedxdeaxdax
4、daxdxeaxa练习：求导数d ln axd ln xt、dxdt2、 d ln x dx三、二阶导数二阶导数表示边际量的变化速率,可用如下方式表示：f x,d 2 yddydxdxdx2,四、微分yf x, dyfdxd dyd 2 yd fdxdx dxfdx dxfdx2导数是微商.五、偏导数yf x1, x2 , f1fxf x1x2limb0b, x2f x1 , x2b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偏导数与经济学中的一个常见假设其他条件不变（ceteris paribus）假设是对应的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_高阶偏导数：f xix j
5、f ij2 fxi x j可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求偏导数与求导数的方法没有太大的差别, 只是在求的时候让其他变量固定即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Young 定理：只要fij 和f ji存在,就fij =f ji可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六、齐次函数的两个性质k 次齐次函数是自变量都扩大 t 倍,函数值扩大 t 的 k 次方倍.齐次函数有两个重要性质.第一个性质有时叫齐次性：k 次齐次函数的一阶偏导数是 k-1 次的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f tx ,txtx tkf可编辑资料 - - - 欢迎下
6、载精品_精品资料_12,f tx1, tx2,tx1ntxnx11tt k f可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f tx ,txtx tk 1 f x , xx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_112,n112,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_齐次函数的其次个重要性质是欧拉定理：kfx1 f1x2 f2xn f n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ktf x1 ,xn f tx1,txn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编
7、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对t 求导： t k1 f x ,x x ftx ,tx x f tx ,tx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n1 11nnn1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令t1kfx1 f1x2 f 2xn f n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 k1 就有：fx1 f1xn fn.这就是安排尽定理.在宏观经济学中我可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_们经常争论 CD 生产函数的齐次性问题. 在微观经济学中经常要争论由齐次函数正单调变换得到的位
8、似函数.七、泰勒近似泰勒近似在宏观经济学中很有用, 由于有些方程不能得到显示解, 只有对它可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_进行近似处理. 泰勒近似的另一应用是用来直观懂得优化问题.要得到优化问题的一阶条件,我们对目标函数进行一阶近似,而二阶条件可从二阶近似中得到.任意函数 x 可以近似被表述为 x 的多项式的形式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x x x n x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x00 xx 0xx 20 xx n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0000.1.2.n.我们常用的有线性近似可编辑资料 - - - 欢
9、迎下载精品_精品资料_xx0x0 xx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00.1.和二次近似可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0x0 xx x0 xx 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_000.1.2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 1-2】：将似.x1和1xy xln1x 分别在 x0 的邻域内进行线性近可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x x 01x00 x0y11x 01xyxln10xx二元函数的泰勒近似可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1, x2f x1 , x2 f1 x1
10、, x2 x1x1 f2 x1 , x2 x2x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 fx , x xx 22 fx , x xx xx 111211121211222.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx , x xx 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_221222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次节静态优化一、约束优化与拉格朗日乘子的说明约束优化问题为：max F x s.t G xcx x1, x2一阶条件（ FOC）：LF xcGxLFG0xx1x11LFxGx0x222FxGx1122FxGx值函数：VF x1,
11、x2, cG x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dcG1dx1dVF1dx1 dcG2dx2 F2dx2G1dx1G2dx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dV dc上面的公式可以通过包络定理更简洁的推导出.度量的是条件变化对目标函数最优值的影响,假如F 是效用, Gc 是预算约束,表示增加以单位货币时对最优效用的影响.影子价格： 仍可以看成是以目标函数值度量的约束的单位支付意愿, 依据微观经济学的学问可知, 支付意愿即为价格, 而这种价格与市场价格有别, 甚至有时并没有通过市场来交易, 只是反应的需求价格, 因而被称为影子价格. 拉格朗日乘子都可以作类似说明.
12、二、不等式约束可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_非负约束：maxf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_s.t.x f00, x0, xf0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不等式约束：max f x1, x2 s.t.g x1, x2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Lff1g1 gz 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 2g20g0,0, g0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、包络定理xM amaxfx, a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
13、品资料_dM af可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_daax x a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如是约束优化问题,就右边是拉格朗日函数的偏导数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xM amaxf x, a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_G x, a0Lf x, a dM aLGx, a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_daax x a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推导 的表达式：假如问题与约束是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xM a
14、maxf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_G xcLf xcGxdM cLdxLxcdcdc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 2-1】max 6x24x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_s.t.x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x40x0x 2 x40x2x0x xx200maxs.t. 2x12x1x2x13x20,x2120X1L2x1x2122x13x2Lx0, x110, Lxx11Lx20, x20,120, Lxx223x22x1000,123x22x10Lx122 , Lx21322130, x10, x2
15、0,22 x10,13 x200 x1=0,Lx =2-210 x1 0,L x101【例 2-2】有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 =0,1-30x20,1-3013 + , + , + , + 四种组合,第一排除 + ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于1 和13冲突.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ + 排除,由于1 时,3Lx1220可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1由此, x20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3由 122x13x2 0122x13x20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
16、资料_x16x16x20四、静态优化的进一步说明1、从泰靳近似看静态优化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F xF xF x xx1 F xx22 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将任意函数近似为二次函数.假如x 充分靠近 X ,二次项支配了高阶项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次函数最大值（极大值）的条件是二次项的系数小于0,即 F条件.2、从套利的思想看优化过程0 是二阶充分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_套利就是利用价格差来获利, 在市场均衡时应不会存在套利机会. 我们利用一个例子来说明用套利思想说明优化条件. 假定消费
17、者在既定收入I 下挑选 x1 , x2使效用最大化.第一,消费者进行这样的套利操作：将极少的收dI 从消费商品 2 转移到消可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dI费商品 1. x1 增加P1, x2 削减dI.Mu1dx1是增加P2x1 所增加的效用.Mu2dx2 是 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变动带来 的效用变动.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Mu dxMu dxMudIMudI Mu1Mu2 dI可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_112212P1P2P1P2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -
18、 - - 欢迎下载精品_精品资料_（留意,这里假定dx1变动如此之小,以至于Mu1 来不及变化）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如消费者通过调整获得效用增量为正, 就原消费挑选不是最优的. 假如初始挑选是最优的,就上式不行能为正. （这就是无套利）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Mu1p1Mu 20P2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次,相反的操作,即削减用于x1 的支出 dI 用于多购买x2 ,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
19、Mu1P1Mu20P2Mu1P1Mu 20P2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此为无套利条件： 额外单位货币用于 1 和 2 是无差异的, 或微小的转变挑选 不会带来好处.（娴熟的人可以从无套利条件直接推导出优化问题的一阶条件）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第三节积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、积分dF xf dxxf xdxF xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_积分是微分的逆运算二、不定积分的基本法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xn dx1xn 1c n1 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精
20、品_精品资料_ ex dxexc , ax dxa x / ln ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 dx xln xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xe f xdxef x df xe f xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xdxdf xlnf xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf xfg dxfdxgdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_积的积分代换法就：f ududxf udu dx可编辑资
21、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ vduuvudv（分部积分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、对定积分求导的 Leibniz 规章这个公式在后面将一再显现.F a, b, caf c, t dtFc Fbbaf c,t dtc穿过去（上、下限没有 c）f c, t t bf c,bFaf c, a如：bcF ca cf c, t dtdFdcb cac fcc, t dtf c, bc b cf c, a c a c【例 3-1 】：求积分31x dx3x2c32125x5c2e2x14x7 x2dx2e2x dx14 x7 x2dx55ed 2 x2 xd7 x2
22、522 x27 x5eln7 x5【例 3-2】 求对 x 的导数f xx21x 2l n 12tdt11fln1 x22 x2 ln1x 2 2 x 2 2 x ln1x4 12xln1xbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第四节微分方程（组）宏观经济学所用到的数学学问与微观经济学有显著的区分.一般情形下, 微观经济学用到优化学问即可,而宏观经济学远不止如此.微分、差分方程（组）在宏观经济学中用得远比微观中频繁.下面简洁介绍相关学问.一、具有常系数和常数项的一阶线性微分方程阶：导数的最高阶数次：导数的最高次幂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 dyut dt
23、ywt ,就是一阶线性的.这里没有 dy y 之类的项.dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意： u 、w 是自变量 t 的函数,假如 u 、 w 与t 无关,就是有常数和常数项的一阶线性微分方程.严格来讲自变量t 不肯定是时间,可以是任意的自变量, 但是在宏观经济学中遇到的很多情形中自变量t 的确是指时间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如dyayb dta 、 b 为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如b0dyay0 dt齐次的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如b0dyayb dt是非齐次的可编辑资料 - - - 欢迎
24、下载精品_精品资料_非齐次的 dyayb 的解与齐次方程 dyay dtdt（一）分别变量0 的解相关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dyay0dt1 dyadt1dyadtyy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln yatcye at ecAe at可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 是常数,这一通解可由初始条件（如y0y0 ）得到定解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 4-1】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dy2 y0 dty 0 1 0可编辑资料 - - -
25、欢迎下载精品_精品资料_yAe 2t , Ay1010y10e 2t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_问题：假如 a0 时,如何？dy0y？dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习： Arrow-Pratt 相对风险厌恶度量：v xu x xu x.假如是相对风险厌可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_恶系数为常数（我们经常假定如此） ,求效用函数的形式.（二）、非齐次方程方程形式为：dyayb dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_非齐次方程的解由余函数yc 和特殊积分项yp 组成.余函数y
26、c 是对应齐次方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程的解,特殊积分项是yp 是任意的特解（即 y 为常数）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 为常数d y0yb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_pd ta可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_atbyycypAea把 y0bA代入可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y0b e atba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa【例 4-2】：解方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dy2 y6 ,dty 0 1 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
27、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y103e 2t37e 2t3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dybybtc dt留意：分别变量法不但可解一阶线性方程,其它的（只要可分别变量）都可用此法【例 4-3】 解方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d yx,d xyy x 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ydyxdxydyxdx1 y21 x2c将 x2 代入得22y3x2y213【例 4-4】： 解方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1y 2dxy1x2 dy0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
28、料_分别变量：ydyxdx22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1y1x1 ln1y2 1 ln1x21 ln c222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln1y2lnc1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1y2c1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、一阶线性微分方程：可变系数和可变项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般形式：dyut dtyw t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（一）先找到相应齐次方程：dyut y0dy 1ut 可编辑资料 -
29、 - - 欢迎下载精品_精品资料_dtdty可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两边对 t 积分：左边1dy dtdyln yc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y dty可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_右边utdtln yutdtcyAeudt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中,Ae c .这就是通解.由初始条件可以得到特解,即找到A .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 4-5】解方程dy3t 2 y0 dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yAeudt3t 2 dtAeAe t 3可编辑资料 -
30、- - 欢迎下载精品_精品资料_（二）非齐次方程： 它的解的形式为：dyut ywt dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ytudteAweudtdt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（这一结果可以通过添加积分因子推导得到） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 4-6】解方程dy dt2tyt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t这里： u2t, wt,udtt 2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ye t 2 kAtet2k dte 2 e k2Aektte dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t 2kt 21 t 2kt 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AeeeecAec e22Be t2 12留意：最终结果中没有 k 、 c,实际做的时候可省 k 和c .以上最终一例的结果可用添加积分因子的方法推导.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：dyaybecteatdyaybe a c t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dtdt可编辑资料 -