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1、高三圆锥曲线小题汇编（教师版）一、选择题1：双曲线f-y2=i的右焦点和抛物线y2=2px的焦点重合，那么的值等于（）A. V2B. 2C. 2a/2D. 4解析：圆锥曲线定义双曲线/一步=1的右焦点为（啦,0）,故5 = 0,解得 =2血，应选C.22：双曲线三-9=1的渐近线方程是D. y = /2x).A. y = 2xB. y = x2解析：（双曲线渐近线的计算）令一y2=。，解得 走冗.应选c. 2223：双曲线二-炉句的渐近线方程是 3A. j3x y = 0B. V3x 3y = 0A. xy = O解析：焦点在y轴上，4 = 6, = 1,渐近线为=l = 6%，即岳土y =
2、0;或渐近线方程为 h2x2 = 0即百xy = 0,应选A.4：双曲线21=1的离心率是（）A.与B.当C.百D. 75.CT 1解析：由双曲线标准方程得：/1 ,即，=!+ 1 =，e = =坐，应选B.b2 =-22 a 225：双曲线。的渐近线为y = 2x,那么双曲线。的离心率为（）A. 75B. 73C.或6 D.等或G解析：由题意2 = 2或- = 2,解得e =逐或用且，应选C. a b26：在直角坐标系中，O为坐标原点，4-1,0）, 3（1,0） .点p满足即人.=3且|PA| + |P3|=4,那么 IOPI二（）a 7V13R V855 屈V13A. D. C. U.
3、135132由以以尸。|可知，kPA %5,即黑工2毛=/转，从而三， ，%233只需点在椭圆内或椭圆上，即! +汇1，22:=6 = 0,彳.0,413 3；9 9Zrba 2 Y a 2212：抛物线V =2px(p0),焦点F ,尸在准线上的投影为广，抛物线上有一点P, AOP歹的重心为G,那么直线GU的斜率最大值是.此时，假设圆。:0:-5) +V = p4与直线GU相切,p=解析：设 P(x。，)，G(x,江 那么 y；=2px。，又。(。,。)，F(oI， 7解析：设 P(x。，)，G(x,江 那么 y；=2px。，又。(。,。)，F(oI， 7x +玉）+2 x =所以 3= r
4、 %=3y所以G的轨迹方程为9y2 =2 3x- ,因为P ),0 ，所以，7坛尸=P 3y2 +2 ,显然当y0时,2P 3包尸最大，所以坛鱼”盟+红2P 32 3y1 ZU12,当且仅当会竺2P3y时即y =年时取等号.此时GF的方程为：y = 1)的两焦点，。为坐标原点，乩,也分别耳,CTC的切线I上的射影，那么点乩的轨迹方程是 离心率的最大值是.;假设有且仅有2条/使得。司的面积最大，解析：如图，延长”2。至使得OH? = OH；因为凡巴/”，故片，乩,三点共线因为“0为RtAH2HH2斜边上的中线，故0乩=0凡取切点P,连尸耳，PF2,作。”3，/，由椭圆的光学性质得NP片d = /
5、。乙2 =。，同理可得|OHj =也业二史史四a=8se, OHio（第17题图）即点”i 的轨迹方程是 / + V =,所以 =6z2sincos = sin 20 , 1lAlJrl 22要使有且仅有2条/使得。力”2的面积最大，JT即有且仅有两个P点使得N与夕与最接近5,即片，可得2/。）和G：二十七句 q ba；有相同的焦点耳，工，离心率分别为q，6，8为椭圆G的上顶点，f2p1f,b9且垂足尸在椭圆G上，那么员的最大值是.0E解析：由题可设NP耳居=6,那么q= = cos。， BF、|夕周=| 耳周 Sin8 = 2csin。,|夕周=| 耳周 Sin8 = 2csin。,西=1时
6、|cos2ccos。，那么 4=.?最=s=Lose所以， n n 2nl.ce 1 + COS 26=sin cos 0 + cos 6 = sin 26 +e222=2却2。+工+ 2 I 4j 22TT当且仅当/尸8 =万时 等号成立.故填:8II解析：设点 Py), 41,0),3(1,0), kpA; kpB=j,所以乙(产上r 一二？， x+1x-ix+l x-1x2 = 1 , xwO,322椭圆方程为一 + J = l，432_8x =，由解得 :22那么 io 尸 l=7?T? = J|+9 年又|R4| + |P5|=4,所以点尸的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，所以=4, a
7、= 2, c = l, b2=a2-c2=3,7：过双曲线C:二-二=1（。0/0）的左焦点尸作入轴的垂线交双曲线于点A,双曲线。上存在点B a byrjr（异于点A）,使得乙43/=g.假设/胡尸二:，那么双曲线的离心率为（）.24A. 1 + 72 B. 1 + 6 C. 2 + 五D. 2 +百h2h2解析：设双曲线的左焦点尸（一。,0）,将代入双曲线方程可得y = L,不妨设4-。,乙）, aaTTTFh2根据/府卞可知三角形的为等腰直角三角形,h2 b1tb2所以点例-。+幺,幺），代入双曲线方程可得、2q la 2a7a化简得：c2 +4/ a可得e eH = 0=e = 2 +
8、V2 或 = 2 f2 （舍），选 C.42228：设椭圆。:会+%=1（。）的左，右焦点分别为T8，过原点的直线/与椭圆相交于两点（点在第一象限），假设|MN|=|耳玛，需亭，那么椭圆的离心率e的最大值为（）B. /6 1B. /6 1解析：如图,易得由N|二|不叫由M| 二 |KN|,又因为|MN| = |K用,所以有“大设NM6鸟=8,那么tan。竺LBMF、 3- I 2c 所以6 = 丁 2aMF、+ MF.12工丁sin。+cos。 yj3 4-1应选D229：己知”，K为双曲线，一2r = 1（q0,Z?0）的左右焦点，P为双曲线。的渐近线上一点，满足 a b/耳尸乙二45。，
9、OP =（。为坐标原点），那么该双曲线的离心率是C.D.A,巫7解析：设P4=羽2鸟=%在 中，x2 = PF =在 中，x2 = PF =C2 +2c2 - 2缶 2 cos /POF = 3c2 + 2 行ac(1)两式相加得Y + V =6（?两式相乘得I;/ =9/8/(2)A. 2C. 4D- i解析：根据对称性，不妨设点P在第一象限，那么由椭圆与双曲线的定义得|尸用=。椭+ 双尸周=。椭双，由PFX - PF2 =0知助1,尸耳，所以上用2+上闯2=田闾2,即（Q椭双）2+（椭4双）=4c2 ,即。椭十。双八2 a = 2c2 =-c121i+ : = 2 = y + -r = 2
10、 应选 A.c，在 AOPF2 中，9 =062 = / + 2/ _ 242c211：双曲线C：1y- = 1（40/0）的左、右焦点分别为不瑞，以耳工为直径的圆与C的一条渐近线在第一象限交点为直线4P与另一条渐近线交于点Q,假设点。是线段耳尸中点，那么双曲线c的 离心率是在 AOPF2 中，9 =062 = / + 2/ _ 242c211：双曲线C：1y- = 1（40/0）的左、右焦点分别为不瑞，以耳工为直径的圆与C的一条渐近线在第一象限交点为直线4P与另一条渐近线交于点Q,假设点。是线段耳尸中点，那么双曲线c的 离心率是 cos ZPOF2 = 3c2 - 2叵ic在 A耳尸鸟中，4
11、c2 = x2 + y2 -y/2xy ,将x2 + y2= 6c2代入得、&2 =盯所以 2c4 = 9c4 8q2c2 = 7。2 = 8a2 = = a10：设，、4分别为具有公共焦点片与尸2的椭圆和双曲线的离心率，a为两曲线的一个公共点，且满足PF； PF； = 0,那么石+ F的值为A. 6B. 2c. y/sD. 3解析：由题可知：ZF.OQ = APOQ = ZPOF2 = 60 ,那么 tan/P。g=2 = 6,即 e = Jl + g_ = 2 aV a应选B12：双曲线y = A的离心率e为 xA. V2C. 2D.与女有关解析：X，y轴为y = A的渐近线，所以渐近线互
12、相垂直，所以y =人为等轴双曲线，所以6 = 0,故 XX选A.213：椭圆C: 土+产=1和直线点AB在直线/上，射线。4。3分别交椭圆。于M,N 2两点，那么当OWN面积取到最大值时，NAOB是A.锐角B.直角C.钝角（ ）D.都有可能解析：设直线。4的方程为直线。b的方程为y=，吠,易知点加易知点加7,=1 I 4I （n-m）2OMN-可（2*+ 1）（2元 +1）.由2M +1）（22 + ）.易知当机，异号时，Smmn最大.不妨设0,m0 ,那么工加=+/号当且仅当即=一；时取等号,n- 所以 tan/MON = = = 2 + 。，ZAOB为锐角.1 + mnn2应选A.14：椭
13、圆G：? + 5 = l与抛物线。2：丁2=2*（0）交于两点，0为坐标原点，AAOB的外接圆半径为厂（厂0）,那么点（厂,）在（）上.A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线22解析:设4%）,外接圆圆心外（乙0）,那么工+”=1 （1）42贝)2=2)(2)(/一r产+ 贝；=(3)由(1) (2)得x。？+4x()4 = 0 (4)2由(1) (3)得玉；一4 次。+4 = 0 (5)由(4) (5)得玉)=代入(4)得尸 _ p?二p + r所以选C.15：如图，F,歹2分别是双曲线二 ay1F=l(a O.b 0)的左、右焦点，O为坐标原点,其渐近线与圆f + y2=Q2在第二象限交于点
14、p,假设直线交双曲线右支于点Q,且PQ QF2+-OF29那么双曲线的离心率可能是573A. -B. -C. 一452解析：由题意，|OP|=M OF=c9 因为cos/PO耳=3, c在尸。片中运用余弦定理可得|P耳|二匕，由22PQQF2+-OF2 ,得。+|尸。|_|。鸟|+小。玛|,那么|耳。|。工|人+2|0不，所以C 722a b + c52a c b52(2a-c)2b2=c2-a 化简得21/+40c 125 0，即j)21/+40e 1250，从而又因为与双曲线的右支交于一点，故NP月O45,即一1,ae = . 1 + ()2 yp2 综上，a/2 e 0力0)的左焦点，过
15、原点。的直线与双曲线交于A, 5两点(点 以一 “5在双曲线的左支上)，连接并延长交双曲线于点C,且忸q =3忸/,Ab_L5C,那么该双曲线的离心率为A.叵2D.叵5解析：设双曲线的右焦点为尸，那么根据对称性可知AFBF为矩形，设忸目=|4/=加，那么BFr=AF = 2a + m9 CF = 2m9 CFf = 2a + 2mBFr=AF = 2a + m9 CF = 2m9 CFf = 2a + 2mmcos /CFF = -cos ZAFfF = 2c在AC，中，由余弦定理得，二g歼+忻?广2|c斗忻/.cos/CC,即(2。+ 22)2 =4m 22解析：因为 4-Z72=2+i，且
16、 y J =+ ) = r；J/+1la2+l 矿 +1即(2。+ 22)2 =4m 22解析：因为 4-Z72=2+i，且 y J =+ ) = r；J/+1la2+l 矿 +1 +4c2 +2x2mx2c-,即 4(a + m)2 -8m2 = 4c2. 2c在RtAAEP 中，AF2+ AF,2 = FFf2,即(2。+机/ + 机2 =4/,联立解得加= 2。，消去机可得（幺了+（包了=4/,解得e二晅.应选b 333317：耳，F?分别为椭圆C：q+ = 1的左、右焦点，。为椭圆上一点，且尸月垂直x轴，以尸2为圆心的圆与直线尸耳相切于点7,那么7的横坐标为且2nV比233B.1 -
17、2A.22解析：由椭圆方程.与“得到大（1,0）,8（1,0）, P，所以直线P耳的斜率r V3GV =X +33 ,y yfix + /3kpF、PFF2=W =故直线尸耳的方程为y = YEx + 1,由原叱左卜占 333得至6,故直线有的方程为y =瓜 + g,联立1XT =得到应选A.V3为。22218：椭圆必。）与双曲线十六心。）有公共的焦点，尸为右焦点,。为坐标原点,双曲线的一条渐近线交椭圆于尸点，且点尸在第一象限，假设。PJ_EP,那么椭圆的离心率等于A. -B也C. D. 2224所以a4a24（612+1） +（6Z2+1）/?2=1,利用2=3消去2整理可得(3+3)32-
18、1) = 0,所以y=1，所以椭圆的离心率e= =旦应选c二、填空题22,渐近线方程为1：双曲线C：工-乙=1的离心率为45解析：由e = =a1 +上，可得双曲线的离心率为；a22222：双曲线. 一方解析：易得,b = 6，e=五；故填百，立.可得渐近线方程为y = x；故填：j, y = -x.=1(Z? 0)的一条渐近线为2y = 0 9那么Z?=1 /2故填:IDB -223：如图，点43是椭圆。：+ = 1(。60)上关于原点对称的两点，过点A作垂直于的直线交椭圆C于另一点。，直线8。交X轴于点E，假设轴，那么椭圆。的离心率为A2解析：点A8关于原点对称，由椭圆性质：kDA-kDB
19、=- a由轴，那么上a8=2Zob，由D4J_AB，那么的向口“ 二2左4：从抛物线廿=4x(y20)上一点作圆(x-5)2+丁=1得两条切线，切点为A氏那么当四边形24cB面积最小时直线AB方程为(2、解析：如图，设尸.，为，spacb = 2sA =2 PA - R二|叫 所以面积最小时即|尸山最小而 =|pc|2-1 =而 =|pc|2-1 =/ ?、2区-5 +14 J2-12） +15,所以当且仅当 =时四边形PACB面积最小.此时 P（3,273）,直线 AB:2x-2y/3y 9 = （）故填 AB:2x-2y5y 9 = （）225：耳，月是椭圆。+=1（。0）得上下焦点，过点
20、尸2且斜率大于零的直线/交椭圆于A3两 CT 力点，假设M周=2忸周,tan/AB = 2&,那么椭圆的离心率为；直线/的斜率为解析：如图，设|A引=2羽忸周=x,贝“A片| = 2 2x,忸胤= 2q %由tan/A6B = 2后可得cosN4B = :，在A/LB耳中应用余弦定理，有J /9x? = ( 2q - 2x) + (2a - x) ( 2q - 2x)( 2a - x) = 2x2 + 2ux - 2q? = 0解得X =M 所以|A用=|A引=，点力为椭圆右顶点，又|AB|=|3G|=；a = tanA = tanZA88 = 2拒 乙乙所以与= tan9 = = e =1故
21、畤226：过双曲线E：二与=1（。04o）的左焦点的直线在第一象限交双曲线的渐近线于点尸,a Zr切于0，假设俨。=2片0,那么离心率e的值为解析：依题意，tan/Q耳O = 4, tanZOPQ = , b2b1-ad整理得 =2/,所以a axb 2b=5故填百.227：AF是离心率为2的双曲线二二 a2 b2的右顶点和右焦点，记AF到直线4bx-ay = 0的距离分别为那么& =解析：A(a,O),b(c,O),那么 4 =| ah |Ja2 +b2ah=,d?cyja2 +b2be,那么 A.ab C，填.- g d2 b c e 28：抛物线r = 4x的焦点为F ,过点（2,0）的
22、直线交抛物线于4 , 3两点，那么AF硒的最小值为解析：设 A（X, %）, B（xv 乃），AFBFX + 1 x2 + 1%|X2 + X + 工2 + 1 当直线AB的斜率不存在时，玉=%=2,AFBFy = kx- 2k得到当直线的斜率存在时，设直线AB的方程为了=%（1-2）,联立综上,匚+AF4+ 4/=0,所以的+=4 +正，xx2 = 4 ,即L2BF故填:AFBF3 3 9r+4229：椭圆5 +2=1（。匕0）的长、短轴端点分别为4昆 从椭圆上一点（在x轴上方）向x轴 a b作垂线，恰好通过椭圆的左焦点片，AB/OM ,设。是椭圆上任意一点，片、丹分别是左、右焦点，那么椭;
23、/FQF?的取值范围是a2 h解析：如右图，由AM/OM可得八。43MOM所以有2 = X = b ac a7TJI乙F；。8/片3鸟=彳所以取值范围为0,-.故填乙乙71也.210：抛物线歹=4x的焦点为尸，过抛物线上一点P作圆（x+1）PA = PF，那么点尸的坐标是PF117H=,16 16解析：由题意知：2p = 4np = 2 =。= 1,那么*1,0）；抛物线的准线方程为x = 1,又因（x + l+ / =；圆心为（-l,0）/ = L I2圆心为（-l,0）/ = L I2=叩，那么P的纵坐标为士L.P的横坐标为x =，故|PA|=|P同=1 21617故填：（1,0）,三1622111：点A是椭圆。：会+齐=1（，匕0）的左顶点，过点A且斜率为耳的直线/与椭圆。交于另一 点P（点P在第一象限）.以原点0为圆心，I。尸I为半径的圆在点P处的切线与工轴交于点。.假设尸。I， 那么椭圆。离心率的取值范围是 解析：设尸（不，%）,% 。,% 。，由题A（一。,。），贝1攵”= 因为/:y = J（x + Q）与椭圆。交于另一点P在第一象限，故以原点。为圆心，|。尸|为半径的圆方程为/+ V =%;+大，在点尸处的切线为：/% + %丁一片-尤=0,