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1、精品_精品资料_基本不等式及其应用教案教学目的(1) 使同学把握基本不等式a2 b2 2aba、b R,当且仅当 a=b 时取“ =”号 和 a3 b3 c3 3abca、b、c R+,当且仅当 a=b=c 时取“ =”号及其推论,并能应用它们证明一些不等式(2) 通过对定理及其推论的证明与应用, 培育同学运用综合法进行推理的才能 教学过程一、引入新课师： 上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？ 生： 求差比较法,即师： 由于不等式复杂多样,仅有比较法是不够的我们仍需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法假如 a、b R,那么 a b2 属于什么数集？为什么？生： 当
2、 a b 时, ab2 0,当 a=b 时, a b2=0,所以 ab2 0即 a b 2R+ 0 师： 下面我们依据 a b2 R+ 0 这一性质,来推导一些重要的不等式,同时学习一些证明不等式的方法二、推导公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 奠基师： 假如 a、b R,那么有a b2 0把左边绽开,得a22ab b2 0, a2b2 2ab式说明两个实数的平方和不小于它们的积的2 倍这就是课本中介绍的定理 1,它是一个很重要的肯定不等式,对任何两实数a、b 都成立由于取“ =” 号这种特殊情形,在以后有广泛的应用,因此通常要指出“=”号成立的充要条件式中取等号的充要条
3、件是什么了？师： 充要条件通常用“当且仅当”来表达“当”表示条件是充分的,“仅当”表示条件是必要的所以式可表述为：假如a、b R,那么 a2b22ab当且仅当 a=b 时取“ =”号以公式为基础,运用不等式的性质推导公式,这种由已知推出未知或要求证的不等式 的证明方法通常叫做综合法以公式为基础,用综合法可以推出更多的不等式现在让我们共同来探究2. 探究师： 公式反映了两个实数平方和的性质,下面我们讨论两个以上的实数的平方和,探究可能得到的结果先考查三个实数设a、b、c R,依次对其中的两个运用公式,有a2 b2 2ab. b2 c2 2bc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c2
4、 a2 2ca把以上三式叠加,得a2 b2 c2 abbc ca当且仅当 a=b=c 时取“ =”号以此类推：假如 ai R, i=1, 2, n,那么有当且仅当 a1=a2=an 时取“ =”号式是式的一种推广式,式就是式中n=2 时的特殊情形和式不必当作公式去记,但从它们的推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法迭代与叠加3. 再探究师： 考察两个以上实数的更高次幂的和,又能得到什么好玩的结果了？先考查两个实数的立方和由于a3 b3 =aba2 ab b2,启示我们把式变成a2 ab b2ab,两边同乘以 a b,为了得到同向不等式,这里要求a、bR+,得到a3 b3
5、a2bab2考查三个正实数的立方和又具有什么性质了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_生： 由式的推导方法,再增加一个正实数c,对 b、c,c、a 迭代式,得到b3 c3 b2cbc2, c3 a3 c2a ca2三式叠加,并应用公式,得2a3 b3 c3 ab2c2 bc2 a2 ca2b2a2bc b2ca c 2ab=6abca3b3c3 3abc当且仅当 a=b=c 时取“ =”号师：这是课本中的不等式定理2,即三个正实数的立方和不小于它们的积的3倍同学们可能想到n 个正实数的立方和会有什么结果,进一步仍会想到4 个正数的 4 次方的和会有什么结果,直至n 个正数的 n
6、次方的和会有什么结果这些问题留给同学们课外去讨论4. 推论师： 直接应用公式和可以得到两个重要的不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 a=b 时取“ =”号 这就是课本中定理 1 的推论当且仅当 a=b=c 时取“ =”号这就是课本中定理 2 的推论当 ai R+i=1 , 2, n时,有下面的推广公式 在中学不讲它的证明 当且仅当 a1=a2= =an 时取“ =”号何平均数式说明： n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这是一个闻名的平均数不等式定理现在只要求同学把握 n=2、3 时的两个公式,即和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、小结(1
7、) 我们从公式动身,运用综合法,得到很多不等式公式,其中要求同学娴熟把握的是公式、它们之间的关系可图示如下：(2) 上述公式的证法不止综合法一种比方公式和,在课本上是用比较法证明的又如公式也可以由推出.用仍可以推出.由、也可以推出、但是不管哪种推导系统,其理论基础都是实数的平方是非负数四个公式中,、是基础,最重要它们仍可以用几何法或三角法证明+几何法：构造直角三角形ABC ,使 C=90, BC=a, AC=ba 、b R ,就222a b =c 表示以斜边 c 为边的正方形的面积而如上左图所示,明显有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 a=b 时取“ =”号,这时 Rt
8、ABC 等腰,如上右图 这个图是我国古代数学家赵爽证明勾股定理时所用过的“勾股方圆图”,同学们在中学已经见过三角法：在 Rt ABC 中,令 C=90, AB=c , BC=a, AC=b,就2ab=2c sin A c sin B=2c2sinAcos A=c 2 sin2A c2=a2 b2 sin2A 1当且仅当 sin2A=1 ,A=45 ,即 a=b 时取“ =”号三、应用公式练习1判定正误：以下问题的解法对吗？为什么？假如不对请予以改正a、b R+假设 tg、 ctg R+解法就对了这时需令 是第一、三象限的角 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_+22改条件使 a、b
9、 R .转变证法 a ab b 2ab ab=3ab师： 解题时,要依据题目的条件选用公式,特殊留意公式中字母应满意的条件只有公式、对任何实数都成立,公式、都要求字母是正实数 事实上对非负实数也成立 2填空：1当 a时, an an.3当 x时, lg 2x 1.5tg2 ctg2 . 6sinxcosx.师： 从上述解题中,我们可以看到：1 对公式中的字母应作广义的懂得,可以代表数, 也可以代表式子 公式可以顺用, 也可以逆用 总之要敏捷运用公式 2 上述题目中右边是常数的,说明左边的式子有最大或最小值因此,在肯定条件下应用重要不等式也可以求一些函数的最大小值 3重要不等式仍可以用于数值估量如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明任何自然数的算术平方根不大于该数加1 之半可编辑资料 - - - 欢迎下载