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1、精品_精品资料_第四章三角函数一、 三角函数的基本概念1. 角的概念的推广(1) 角的分类 : 正角逆转负角 顺转零角不转可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 终边相同角 :k 3600 kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角.2. 角的度量(1) 角度制与弧度制的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 换算关系 : 180弧度1弧度180 1157 182可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 弧长公式 : lr3. 任意角的三角函数扇形面积公式 : Slrr22可编辑资料 - -
2、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sincosycscrryxsecryPx,yrrx2y20ysin 和csc 全+可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_+rx0x0x+可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tanyxcotxytan 和cot cos 和sec 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦” 二、 同角三角函数的关系式及诱导公式（一）诱导公式 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin cos tan2332222可编辑资料 - - - 欢
3、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kk27Z与的 三 角 函 数 关 系 是 “ 立 变 平 不 变 , 符 号 看 象 限 ”. 如 ：5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos2, tan 5; sin等.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）同角 三角函数 的基 本 关 系式 ：平方 关系sin 2cos21.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1tan 21cos 2cos 211tan 2sin商式关系tan coscos.cotsin倒数关系可编辑资料 -
4、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tancot1. sincsc1; cossec1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三）关于公式sin 2cos21 的深化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1sinsincos2 . 1sinsincos. 1sinsin2cos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：1sin 8sin 4cos4sin 4cos4.1s
5、in8sin 4cos4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为0 90 角的三角函数.2、主要用途：a) 已知一个角的三角函数值,求此角的其他三角函数值（要留意题设中角的范畴,用三角函数的定义求解会更便利）.b) 化简同角三角函数式. 证明同角的三角恒等式. 三、两角和与差的三角函数（一）两角和与差公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinsincoscossin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_coscoscossinsin可编辑资料 - - - 欢迎下
6、载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tantantan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1tantan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）倍角公式21cos 221cos 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、公式cos2 tan 2sin 22cos2 tan2sin2sin2cos22 costancos =11sin222 sin1cossin =2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 tan2 1cossin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
7、品资料_asinb cosa2b2sin cosba 2b2, sinaa2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： （1）对公式会“正用” ,“逆用”,“变形使用” .（ 2）把握“角的演化”规律（3）将公式和其它学问连接起来使用.（ 4）倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律,可实现函数式的降幂的变化.2、两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基此题型：（ 1）求值“给角求值” ：给出非特别角求式子的值.认真观看非特别角的特点,找出和特别角之间的关系,利用公式转化或排除非特别角“给值求值” ：给出一些角得三角函数式的值,求另外一些角得三角函数式的值.找出已
8、知角与所求角之间的某种关系求解 “给值求角” ： 转化为给值求值,由所得函数值结合角的范畴求出角. “给式求值” ：给出一些较复杂的三角式的值,求其他式子的值.将已知式或所求式进行化简,再求之三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次留意点：敏捷角的变形和公式的变形,重视角的范畴对三角函数值的影响,对角的范畴要争论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）化简 化简目标：项数习量少,次数尽量低,尽量不含分母和根号 化简三种基本类型：根式形式的三角函数式化简、多项式形式的三角函数式化简、分式形式的三角函数式化简 化简基本方法：用公式.异角化同角.异名化同名.化切割为弦.特别值与特
9、别角的三角函数值互化.（ 3）证明 化繁为简法 左右归一法 变更命题法 条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的区分与联系.无论是化简仍是证明都要留意： （ 1）角度的特点（ 2）函数名的特点（ 3）化切为弦是常用手段（ 4）升降幂公式的敏捷应用四、 三角函数的性质y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx图象定义域xRxRxk+k Zx k k Z 2值域y 1,1y 1,1yRy R奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数在区间 2k ,2k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_+ 上都是增函数2在区间 2k 2k 上都是增函数在每一个开区间在每一个开区间可编辑资料 -
10、 - - 欢迎下载精品_精品资料_单调性在区间 2k +,在区间 2k , 2k + k 2, k +2（ k ,k+）内都是减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32k +22 上都是减函数上都是减函数内都是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_周 期T=2 T=2 T= T=对称轴xkxk无无2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称k,0中心k,02k,02k,02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、 已知三角函数值求角1、反三角概念：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如 sinx=aa1, x,就 x=a
11、rcsina,说明： a0, arcsina 为锐角 ;a=0,arcsina=0;a0,arccosa 为锐角 ;a=0,arccosa=900;a0,arctana 为锐角 ;a=0,arctana=0;a 60 ,而 arctan-3=-arctan3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 sinarcsin 不存在.32、反三角关系：(1) arcsin-x=-arcsinax;arctan-x=arctanx;arcos-x=-arccosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由此可知：yarcsin x, yarctan x 是匠函数,而yarccos x
12、 非奇非偶.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) arcsinx+arccosx=2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、 x0,2时求角 x：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinx=a0a11a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1x1x2arcsinaarcsin ax1x22arcsin a arcsina可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1x1
13、arccosa; x22arccosa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan xax1arctanax1arctana可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2aRxarctanax22arctana可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六、三角函数的最值（ 1）配方法求最值主 要 是利 用三 角函 数理 论 及三 角函 数的有 界性 , 转化 为二 次 函数 在闭 区间 上的最 值问 题, 如求函 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ysin2 xsin x1的最值,可转化为求函数yt 2t1,t1,1上的最值问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）化为一个角的三角函数,再利用有界性求最值：a sin xbcoxa2b2 sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）换元法求最值利用换元法将三角函数问题转化为代数函数,此经常用万能公式和判别式求最值.利用三角代换将代数问题转化为三角函数,然而利用三角函数的有界性等求最值.可编辑资料 - - - 欢迎下载