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1、精品_精品资料_高中数学函数学问点总结1. 对于集合,肯定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：集合 Ax | ylg x , By | ylg x , C x, y | ylg x , A、B、C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中元素各表示什么？A 表示函数 y=lgx 的定义域, B 表示的是值域,而C 表示的却是函数上的点的轨迹2 进行集合的交、并、补运算时,不要遗忘集合本身和空集的特殊情形留意借助于数轴和文氏图解集合问题.空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集.可编辑资料 - - - 欢迎下载
2、精品_精品资料_如：集合2Ax|x2x3 0 , Bx|ax1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如BA,就实数 a的值构成的集合为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（答：1, 0 , 1 ）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显,这里很简洁解出A=-1,3. 而 B 最多只有一个元素.故B 只能是 -1 或者 3.依据条件,可以得到a=-1,a=1/3. 但是,这里千万当心,仍有一个B 为空集的情形,也就是a=0,不要把它搞遗忘了.3. 留意以下性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）集合a , a, a的全部子集的个数是2 n
3、 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n要知道它的来历：如B 为 A 的子集,就对于元素a1 来说,有 2 种挑选（在或者不在） .同样,对于元素a2, a3, an,都有 2 种挑选,所以,总共有2n 种挑选,即集合A 有 2n 个子集.当然,我们也要留意到,这2n 种情形之中,包含了这n 个元素全部在何全部不在的情形,故真子集个数为2n1,非空真子集个数为 2n2（ 2）如ABABA,ABB.（ 3）德摩根定律：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CU ABCU ACU B, CU ABCU ACU B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有些版本可
4、能是这种写法,遇到后要能够看懂4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：已知关于的取值范畴.x的不等式 axx 250的解集为aM ,如 3M 且5M ,求实数 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3M ,a 350可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32aa1, 59, 25 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 5M ,a 55320可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5a留意,有时候由集合本身就可以得到大量信息,做题时不要错过
5、.如告知你函数fx=ax 2+bx+ca0在 ,1 上单可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_调递减,在 1, 上单调递增,就应当立刻知道函数对称轴是x=1. 或者,我说在上,也应当立刻可以想到m,n 实际上就是方程的 2 个根5、熟识命题的几种形式、可以判定真假的语句叫做命题,规律连接词有“ 或”, “ 且”和“ 非”.如pq为真,当且仅当 p、q均为真如pq为真,当且仅当 p、q至少有一个为真如 p为真,当且仅当 p为假命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题.）原命题与逆否命题同真、同假.逆命题与否命题同真同假.6、熟识充要条件的性质（高考常常考）可编辑
6、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A x | x 满意条件p , B x | x 满意条件q ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如.就 p 是 q的充分非必要条件AB .如.就 p 是 q的必要非充分条件AB .如.就 p 是 q的充要条件AB .如.就 p 是 q的既非充分又非必要条件 .7. 对映射的概念明白吗？映射f：A B,是否留意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯独性,哪几种对应能构成映射？（一对一,多对一,答应B 中有元素无原象. ）留意映射个数的求法.如集合A 中有 m 个元素,集合 B 中有 n 个元素,就从A 到 B 的映射个数有 nm 个.
7、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：如 A1,2,3,4 , B a, b,c .问： A到 B 的映射有个, B 到 A的映射有个. A 到 B 的函数有个,如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1,2,3 ,就 A到 B 的一一映射有个.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y x 的图象与直线xa 交点的个数为个.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域）相同函数的判定方法：表达式相同.定义域一样两点必需同时具备 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？可编辑资料
8、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：函数 yx 4lg xx2 的定义域是3（答：0, 22 , 33, 4 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数定义域求法：分式中的分母不为零.偶次方根下的数（或式）大于或等于零. 指数式的底数大于零且不等于一.数大于零且不等于一,真数大于零.对数式的底可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正切函数ytan xxR, 且xk, k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_余切
9、函数ycot x xR,且xk, k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_反三角函数的定义域函数 y arcsinx 的定义域是 1, 1 ,值域是,函数 y arccosx 的定义域是 1, 1 ,值域是 0, 函数y arctgx 的定义域是 R ,值域是.,函数 yarcctgx 的定义域是 R ,值域是 0, .当以上几个方面有两个或两个以上同时显现时,先分别求出满意每一个条件的自变量的范畴,再取他们的交集, 就得到函数的定义域.10. 如何求复合函数的定义域？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：函数f x 的定义域是a, b, ba0,就函数Fx f xf
10、x的定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_义域是. （答： a,a ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_复合函数定义域的求法：已知yf x 的定义域为m, n ,求 yf gx的定义域,可由 mg xn 解出 x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_范畴,即为 yf g x的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如函数 yf x 的定义域为1 ,2 ,就2f log 2x 的定义域为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资
11、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 由函数 yf x 的定义域为1 ,22可知： 1x22 .所以 yf log 2x 中有 12log 2 x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 依题意知： 12log 2 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解之,得2x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f log 2 x的定义域为x |2x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11、函
12、数值域的求法1、直接观看法对于一些比较简洁的函数,其值域可通过观看得到.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 求函数 y= 2、配方法1 的值域x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_配方法是求二次函数值域最基本的方法之一.例、求函数 y= x 2 -2x+5 ,x-1 , 2 的值域.3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面下面,我把这一类型的具体写出来,期望大家能够看懂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a. yb
13、k+x 2型：直接用不等式性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b. ybxx 2mxn型, 先化简,再用均值不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： yx1121+x21x+x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c. yx2mxn2型 通常用判别式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xmxnx2mxnd. y型xn法一：用判别式法二：用换元法,把分母替换掉x2x1 （ x+1）2 （ x+1）+1 1例： y（ x+1）1211x1x1x14、反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域.可编辑资料 -
14、- - 欢迎下载精品_精品资料_例 求函数 y= 3 x5 x4 值域.6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域.我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x例 求函数 y= eex1 , y2sin1 ,11siny2sin1 的值域.1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xex1yex1e1y01y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2sin1| sin| | 1y
15、 | 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1sin2y2sin12sin11cosyy1cos 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2siny cos1y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4y2sinx1y,即sinx1y4y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由 sinx1知1y14y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解不等式,求出6、函数单调性法y,就是要求的答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 5例求函数
16、y= 2log3x1 （2 x 10）的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、换元法通过简洁的换元把一个函数变为简洁函数,其题型特点是函数解析式含有根式或三角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数公式模型.换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用.例 求函数 y=x+x1 的值域.8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目如运用数形结合法,往往会更加简洁,一目了然,赏心悦目.22例：已知点 P（x.y ）在圆 x +y =1 上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1y的取
17、值范畴x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y-2x的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:1 令 yx2k, 就ykx2, 是一条过 -2,0的直线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dRd为圆心到直线的距离 ,R为半径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2令y-2 xb,即y2xb0, 也是直线 d dR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例求函数 y=x22 + x28 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原函数可化简得：y= x-2 + x
18、+8 上式可以看成数轴上点P（ x）到定点 A（ 2）, B（ -8 ）间的距离之和.由上图可知：当点P 在线段 AB上时,y= x-2 + x+8 = AB =10当点 P在线段 AB的延长线或反向延长线上时, y= x-2 + x+8 AB =102故所求函数的值域为：10 , +）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例求函数 y=x6x13 +x4x5 的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原函数可变形为：y=2x 320 2 +x2220 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上式可看成 x
19、轴上的点 P（ x, 0）到两定点 A（ 3,2）, B（ -2 , -1 ）的距离之和,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时,ym in = AB =3 222 1=43 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求函数的值域为 43 , +）.注：求两距离之和时,要将函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9 、不等式法利用基本不等式a+b 2ab , a+b+c 33abc（a, b, c R ）,求函数的最值,其题型特点解析式是和式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时要求积为定值,解析式是积时
20、要求和为定值,不过有时必要用到拆项、添项和两边平方等技巧.例：x 22 x0xx 23-2x0x1.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_211=x=x3 3 x 21x1x+3-32x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x x x3-2x xx 31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用公式a+b+c3 3 aabc 时b,注c 意使 3者的乘积变成常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用公式 abc倒数法 3时,应留意使3者之和变成常数） 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后
21、,你会发觉另一番境况可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例求函数 y=x2 的值域x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx2x3x20时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x21x2120y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx2x22x20时, y=00y12多种方法综合运用总之,在具体求某个函数的值域时,第一要认真、认真观看其题型特点,然后再挑选恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法.12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？切记：做题,特殊是做大题时,
22、肯定要留意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如： fx1exx,求 f x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令tx1,就t0xt 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f tf xet 2 1ex 2 1t 21x 21 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x.互换 x、y.注明定义域）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：求函数f x 1 xxx 2x0的反函
23、数0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（答： f1xx1x1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0在更多时候,反函数的求法只是在挑选题中显现,这就为我们这些喜爱偷懒的人供应了大便利.请看这个例题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2022. 全国理 函数 yx11 x1) 的反函数是（B）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A y=x2 2x+2x1B y=x2 2x+2 x1C y=x22xx=1.排除选项 C,D.现在看值域. 原函数至于为y=1, 就反函数定义域为x=1,答案为 B.
24、我题目已经做完了,似乎没有动笔（除非你拿来写* 书）.思路能不能明白了？14. 反函数的性质有哪些？ 反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x 对应原函数中的 y）2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的 x）3、反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（ x,y）和点（ y, x）关于直线 y=x 对称互为反函数的图象关于直线y x 对称.储存了原先函数的单调性、奇函数性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 yfx的定义域为A ,值域为C, aA , bC,就fa = bf 1 ba可编辑资料 - - - 欢迎下载
25、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 1 f af 1 ba, f f1 bf ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由反函数的性质,可以快速的解出许多比较麻烦的题目,如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 04. 上海春季高考）已知函数f x4log 3 x2 ,就方程 f1 x4 的解 x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判定函数单调性的方法有三种：(1) 定义法：依据定义,设任意得 x1,x 2,找出 fx 1,fx2 之间的大小关系可编辑资料 - - -
26、 欢迎下载精品_精品资料_可以变形为求(2) 参照图象：f x1 f x2 x1x2的正负号或者f x1 f x2 与 1 的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如函数 fx的图象关于点 a , b 对称,函数fx在关于点 a , 0 的对称区间具有相同的单调性.（特例： 奇函数）如函数 fx的图象关于直线 x a 对称,就函数 fx在关于点 a ,0 的对称区间里具有相反的单调性. （特例： 偶函数）(3) 利用单调函数的性质：函数 fx与 fx cc 是常数 是同向变化的函数 fx与 cfxc是常数 ,当 c 0 时,它们是同向变化的.当c0 时,它们是反向变化的.假如函数
27、 f1x,f2x同向变化,就函数 f1x f2x和它们同向变化. （函数相加）假如正值函数 f1x,f2x同向变化,就函数 f1xf2x和它们同向变化.假如负值函数f12 与 f2x同向变化,就函数 f1xf2x和它们反向变化. （函数相乘）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 fx与 1f x在 fx的同号区间里反向变化.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如函数 u x ,x , 与函数 yFu ,u , 或 u , 同向变化,就在 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 上复合函数 yF x是递增的.如函数 u x,x , 与函数 y Fu ,u
28、, 或 u , 反向变化,就在 , 上复合函数 yF x是递减的.（同增异减） 1如函数 y fx是严格单调的,就其反函数x fy 也是严格单调的,而且,它们的增减性相同.fggxfgxfx+gxfx*gx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_都 是 正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减如：求ylog 1x22x的单调区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（设 ux 22x,由 u0就0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 log 1 u2, ux211,如图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
29、资料_uO12x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当x 0,1时, u当x 1, 2 时, u,又 log 1 u2,又 log 1 u2, y, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_）16. 如何利用导数判定函数的单调性？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在区间a, b内,如总有f x0就f x为增函数.（在个别点上导数等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_零,不影响函数的单调性）,反之也对,如f x0了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：已知 a0,函数f xx 3ax在1,上是单调增函数,就a的最大可编辑资料 -
30、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值是（）A. 0（令 f x3x 2a3 xaxa033可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就xa或xa 33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由已知f x在1, 上为增函数,就a1,即a3 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a 的最大值为 3）17. 函数 fx 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（ fx 定义域关于原点对称）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如f xf x总成立f x为奇函数函数图象关于原点对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
31、品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如f xf x总成立f x 为偶函数函数图象关于y轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意如下结论：（ 1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数.两个偶函数的乘积是偶函数.一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数.（ 2）如fx 是奇函数且定义域中有原点,就f00.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：如f xa 2 xxa2 为奇函数,就实数 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ f x为奇函数,xR,又0R, f 00可编辑资料 - - -
32、 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 20a2即00, a1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又如：f x为定义在 1, 1 上的奇函数,当 x0, 1 时, fx2 x,4 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求f x 在 1,1 上的解析式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（令 x1, 0 ,就x0, 12 x, f xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_41可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又f x 为奇函数,f x22可
33、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxxx412xx141, 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又f 00, f x 4x12x4 x1x0）x0, 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判定函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇（偶）函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇（偶）函数的必要条件.如函数的定义域不关于原点对称,就函数为非奇非偶函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,运算f x,然后依据函数的奇偶性的定义判定其奇偶性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这种方法可以做如下变形fx+f-x =0奇函数fx-f-x=0偶函数fx1偶函数f-xfx1奇函数f-x